金愛(ài)蓮

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

極C－invex條件下多目標(biāo)分式規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)稱對(duì)偶性

金愛(ài)蓮

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

給出了多目標(biāo)分式規(guī)劃問(wèn)題，并利用弱有效性和真有效性的概念，證明了在極C－invex條件下與分式規(guī)劃問(wèn)題相關(guān)的弱對(duì)偶定理、強(qiáng)對(duì)偶定理和逆對(duì)偶定理.

極C－invex；多目標(biāo)分式規(guī)劃；對(duì)稱對(duì)偶性；有效性

多目標(biāo)規(guī)劃研究的是一定約束條件下的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題，是近年發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)劃的新分支，應(yīng)用廣泛.近幾年來(lái)，有關(guān)函數(shù)的極C－invex的研究也引起了諸多學(xué)者的興趣.Dantzig［1］等于1965年首先提出了非線性規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)稱對(duì)偶性，隨后許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題做過(guò)進(jìn)一步的研究，但其結(jié)果大都是在凸性或廣義凸性上得到的［2－5］.楊新民［6］討論并證明了在不變偽凸性條件下兩類非線性規(guī)劃的對(duì)稱對(duì)偶性，陳秀宏［7］討論了錐約束多目標(biāo)規(guī)劃的二階對(duì)稱對(duì)偶性，金愛(ài)蓮［8］討論了極C－invex條件下多目標(biāo)非線性規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)稱對(duì)偶性.本文在文獻(xiàn)［8］和［9］的研究基礎(chǔ)上，證明了極C－invex條件下多目標(biāo)分式規(guī)劃問(wèn)題的弱對(duì)偶定理、強(qiáng)對(duì)偶定理和逆對(duì)偶定理.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rp是p 維歐氏空間，記Rp＋＝ ｛x∈Rp｜x≧0｝，Rp－＝ ｛x∈Rp｜x≦0｝.設(shè)x，y∈Rp，若對(duì)所有的i＝1，2，…，p，有xi≤yi，則記為x≦y；若x≦y且x≠y，則記為x≤y；若對(duì)所有的i＝1，2，…，p，有xi＜yi，則記為x＜y；若對(duì)x≤y的否定，則記為xy.

定義1 稱非空集C?Rp是1個(gè)頂點(diǎn)為零的錐，若x∈C，則對(duì)所有λ≥0，有λx∈C.如果C又

其中fi，gi∶C→C1，h∶C→C2，C，C1和C2分別是Rp，Rn和Rm中具有非空的閉凸錐.設(shè)X＝ ｛x∈C｜h（x）≦0｝是所有（MP）的可行解的集合.

定義4 稱1個(gè)錐C＋是C的正極錐，若C＋＝｛p∈Rp｜pTx≧0，?x∈C｝.

定義5 設(shè)f＝（f1，f2，…，fp）∶C1→C是可微函數(shù)，且C1?Rn和C?Rp是非空的閉凸錐，稱f是關(guān)于η∶C1×C1→C1的C1上的極C－invex，如果對(duì)所有λ（≠0）∈C＋和所有（x，u）∈C1×C1有（λTf）（x）－（λTf）（u）≧［η（x，u）］T?x（λTf）（u），即對(duì)所有λ∈C＋，λ≠0，實(shí)值函數(shù)fλ（x）＝λTf（x）是凸的（invex）.是凸的，則稱C是1個(gè)凸錐，特別地，當(dāng)C為閉集時(shí)，則稱C為閉凸錐.考慮下面的多目標(biāo)分式規(guī)劃問(wèn)題：

2 主要結(jié)果及其證明

設(shè)C，C1和C2為閉凸錐，S1?Rn和S2?Rm是開(kāi)的，且A＝S1?Rn，B＝S2?Rm.C1?A，C2?B，f∶A→C?Rp，g∶B→C?Rp是2個(gè)可微函數(shù).對(duì)于i＝1，2，…，p，假設(shè)f和－g是對(duì)于x的關(guān)于η在C1上的極C－invex，－f和g是對(duì)于y的關(guān)于ξ在C2上的極C－invex.在可行區(qū)域，始終假設(shè)fi＞0，i＝1，2，…，p，且每個(gè)gi是有界的.注意η∶S1×S1→C1和ξ∶S2×S2→C2.

為了簡(jiǎn)化，（FSP）和（FSD）可重新表示如下：

下面給出關(guān)于（FSP）′和（FSD）′的弱、強(qiáng)和逆對(duì)偶定理，這些結(jié)果同樣適用于（FSP）和（FSD）問(wèn)題．

定理1 （弱對(duì)偶性）設(shè)（x，y，λ）是（FSP）′的可行解，（u，v，λ）是（FSD）′的可行解．假設(shè)f和－g是關(guān)于x的極C－invex，－f和g是關(guān)于y的極C－invex，并且η（x，u）＋u∈C1，ξ（v，y）＋y∈C2，則qp．

證明 由（3）式及（fi－pigi）是極C－invex的假設(shè)，有．由η（x，u）＋u∈C1和（5）式有．再由（4）式得到

同樣，由－（fi－qigi）是極C－invex的條件，得到，并由ξ（v，y）＋y ∈C2和（2）式得到．再由（1）式得到

由（6）和（7）式得到

如果對(duì)某個(gè)i，qi＞pi，且對(duì)所有j≠i，qj≦pj，則因?yàn)間i＞0，i＝1，2，…，p，我們可以得到1個(gè)與（8）式相矛盾的結(jié)論，因此qp．由此定理1得證．

因?yàn)棣恕蔆＋，t≧0，由（14）式容易得到t＝0．因此由（13）式可得

因?yàn)閤∈C1，∈C1，C1又是閉凸錐，故可知x＋∈C1，因此由（18）式得由此推出同樣在（18）式中，令x＝0，x＝2，得0．因此,,）是（FSD）′的可行解，且（FSP）′和（FSD）′的目標(biāo)值相等．顯然（，，）是（FSD）′的有效解．如果（,，）是非真有效的，則對(duì)某個(gè)可行解（ui，vi，），滿足p1i＝fi（ui，vi）／gi（ui，vi），i＝1，2，

…，p，且對(duì)某個(gè)i，對(duì)任意M＞0，有p1i－＞M，又因?yàn)間i（i＝1，2，…，p）是有界的，因此p1i）gi，vi）＜0，這與弱對(duì)偶性的不等式（8）發(fā)生矛盾，因此（，，）是（FSD）′的真有效解．定理2得證．

同樣可以得到逆對(duì)偶定理，其證明過(guò)程類似于定理2，故省略．

［1］ Dantzig G B，Eisenberg E，Cottle R W．Symmetric dual nonlinear programs［J］．Pacific J Math，1965，15：809－812．

［2］ Mond B，Weir T．Symmetric duality for nonlinear multiobjective programming［C］／／S Kumar Recent Developments in Mathematical Programming．London：Gordon and Breach，1997：137－153．

［3］ Bazaraa MS，Goode J J．On symmetric duality in nonlinear programming［J］．Operation Research，1973，21：1－9．

［4］ Chandra S，Craven B D，Mond B．Symmetric dual fractional programming［J］．Z Oper Res，1984，29：59－64．

［5］ 劉三陽(yáng)．分式規(guī)劃的對(duì)稱對(duì)偶性［J］．西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，24：135－138．

［6］ 楊新民．兩類非線性規(guī)劃的對(duì)稱對(duì)偶性［J］．重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，10：5－8．

［7］ 陳秀宏．錐約束多目標(biāo)規(guī)劃的二階對(duì)稱對(duì)偶性質(zhì)［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，19：127－133．

［8］ 金愛(ài)蓮．極C－invex條件下多目標(biāo)非線性規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)稱對(duì)偶性［J］．延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，36（4）：291－295．

［9］ Kim D S，Yun Y B，Lee W J．Multiobjective symmetric duality with cone constraints［J］．European Journal of Operational Research，1998，107：686－691．

Symmetric duality for multiobjective fractional programming problem with polarlyC－invexity

JIN Ai－lian
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

A pair of multiobjective fractional programming with come constraints ws formulated and the definitions of a class of polarlyyC－invex fuctions were introduced.Under the polarlyC－invexity condition，we proved weak，strong and converse duality theorems by concept of the efficiency and the proper efficiency.

polarlyC－invex；multiobjective fractional problem；symmetric duality；efficiency

O212.2

A

1004－4353（2012）01－0033－05

2011－09－24

金愛(ài)蓮!（1968—），女，講師，研究方向?yàn)檫\(yùn)籌學(xué).