宦 海，張思俊，陸振宇

(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇南京 210044)

0 引言

摩爾條紋和條紋投影技術(shù)都是光學(xué)非接觸測量技術(shù)，被廣泛應(yīng)用于測量物體三維表面形狀［1］。在實驗中，將條紋投影在物體表面，通過電荷耦合元件(charge－coupled device，CCD)檢測物體表面產(chǎn)生形變的條紋，利用相移測量方法［2］或傅里葉變換法［3］計算出條紋的位相分布，最后通過分析條紋的位相分布特征得到物體的表面形狀。由于通過計算得到的位相分布在－π～+π之間，所以必須應(yīng)用空間位相解包裹法來復(fù)原物體表面形狀?？臻g位相解包裹法是通過比較相鄰兩點的位相差來解包裹的，這就要求兩相鄰點的位相差不能大于2π，因此普通的條紋投影法不能用于測量非連續(xù)表面形狀。

最近，學(xué)者們提出了一些新的條紋投影方法，并以此來測量非連續(xù)物體表面形狀。這些方法或采用大周期條紋投影技術(shù)，或采用類似于多波長干涉技術(shù)的多周期條紋投影法［4－6］。在位相解包裹時采用大周期條紋投影法可以使相鄰兩點間位相跳變小于2π，從而解決非連續(xù)表面形狀的測量問題。但是使用大周期條紋投影法的測量精度不高，所以研究者希望能夠用小周期的條紋投影來測量不連續(xù)表面形狀。根據(jù)這個思路，文獻［7］提出了一種簡單的方法:使用兩個不同周期的條紋來測量物體表面形狀;文獻［8］中提出了一個改進的方法:使用幾個不同周期的條紋投影來測量非連續(xù)表面形狀。這些方法通過分析在不同周期條紋投影下，測量點的光強或位相變化來得到物體的表面形狀，該方法具有較高的測量精度。本文介紹了一種基于正弦波位相調(diào)制干涉儀的多周期條紋投影方法［9］，并通過此方法來測量物體的表面形狀。實驗中檢測到的條紋強度和位相分布在物體表面產(chǎn)生對應(yīng)于不同條紋周期的檢測光場，由于在條紋周期掃描中固定位相點的光場不變化，所以物體表面上每一點的光場都能逆推到固定位相點。當(dāng)逆推場達到固定位相點時，不同條紋周期逆推場和的振幅變?yōu)樽畲笾?，同時位相變?yōu)?。物體表面每一個點到固定位相點的逆推距離決定了物體表面的位置。這種方法就被稱為位相逆推法［10－12］。

此外，基于多周期條紋投影干涉技術(shù)的位相逆推法還可以應(yīng)用在測量物體兩個表面位相上。在透明物體表面的測量中，物體正面和背面測量點的位置使得逆推場的振幅有兩個峰值，并且其對應(yīng)的位相值均為0，因此采用上述位相逆推法可以同時確定上下表面兩個點的位置。數(shù)值模擬和實驗證實:在測量范圍為毫米級時，基于多周期條紋投影法的位相逆推法測量精度可以達到微米級。

1 多周期條紋投影干涉儀和位相逆推法

多周期條紋投影干涉儀的示意圖如圖1所示。兩個沿不同方向上傳播、波長為λ的平面波在空間中產(chǎn)生了一組平行的干涉條紋。如圖1所示，建立坐標(biāo)系統(tǒng)(xp，yp，zp)。兩個平面波的傳播方向與zp軸的夾角為±θm，條紋的周期可用 Pm=λ/2θm來表示，當(dāng) θm很小時，sinθm≈θm。改變夾角 θm為 θ0，θ1，…，θM－1，相應(yīng)地，條紋周期 Pm變?yōu)?P0，P1，…，PM－1。通過使用反饋控制系統(tǒng)，使得在周期掃描時，在xp=0的位置上，干涉條紋的位相保持在π/2不變。在坐標(biāo)系統(tǒng)(xp，yp，zp)中，位相分布可寫為(1)式中，km=為條紋的波數(shù)。

圖1 采用正弦波位相調(diào)制的多周期條紋投影法示意圖Fig.1 Schematic configuration formulti－period fringe projection and detection of the fringe patterns by sinusoidal phase－modulating interferometry

假設(shè)在物體表面上有一點Q，通過共焦點成像系統(tǒng)在檢測平面上形成該點的像。在成像系統(tǒng)中定義另一個坐標(biāo)系統(tǒng)(x，y，z)，坐標(biāo)系統(tǒng)(x，y，z)的原點O與坐標(biāo)系統(tǒng)(xp，yp，zp)的原點相對應(yīng)。z軸平行于成像系統(tǒng)的光軸。zp軸與z軸的夾角為2β。坐標(biāo)系統(tǒng)(x，y，z)的位相分布可寫作為

為了引入正弦波位相調(diào)制干涉，使干涉條紋的強度沿xp軸方向以a cosωct的形式進行正弦振蕩，其中ωc代表頻率。隨后在探測端面上檢測出Q點產(chǎn)生的干涉信號

通過正弦波位相調(diào)制法計算得到干涉信號的幅度Bm和位相αm，αm(x0，z0)的計算值介于－π和π之間［9］。由于在條紋周期掃描中，探測點的橫坐標(biāo)x是由固定位相點所決定的，當(dāng)條紋周期變化時，固定位相點的位相保持π/2不變，所以探測端面的位置決定了物體的坐標(biāo) x0。計算出 αm(x0，z0)減去kmx0cos2β+π/2的值，可以得到位相αmz

由于已經(jīng)從共焦點成像系統(tǒng)的對應(yīng)關(guān)系中得出物體的坐標(biāo)x0，接下來利用位相逆推法求物體的坐標(biāo)z0。在位相逆推法中，Q點的檢測域由下式所決定

2 位相逆推法的仿真數(shù)值分析

如圖2所示為位相逆推法的數(shù)值仿真結(jié)果。條紋的掃描周期從200～400 μm，M=6，Δk=0.003 1 rad/μm，β=45°，zmax=2 000 μm。設(shè)定 z0的值為1 525 μm。假設(shè)對于所有的Pm，干涉信號的振幅Bm均為1。從圖2可以得出，當(dāng)周期PC為266.7μm時，UR的振幅分布AR在z=zA處有最大值，并且位相分布φR在z=zφ處等于0。若位相測量值沒有受到噪聲影響，則zA和zφ的值等于點狀目標(biāo)物的位置z0。

圖2 物體表面某點的位相逆推法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of the back－propagation method for one point object

假設(shè)其他仿真條件不變，測得的位相分布αm受到一個隨機噪聲的影響，設(shè)隨機誤差符合正態(tài)分布，其平均值為0且標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ。在σ=0.36 rad時，仿真結(jié)果如圖3所示，在這種情況下，zA和zφ的值相對于z0的真實值都產(chǎn)生了誤差，其中zA=1 579μm，zφ=1 531μm。通過仿真可以得出:當(dāng)測量到的位相分布存在噪聲影響時，逆推法得到的位相測量值和振幅測量值同時受到噪聲的影響，但是位相測量值zφ比振幅測量值zA更精確，所以在實際測量中采用由位相值所得到的測量值。

圖4為透明玻璃板表面上某一點的位相逆推仿真結(jié)果。條紋的掃描周期從140μm到800μm，M=18，Δk=0.002 2 rad/μm，β =30°，n=1.5。平板的厚度是2 830μm。玻璃板兩個表面的位置z1和zQ的值分別為0μm和－2 000μm。假設(shè)對于所有的Pm，干涉信號的振幅Bm均為1。由圖4可知，UR的振幅分布AR在z=zAP和z=zAQ處有最大值，同時其位相分布 φR在 z=zφP和 z=zφQ處為 0，其中周期 PC為476.6μm。由仿真結(jié)果可以得到:zAP=5μm，zAQ=－2 010 μm，zφP=2 μm，zφQ= －2 004 μm。因此，采用位相逆推法可以同時測量透明物體兩個表面的位置坐標(biāo)，并且位相值得到的結(jié)果精度高于振幅值得到的結(jié)果。

3 實驗

3.1 實驗裝置

實驗裝置如圖5所示，使用一個50 mw的激光二極管作為光源。光源發(fā)出的激光經(jīng)過透鏡L0準(zhǔn)直后被分束器BS1分成兩束激光，經(jīng)M1和M2反射后形成干涉條紋。通過壓電換能器PZT1改變鏡子M1的角度θ，從而改變干涉條紋的周期Pm。壓電換能器PZT2以fc=125 Hz的頻率振動，用于在干涉條紋中引入正弦波位相調(diào)制。干涉條紋被分束器BS2分成兩部分，一部分被光電二極管 PD接收，用于檢測xf點的干涉信號，繼而進行反饋控制。綜合考慮式(1)和式(3)，檢測到的干涉信號可寫為

圖5 多周期條紋投影法測量物體表面形狀的實驗裝置Fig.5 Experiment setup of themulti－period fringe projection for surface profilemeasurement

在反饋控制電路中，濾除直流成分Am并且在cos(ωct)=0時刻對信號Im(t，xf)進行采樣，得到反饋信號Sf=Bmcos(kmxf)，將由信號Sf產(chǎn)生的反饋控制信號作用于PZT2上，通過移動鏡子M2，使Sf變?yōu)?。當(dāng)干涉條紋的周期Pm發(fā)生改變時，反饋控制系統(tǒng)將點xf的位相固定為π/2。xf點定義為xp軸和x軸的原點，表達式(1)成立。

將干涉條紋的另一部分投影到被測物體表面，經(jīng)共焦點成像系統(tǒng)成像于檢測面上。該成像系統(tǒng)的放大率為M12=f2/f1，其中f1和f2分別為L1和L2的焦距。采用幀周期為1 ms的高速CCD照相機檢測經(jīng)正弦波位相調(diào)制后的干涉條紋。當(dāng)被測物體是一面鏡子時，CCD照相機檢測到的條紋如圖6所示。

圖6 待測物體為一面鏡子時檢測到的干涉條紋Fig.6 Detected fringe pattern when object is amirror

3.2 實驗結(jié)果

3.2.1 兩個標(biāo)準(zhǔn)塊構(gòu)成的階梯狀光學(xué)表面的測量結(jié)果

首先，將兩個標(biāo)準(zhǔn)塊構(gòu)成的階梯狀光學(xué)表面作為待測物體。階梯狀物體高H為1 000μm，實驗設(shè)備的相關(guān)參數(shù)如下:P1=249.8μm，P2=285.2μm，P3=332.6 μm，P4=400.3 μm，Δk=0.003 1 rad/μm，β=45°，zmax=2 000 μm，PC=266.7 μm，f1=100 mm，f2=50 mm。電荷耦合元件(charge－coupled device，CCD)所獲取的圖像大小是256×240像素，每個像素尺寸為7.4μm。因為M12=1/2，所以物體表面的測量面積約為3.8×3.6mm2。圖7所示為物體表面上x=1.45mm，y=1.79mm測量點的振幅AR和位相φR，從測量結(jié)果可以看出，zφ的測量值為2 862μm。計算得到該點處h的值為998μm。圖8和圖9所示分別為在參考平面上測量的高度分布h和在y=1.79 mm橫截線上測得的高度分布h，xr表示參考平面的橫坐標(biāo)。由于階梯狀被測物在條紋投影時會產(chǎn)生陰影，所以在xr=0.98mm到xr=1.95 mm的范圍內(nèi)得不到相關(guān)的測量信號。在y=1.79 mm的這條橫截線上高度差h的平均值為998μm，每隔若干分鐘重復(fù)測量。測量的重復(fù)誤差大約是2.5μm。

3.2.2 2 mm厚玻璃板的測量結(jié)果

將2 mm厚玻璃板作為測量對象。實驗相關(guān)參數(shù)如下:P1=143.0 μm，P16=1 002.4 μm，M=16，Δk=0.002 3 rad/μm，zmax=3 mm，β =45°，f1=100 mm，f2=25 mm。CCD所獲取的圖像大小是256×240像素，每個像素尺寸為7.4μm。因為M12=1/4，所以物體表面的測量面積約為7.4×7.2mm2。圖10所示為玻璃板正面上x=2.90 mm，y=3.58 mm測量點的振幅AR和位相φR。分析可知，zAP和zAQ的測量值分別為－2 128μm和16μm，玻璃板厚度d的測量值為2 005μm。檢測任意其他兩個測量點，測量結(jié)果如表1所示。很明顯，由位相分布得到的測量值精度要比振幅分布得到的測量值精度高。圖11為玻璃板兩個表面的測量位置，其中為了顯示兩個表面的形狀分布，z軸是不連續(xù)的。厚度測量值d的平均值是2 001μm。每隔幾分鐘重復(fù)測量，共測量3次。重復(fù)測量誤差約是2.5μm。由于玻璃板的兩個表面是平行的，所以圖11所示的形狀也可看作是位相逆推法的測量誤差。由實驗結(jié)果分析可知，表面的波動約為2.8μm，所以位相逆推法的測量誤差約為2.8μm。

表1 表面3個點測量結(jié)果的比較Tab.1 Comparison ofmeasurement result of three points on the surface

圖11 2 mm玻璃板上兩個表面的測量位置Fig.11 Measured positions of the two surfaces of 2 mm glass plate

4 結(jié)束語

本文介紹了一種基于位相逆推法的多周期條紋投影干涉儀，并成功運用該種方法測量物體表面形狀。在條紋周期的掃描中利用反饋技術(shù)使物體表面上一個點的位相保持在π/2。在位相逆推法中，對應(yīng)于不同條紋周期的各測量點的振幅，位相值及相對固定位相點的空間位置構(gòu)成一個逆推場，當(dāng)逆推光場總和的振幅變?yōu)樽畲笾登移湮幌嘧優(yōu)?時，由逆推的距離可以得到物體表面的位置。由數(shù)值仿真及實驗分析可以得到，當(dāng)測量范圍為毫米級時，基于多周期條紋投影法的位相逆推法測量精度可以達到微米級，并且基于多周期條紋投影技術(shù)的位相逆推法還可用于測量物體兩個表面的形狀。

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(編輯:田海江)