吳冬梅，陶元紅

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

帶有正負(fù)系數(shù)的非線性偏差分方程的頻密振動(dòng)性

吳冬梅，陶元紅＊

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

利用數(shù)列頻率測(cè)度的概念及其性質(zhì)，討論了一類帶有正負(fù)系數(shù)的非線性偏差分方程，得到了此類偏差分方程的頻密振動(dòng)性準(zhǔn)則.僅利用方程系數(shù)數(shù)列的水平集“頻率測(cè)度”的概念，給出了偏差分方程解的頻密振動(dòng)的充分條件，并且準(zhǔn)確刻畫了解的振動(dòng)頻率.

偏差分方程；頻密測(cè)度；頻密振動(dòng)性

0 引言

經(jīng)典的振動(dòng)概念已經(jīng)不能準(zhǔn)確描述數(shù)列的振動(dòng)頻率，為了更細(xì)致地刻畫數(shù)列的振動(dòng)性，田傳俊等［1］首次引進(jìn)了數(shù)列的頻密測(cè)度的概念，并由此定義了數(shù)列的頻密振動(dòng)性.此后，朱志強(qiáng)等［2］定義了數(shù)列的頻密正振動(dòng)和負(fù)振動(dòng)概念，更加完善了對(duì)數(shù)列的頻密振動(dòng)的描述.目前，關(guān)于差分方程解的頻密振動(dòng)性已有文獻(xiàn)報(bào)道［3－9］.

本文將討論如下非線性偏差分方程解的頻密振動(dòng)性：

其中m，n∈Z［0，∞），pi（m，n）≥0（i＝1，2，…，h），qj（m，n）≥0（j＝1，2，…，g），并且滿足如下條件：①ki，li（i＝1，2，…，h）；sj，tj（j＝1，2，…，g）均為非負(fù)整數(shù)；②pi＝ ｛pi（m，n）｝m，n∈Z［0，∞）（i＝1，2，…，h），qj＝ ｛qj（m，n）｝m，n∈Z［0，∞）（j＝1，2，…，h）以及f（m，n）均為實(shí)雙序列.本文利用文獻(xiàn)［1］中給出的頻密測(cè)度概念，建立方程解的新頻密振動(dòng)準(zhǔn)則，以更好地描述解的振動(dòng)性質(zhì).設(shè)ˉk＝max｛ki，sj｝＞0，ˉl＝max｛li，tj｝＞0，ρ＝min｛um＋ki，n＋li｝，θ＝max｛um＋sj，n＋lj｝，σ＝max｛um＋ki，n＋li｝，τ＝min｛um＋sj，n＋lj｝，其中1≤j≤h，1≤j≤g.此外，還定義以下2個(gè)條件n）≥0.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω＝Z［－ˉk，∞）×Z［－ˉl，∞），對(duì)任意集合A，B?Ω，將A與B的并、交和差分別記為A＋B，A·B和A＼B.設(shè)Φ是Ω的1個(gè)子集，定義平移集XmΦ和YmΦ為：XmΦ＝ ｛（i＋m，j）∈Ω｜（i，j）∈Φ｝，YmΦ＝ ｛（i，j＋m）∈ Ω｜（i，j）∈ Φ｝.因此，XmYnΦ＝ ｛（i＋m，j＋n）∈ Ω｜（i，j）∈ Φ｝.

設(shè)α，β，λ，δ∈Z，且α≤β，λ≤δ，則Φ稱為Φ（關(guān)于參數(shù)α，β，λ，δ）的導(dǎo)集，簡(jiǎn)記為容易證明

對(duì)任意的m，n∈Z［0，∞），令Φ（m，n）＝ ｛（i，j）∈Φ｜i≤m，j≤n｝.如果存在，稱此極限為Φ的上頻密測(cè)度，記為μ＊（Φ）.類似地，如果存在，稱此極限為Φ的下頻密測(cè)度，記為μ＊（Φ）.若μ＊（Φ）＝μ＊（Φ），則此極限記為μ（Φ），稱為Φ的頻密測(cè)度.顯然μ（?）＝0，μ（Ω）＝1，對(duì)任意Φ?Ω，有0≤μ＊（Φ）≤μ＊（Φ）≤1，如果Φ是有限的，那么μ（Φ）＝0.

引理1［1］對(duì)任意集合Φ，Γ?Ω，則μ＊（Φ＋Γ）≤μ＊（Φ）＋μ＊（Γ）；此外，若Φ和Γ是不相交的，則不等式μ＊（Φ）＋μ＊（Γ）≤μ＊（Φ＋Γ）≤μ＊（Φ）＋μ＊（Γ）≤μ＊（Φ＋Γ）≤μ＊（Φ）＋μ＊（Γ）成立，從而有μ＊（Φ）＋μ＊（Ω＼Φ）＝1.

引理2［1］對(duì)任意集合Φ，Γ?Ω，不等式μ＊（Γ）－μ＊（Φ）≤μ＊（Γ＼Φ）≤μ＊（Γ）－μ＊（Φ）和μ＊（Γ）－μ＊（Φ）≤μ＊（Γ＼Φ）≤μ＊（Γ）－μ＊（Φ）成立.

引理3［1］對(duì)任意集合Φ，Γ?Ω，有

引理4［1］設(shè)Φ是Ω的1個(gè)子集，α，β，λ，δ∈Z，且滿足α≤β，λ≤δ，那么

引理5［2］設(shè) Φ1，…，Φn是 Ω的1個(gè)子集，則有

引理6［1］對(duì)任意集合Φ，Γ∈Ω，如果μ＊（Φ）＋μ＊（Γ）＞1，則集合Φ·Γ是無限集.

2 主要結(jié)論及其證明

對(duì)任意在Ω上的1個(gè)雙序列｛vi，j｝，定義水平集｛（i，j）∈Ω｜vi，j＞c｝為（v＞c）.類似地，可以定義（v≥c），（v＜c）和（v≤c）.

定義1［1］設(shè)v＝ ｛vi，j｝（i，j）∈Ω是1個(gè)雙序列.如果μ＊（v≤0）＝0，則稱v是頻密正的；如果μ＊（v≥0）＝0，則稱v是頻密負(fù)的；如果v既不是頻密正的也不是頻密負(fù)的，則稱v是頻密振動(dòng)的.

對(duì)任意實(shí)雙序列｛um，n｝，定義如下2個(gè)偏差分：Δ1um，n＝um＋1，n－um，n，Δ2um，n＝um，n＋1－um，n.

引理7 設(shè)um，n是方程（1）的解，若存在m0≥1，n0≥1，滿足pi（m，n）≥0（i＝1，2，…，h），qj（m，n）≥0（j＝1，2，…，g），其中（m，n）∈Z［m0－1，m0＋2ˉk］×Z［n0－1，n0＋2ˉl］，則有：當(dāng)um，n≥0，f（m，n）≤0時(shí)，Δ1um－1，n≥0，Δ2um－1，n≥0；當(dāng)um，n≤0，f（m，n）≥0時(shí)，Δ1um－1，n≤0，Δ2um－1，n≤0.其中（m，n）∈Z［m0－1，m0＋ˉk］×Z［n0－1，n0＋ˉl］.

證明 當(dāng)um，n≥0，f（m，n）≤0，（m，n）∈Z［m0－1，m0＋2ˉk］×Z［n0－1，n0＋2ˉl］時(shí)，由方程

定理1 假設(shè)

其中ωf＝max｛ω＋f，ω－f｝且ω＝max｛ω＋，ω－｝，那么方程（1）的每1個(gè)解都是頻密振動(dòng)的.

證明 首先，假設(shè)u＝ ｛um，n｝是方程（1）的頻密正解，即μ＊（u≤0）＝0，則由引理1、4和5可知：

由式（3）、（4）和引理7可知：Δ1um－1，n≥0，Δ2um－1，n≥0，（m，n）∈Z［m0－1，m0＋ˉk］×Z［n0－1，n0＋ˉl］.再由式（3）、（4）和條件 ③ 得：0，由此得到矛盾.

其次，假設(shè)u＝ ｛um，n｝是方程（1）的頻密負(fù)解，即μ＊（u≤0）＝0，類似于上述過程可以得到集合是無限集.與前面討論類似，可以推出矛盾，因此結(jié)論成立.

定理2 假設(shè)

其中ωf＝max｛ω＋f，ω－f｝且ω＝max｛ω＋，ω－｝，那么方程（1）的每1個(gè)解都是頻密振動(dòng)的.

證明 首先，假設(shè)u＝ ｛um，n｝是方程（1）的頻密正解，即μ＊（u≤0）＝0，則由引理1、4和5可知：

其次，假設(shè)u＝ ｛um，n｝是方程（1）的頻密負(fù)解，即μ＊（u≥0）＝0.通過上述類似方法可得集合是無限集.由此得到矛盾，從而定理結(jié)論成立.

例 偏差分方程：

且μ＊（（p1－q1－q2）＞1）.此外，μ＊（（p1＜0）（q1＜0）（q2＜0）（f＜0））＝0，μ＊（（p1＜0）（q1＜0）1）ωf.那么由定理1或定理2可知，所給方程的任意解都是頻密振動(dòng)的.

［1］Tian Chuan－jun，Xie Sheng－li，Cheng Sui－sheng.Measures for oscillatory sequences［J］.Comput Math Applic，1998，36：149－161.

［2］Zhu Zhi－qiang，Cheng Sui－sheng.Frequently oscillatory solutions of neutral difference equations［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2005，29：627－634.

［3］Cheng Sui－sheng.Partial Difference Equations［M］.London and Ne wYork：Taylor and Francis，2003：58－90.

［4］Tian Chuan－jun，Cheng Sui－sheng，Xie Sheng－li.Frequent oscillation criteria for a delay difference equation［J］.Funkcialaj Ekvacioj，2003，46：421－439.

［5］Zhu Zhi－qiang，Cheng Sui－sheng.Frequently oscillatory solutions for multi－level partial difference equations［J］.Internat Math Forum，2006，31：1497－1509.

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［7］李冬梅，陶元紅.一類非線性時(shí)滯偏差分方程的不飽和解［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，36（2）：95－100.

［8］陶元紅，李秀東.一類非線性時(shí)滯偏差分方程的頻率振動(dòng)解［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（5）：591－595.

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Frequent oscillation of a nonlinear partial difference equation with positive and negative coefficients

WU Dong－mei，TAO Yuan－h(huán)ong＊
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

By employing the concept and the properties of frequency measures of sequences，the frequently oscillatory behavior of the solutions for the nonlinear partial difference equation with positive and negative coefficients is discussed.Some ne woscillatory criteria are established.Only using the concept of“frequency measure”of the level sets of the involved parameter sequences in equation，the sufficient conditions of the solutions to be frequently oscillatory are presented，thus ho wfrequent the solutions oscillate is well described.

partial difference equation；frequency measure；frequently oscillatory criteria

O177.3

A

1004－4353（2012）01－0020－05

2011－12－05＊通信作者：陶元紅（1973—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)榉汉治黾捌鋺?yīng)用.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11161049）；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（201215239）；延邊大學(xué)科研項(xiàng)目（延大研科合字2011第7號(hào)）