黃江燕，鄒瑋剛

（江西理工大學理學院，江西贛州341000）

動態(tài)P-積分及其性質

黃江燕，鄒瑋剛

（江西理工大學理學院，江西贛州341000）

內P-集合，外P-集合XF是經典集合X動態(tài)生成的兩個普通集，由內P-集合與外P-集合構成的集合對（，XF）就是P-集合.在P-集合的基礎上，得到函數(shù)對（x），pF（x））與該函數(shù)對的性質.進而給出P-積分的概念與結構，P-積分是由內P-積的集合對，P-積分具有動態(tài)特性.文中給出了動態(tài)P-集合序定理與P-積分雙中值定理，并指出P-積分是牛頓積分的動態(tài)表現(xiàn)形式，牛頓積分是P-積分的特例.P-積分有序定理和P-積分雙中值定理.事實證明，牛頓積分中值定理是P-積分雙中值定理的特例.

動態(tài)特性；P-集合；P-積分

0 引言

普通集合具有精確性，邊界清楚性，靜態(tài)性三大特征.P-集合不是普通集合，它具有動態(tài)特性，有限普通集合X在元素遷移族的作用下，集合內減少了元素，生成內P-集合；X在元素遷移族F作用下，集合內增加了元素，生成外P-集合XF；由內P-集合與外P-集合XF構成的集合對（XF，XF）就是P-集合，它是史開泉教授于2008年提出的動態(tài)集合.

文中采用平行拓展的方法研究史教授提出的動態(tài)集合，文獻[1-8]給出了集合的特征函數(shù)生成模型，從而得到P-集合的特征函數(shù).根據(jù)靜態(tài)函數(shù)生成定積分的方法，文獻[9]定義了內P-積分與外P-積分.同樣可以構造動態(tài)函數(shù)P-集合的動態(tài)積分.動態(tài)積分具有哪些與靜態(tài)定積分相似或不同的性質正是下面所要給出的內容.其中P-積分與牛頓積分又有什么樣的關系也是文中的研究重點.文中所揭示的動態(tài)P-積分及其性質在信息系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等方面具有一定的參考價值.

1 P-集合與它的結構

X-稱作X的元素刪除集合，的屬性集合αF滿足αF=把β變成f（β）=α′∈α；V是非空屬性論域，U是非空元素論域.

給定有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}U，α={α1，α2，…，αk}V是X的屬性集合，稱XF是X生成的外P-集合(outerl packet sets)，簡稱XF是外P-集合[1-3]，而且

X+稱作X的F-元素補充集合，而uX，f（u）=x′∈X，f∈F}，如果XF的屬性集合的特征見文獻[4-10].

2 P-集合生成的函數(shù)

定義1設有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}xi∈X（i＝1，2，…，m）相對于特征Y＝{y1，y2，…，yn}具有特征值向量，

這里：xi（k）∈R+，i＝1，2，…，m；k＝1，2，…，n.由到X的合成特征值：y=（y1（X），y2（X），…，yn（X））.對m個離散的數(shù)據(jù)點：（1，y1（X）），（2，y2（X），…，（n,yn（X）），利用拉格朗日插值公式：

得到函數(shù)：

稱該函數(shù)是普通集合X生成的函數(shù).

定義3XF是外P-集合，根據(jù)定義1的方法由XF生成的函數(shù)：是外P-集合XF生成的函數(shù).

引理1[2]（（XF，XF）與X的關系定理）若（，XF）是普通集合X生成的P-集合，則XXF.

定理1給定X＝{x1，x2，…，xm}U，是X生成的內P-集合，p（x）是X生成的函數(shù)，（x）是內P-集合生成的函數(shù)，則有下列不等式成立：

定理2給定X＝{x1，x2，…，xm}U，p（x）是X生成的函數(shù)，XF是X生成的外P-集合，pF（x）是外P-集合生成的函數(shù)，則有下列不等式成立：

證明：XF是X生成的外P-集合，則有card（X）≤card（XF），由引理1及定義1集合的生成函數(shù)方法，可得p（x）≤pF（x）.

3 積分及其特性

約定：下面所討論的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上都連續(xù).

定義5[10]的內P-積分(internal packet integral).

定義6[10]的外P-積分(outer packet integral).

由定理4與定義9可得到結論，證明略.

定理6若Xi是生的集合，Xj是生合，同

由定理4與定義8、定義9可得到結論，證明略.

所以在相同的區(qū)間[a，b]內分別積分不會改變不等式的關系，定理得證.

證明類似于定理7.證明略.

4 P-積分與牛頓積分的關系

因此，P-積分雙中值定理與牛頓積分中值定理存在這樣的關系：P-積分是牛頓積分的動態(tài)表現(xiàn)形式，牛頓積分是P-積分的特例.

5 討論

P-集合的特征是“動態(tài)性”，把P-集合作為一個工具，應用到更多的實際問題研究中，P-集合能給予理論支持.P-集合已經成為研究動態(tài)信息系統(tǒng)的一個新的數(shù)學模型與新的數(shù)學方法[11-14].信息科學、系統(tǒng)科學的學者常常是自覺或不自覺地使用著這種動態(tài)特性，并解決了許多實際問題.然而對于P-集合的很多平行和深化理論等待著總結和發(fā)展.文中所研究的動態(tài)P-積分及其性質只是其中的一部分.相信不久的將來，動態(tài)集合理論的相關研究一定會被許許多多的學者完善，并且能夠逐步地更直接更有效地應用在更多的實際問題當中.因為動態(tài)是絕對的，靜態(tài)只是相對的，暫時的.我們需要用動態(tài)的觀念去發(fā)展去研究.

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[13]于秀清，史開泉.函數(shù)單向S-粗集生成的F-粗積分[J]．山東大學學報:理學版，2008，43(2):29-34.

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Dynamic P-integral and its properties

HUANG Jiang-yan，ZOU Wei-gang

（Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

Internal packet setsand outer packet setsare two packet sets generated by cantor，sets X.Internal packet setsand outer packet sets XFconstruct packet sets,on which a function（x），pF（x））and the character of it are obtained.In order to develop the special nature of the dynamic function,the definition and construction of P-integral are given in the paper.P-integral is composed by internal packet integral and outer packet integral.Some basic properties of the dynamic integration are also discussed.A dynamicP-sets order theorem and integral double mean value theorem are presented,which point out that the integral is the dynamic performance form of the Newton integral,Newton integral is a special case of the P-integral.It is proved that Newton mean value theorem of integral is the special case ofP-Integral double integral mean value theorem.

dynamic characteristics;packet sets;P-integral

O159

A

2012-06-02

江西省自然科學基金項目（2009GQS0047）

黃江燕（1980-），女，講師，主要從事粗系統(tǒng)理論與應用等方面的研究，E-mail:hjyjxust@126.com.

2095-3046（2012）05-0078-04