陳東華

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建廈門(mén)361021）

子帶OFDMA中EM雙選信道估計(jì)的收斂性能分析

陳東華

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建廈門(mén)361021）

算法實(shí)時(shí)性是通信系統(tǒng)可實(shí)用化的關(guān)鍵，為了揭示子帶正交頻分多址(OFDMA)系統(tǒng)中期望最大化(EM)雙選信道估計(jì)的實(shí)時(shí)性，研究了子帶OFDMA系統(tǒng)中EM算法的收斂性能.通過(guò)系統(tǒng)仿真方法分別給出了單天線系統(tǒng)和多天線系統(tǒng)EM迭代信道估計(jì)的收斂曲線，研究結(jié)果表明，兩種迭代信道估計(jì)都有較快的收斂速度，而且多天線系統(tǒng)比單天線系統(tǒng)收斂更快，前者僅需3次迭代即可收斂，而后者在10次迭代內(nèi)也可保證收斂.理論分析顯示，迭代過(guò)程中參數(shù)更新數(shù)目的不同是導(dǎo)致兩種算法收斂性能不同的原因所在.

正交頻分多址；收斂速度；信道估計(jì)

0 引言

正交頻分復(fù)用（OFDM）利用子載波間正交性提高了頻譜利用效率，是一種頻譜有效的傳輸技術(shù)[1]，經(jīng)過(guò)多年的研究，學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界已經(jīng)把OFDM作為多種移動(dòng)通信標(biāo)準(zhǔn)的物理層傳輸方案[2]，如無(wú)線局域網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)IEEE802.11a和下一代移動(dòng)通信（4G）都采用了該技術(shù)[3].同時(shí)，OFDM特有的頻分復(fù)用方式使得該技術(shù)很容易實(shí)現(xiàn)多址接入，子帶正交頻分多址(OFDMA)即是一種常用的多址接入方式.

通信系統(tǒng)中為了相干解調(diào)，接收機(jī)通常采用導(dǎo)頻進(jìn)行信道估計(jì).子帶OFDMA系統(tǒng)的導(dǎo)頻信道估計(jì)方法中，通常把導(dǎo)頻信號(hào)分散在時(shí)間頻率的二維網(wǎng)格上，并通過(guò)時(shí)間和頻率方向的線性插值得到數(shù)據(jù)子載波上的信道頻域響應(yīng).然而在高速移動(dòng)環(huán)境中，傳輸信號(hào)將同時(shí)遭受時(shí)間和頻率選擇性衰落（雙選擇性衰落）[4].隨著移動(dòng)臺(tái)移動(dòng)速度的加快，這種情況下的信道變化將不再滿足線性規(guī)律，導(dǎo)致線性插值的導(dǎo)頻信道估計(jì)性能的嚴(yán)重惡化，為了解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出了采用頻域線性模型和時(shí)域基擴(kuò)展模型(BEM)混合插值(HLBI)的子帶OFDMA導(dǎo)頻信道估計(jì)方法，該方法在時(shí)間方向上利用基擴(kuò)展模型插值代替常規(guī)線性插值，從而改善了信道時(shí)變導(dǎo)致的OFDMA系統(tǒng)性能惡化，但是該方法在頻率格上依然采用常規(guī)方法，即線性?xún)?nèi)插，當(dāng)信道頻率選擇性較為嚴(yán)重時(shí)，文獻(xiàn)[5]方法的性能改進(jìn)受到信道頻率選擇性的制約.

為了克服文獻(xiàn)[5]方法的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]對(duì)信道響應(yīng)在頻率方向的變化不做任何假定，而對(duì)接收信號(hào)做形式變換并在此基礎(chǔ)上定義信道的頻域BEM模型，進(jìn)而提出了兩種基于期望最大化（EM）算法的子帶OFDMA信道估計(jì)新方法，從而避免了文獻(xiàn)[5]信道估計(jì)方法的缺點(diǎn).文獻(xiàn)[6]對(duì)信道估計(jì)的均方誤差和誤碼率性能進(jìn)行了詳細(xì)分析，但并未考慮算法的收斂問(wèn)題.EM迭代算法的收斂性能是系統(tǒng)可實(shí)時(shí)性的關(guān)鍵，文中在介紹文獻(xiàn)[6]兩種EM信道估計(jì)的基礎(chǔ)上仿真研究了算法的收斂性能，并結(jié)合理論分析探討了產(chǎn)生兩種算法收斂性能不同的內(nèi)在機(jī)理.

1 信道估計(jì)模型

1.1 單發(fā)射天線EM信道估計(jì)

采用過(guò)采樣復(fù)指數(shù)BEM[7-8]對(duì)N個(gè)連續(xù)傳輸塊上的時(shí)變信道進(jìn)行建模，第l條路徑的時(shí)變信道脈沖響應(yīng)(CIR)的可寫(xiě)為：

其中rq，l定義為第l個(gè)抽頭的第q個(gè)BEM基系數(shù)，L、2Q+1和P分別定義為最大路徑延時(shí)、基擴(kuò)展個(gè)數(shù)及采樣倍數(shù).定義M為OFDMA傳輸塊的長(zhǎng)度（子載波數(shù)），進(jìn)一步定義K為子帶中包含的子載波數(shù)，對(duì)式（1）進(jìn)行M點(diǎn)快速傅里葉變換（FFT）得到所考慮子帶上的信道頻域響應(yīng)(CFR)：

由于式（2）表達(dá)的是信道的頻域響應(yīng)，對(duì)比式（1），我們將gk，q定義為頻域等效BEM系數(shù)：

定義X（n，k）為第n個(gè)傳輸塊上第k個(gè)子載波數(shù)據(jù)，由文獻(xiàn)[6]，頻域接收信號(hào)可寫(xiě)為Y（n，k）=H（n，k）X（n，k）+W（n，k），其中W（n，k）是對(duì)應(yīng)子載波上的頻域疊加噪聲，W（n，k）服從高斯分布且均值為零、方差為σ2.定義接收矢量Yk=[Y（0，k），…，Y（N-1，k）]T，則接收矢量可表達(dá)為Yk=D（Xk）Hk+Wk，其中Xk，Hk的定義形式同Yk，D（·）為對(duì)角陣操作符.利用式（2），可將Hk表示成Hk=Qgk，其中g(shù)k=[gk，0，…，gk，2Q]T，Q是N×（2Q+1）的基矩陣，其第（m，n）個(gè)元素為exp（j2π（m-1）（-Q+n-1））/NP）.把Hk=Qgk代入Yk，可把接收矢量Yk進(jìn)一步表達(dá)成如下形式：

其中Qq定義為Q矩陣的第q列列矢量.為了利用期望最大化算法估計(jì)信道參數(shù)，定義Yk為“缺損”數(shù)據(jù)矢量，定義Yk，q=D（Xk）Qqgk,q+Wk，q（q=0,1,…,2Q）為“完備”數(shù)據(jù)矢量，式中分量Wk，q（q=0,1,…,2Q）定義為矢量Wk的任意分解成分.由定義的缺損數(shù)據(jù)和完備數(shù)據(jù)，在式（4）的基礎(chǔ)上可以構(gòu)造信道參數(shù)的EM估計(jì)算法.

1.2 多發(fā)射天線EM信道估計(jì)

KL-BEM是基于時(shí)變信道的二階統(tǒng)計(jì)量的基擴(kuò)展模型，其不同基函數(shù)之間互相正交[9-10]，可以利用KL-BEM的正交性質(zhì)來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度.假設(shè)多發(fā)射天線系統(tǒng)裝備N(xiāo)T個(gè)天線，接收系統(tǒng)裝備單個(gè)接收天線，則第t個(gè)發(fā)射天線與接收天線之間的第l條路徑時(shí)變信道脈沖響應(yīng)可表示為：

式中G和rq，t，l分別表示基函數(shù)個(gè)數(shù)和第q個(gè)基系數(shù)，fq，t，l（n）是n時(shí)刻的相應(yīng)基函數(shù).對(duì)于獨(dú)立同分布的時(shí)頻雙選擇性信道，任意收發(fā)天線對(duì)之間的L條路徑都具有相同的基函數(shù)，因而為了簡(jiǎn)化表示，基函數(shù)fq，t，l（n）的下標(biāo)t和l均可以忽略.忽略基函數(shù)的下標(biāo)并對(duì)式（5）進(jìn)行M點(diǎn)離散傅里葉變換可得相應(yīng)的信道頻域響應(yīng)為：

同1.1節(jié)，gk，q，t定義為頻域基函數(shù)系數(shù)：

和1.1節(jié)的推導(dǎo)過(guò)程相同，可以得到N個(gè)傳輸塊的第k個(gè)子載波上的接收矢量為：

式中Xk，t定義為第t個(gè)發(fā)射天線的發(fā)射數(shù)據(jù)矢量，gk，t=[gk，0，t，…，gk，G-1，t]T定義為頻域等效基函數(shù)系數(shù)矢量，F(xiàn)是N×G的基函數(shù)矩陣，其第（m，n）個(gè)元素為fn-1（m-1）.定義Yk為“缺損”數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)的“完備”數(shù)據(jù)定義為Yk，t=D（Xk，t）Fgk，t＋Wk，t，其中Wk，t為噪聲矢量Wk的NT個(gè)任意分解分量之一.由定義的缺損數(shù)據(jù)和完備數(shù)據(jù)，根據(jù)式（8）不難構(gòu)造多天線情況下的EM迭代信道估計(jì)算法.

2 收斂性能仿真分析

收斂速度是EM迭代算法可實(shí)時(shí)性的關(guān)鍵，借助于系統(tǒng)仿真方法對(duì)兩種EM迭代信道估計(jì)的收斂性能進(jìn)行研究.單發(fā)射天線系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)定如下：符號(hào)長(zhǎng)度M=128，子帶長(zhǎng)度K=18，信道路徑數(shù)L=4；OFDMA傳輸塊數(shù)N=61，信道變化快慢用時(shí)變信道引起的多普勒頻率對(duì)塊長(zhǎng)的歸一化[11]來(lái)表征，仿真中歸一化多普勒頻率fd取為0.025，此時(shí)基擴(kuò)展的基函數(shù)個(gè)數(shù)取7，導(dǎo)頻等間隔插入且間隔為10，系統(tǒng)初始化方法采用判決輔助跟蹤方式.

為了直觀顯示系統(tǒng)的收斂情況，我們仿真了信道均方誤差(MSE)性能隨著迭代次數(shù)變化的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖1.由圖1不難發(fā)現(xiàn)，在兩種信噪比(SNR)條件下，信道MSE均隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸減小，而且隨著迭代次數(shù)的增加MSE的減小量也逐漸減小，例如當(dāng)?shù)螖?shù)從0次(相當(dāng)于無(wú)迭代)變化到10次時(shí)，15 dB與25 dB兩種信噪比條件下的信道均方誤差分別從0.22和0.21遞減至1×10-2與2.85×10-3，而當(dāng)?shù)螖?shù)從10次變化至20次時(shí)，兩種條件下的信道均方誤差分別從1×10-2和2.85×10-3僅遞減至9×10-3和1.8×10-3，因而對(duì)實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用而言，最大迭代次數(shù)只需取到10次.

圖1 單天線情況下的收斂曲線

多發(fā)射天線系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)定為：系統(tǒng)采用Alamouti編碼來(lái)獲得發(fā)射分集增益[12]，BEM窗口長(zhǎng)度N=102，歸一化多普勒頻率同單天線系統(tǒng)相同，BEM基函數(shù)個(gè)數(shù)取為8，相當(dāng)于在子帶的兩側(cè)等間隔插入22個(gè)導(dǎo)頻子載波，并且均勻分散在11個(gè)空時(shí)碼字的位置上，算法初始化同樣采用判決輔助跟蹤方式.

采用與單天線系統(tǒng)相同的分析思路，我們給出了兩種信噪比條件下信道均方誤差性能隨著迭代次數(shù)變化的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖2.同單發(fā)射天線系統(tǒng)相同，信道均方誤差隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸遞減，例如，當(dāng)?shù)螖?shù)從0次增加到3次時(shí)，兩種信噪比情況下的信道均方誤差分別從0.20與0.19遞減至3.6×10-3與7.6×10-4，而當(dāng)繼續(xù)提高迭代次數(shù)時(shí)，信道均方誤差基本不再變化.因而發(fā)射分集情況下的收斂速度更快，最大迭代次數(shù)只要取到3次便可收斂.

圖2 多天線情況下的收斂曲線

為了進(jìn)一步證實(shí)上面的分析，我們重新給出理想信道和EM迭代信道估計(jì)下的系統(tǒng)誤碼率（BER）隨信噪比（SNR）變化的性能曲線，如圖3,4所示.由系統(tǒng)誤碼率曲線可見(jiàn)，無(wú)論是在單天線系統(tǒng)還是在多天線系統(tǒng)，EM信道估計(jì)條件下的誤碼率都十分接近理想信道下的誤碼率性能，例如，在所考慮的SNR范圍（0～20 dB）內(nèi)，相對(duì)于理想信道條件下的誤碼率性能，單天線信道估計(jì)誤碼性能僅有大約3 dB的信噪比損失，而多天線信道估計(jì)的誤碼性能損失保持在2 dB信噪比范圍以?xún)?nèi).

圖3 單天線情況下的誤比特率性能

圖4 多天線情況下的誤比特率性能

3 收斂性能理論分析

影響EM算法收斂性能的因素較多，如初始值的精度以及迭代方式的不同都會(huì)影響算法收斂性能.如前所述，為了提高初始化精度，兩種EM信道估計(jì)均由時(shí)頻格兩側(cè)的導(dǎo)頻開(kāi)始，采用判決輔助跟蹤方式初始化算法，因此初始值對(duì)兩種算法的影響是完全相同的.除了初值精度，迭代方式本身是影響算法的收斂快慢的重要因素.EM算法由期望（Expectation）和最大化（Maximization）兩步組成，其中最大化是對(duì)所有未知變量或矢量同時(shí)進(jìn)行的[13]，這相當(dāng)于在未知變量或矢量組成的多維空間中進(jìn)行多維搜索，未知變量/矢量的個(gè)數(shù)越多，搜索速度越慢，因此EM算法的收斂速度與同時(shí)更新的變量或矢量的維數(shù)成反比關(guān)系.具體到所考慮的兩種EM迭代信道估計(jì)，其參數(shù)迭代更新過(guò)程分別為：

1）單天線系統(tǒng)

期望：

最大：

其中i表示迭代順序號(hào)，βq非負(fù)并且滿

2）多天線系統(tǒng)

期望：

同樣，βt非負(fù)并且滿足

最大：

由式（11）和式（14）可見(jiàn)，單天線系統(tǒng)中每次迭代的更新參數(shù)為gk，t（q=0，…，2Q），多天線系統(tǒng)中每次迭代的對(duì)象是矢量gk，t（t=1，…，NT），即單天線系統(tǒng)是對(duì)2Q+1個(gè)變量gk，t（q=0，…，2Q）同時(shí)進(jìn)行最大化，而多天線系統(tǒng)中則對(duì)NT個(gè)矢量gk，t（t=1，…，NT）同時(shí)進(jìn)行最大化.為了系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性，多天線系統(tǒng)的天線數(shù)通常為2～4；另一方面，為了信道建模的精度，BEM觀察窗時(shí)段對(duì)應(yīng)的基個(gè)數(shù)應(yīng)充分大，因此有2Q+1≥NT，具體到文中參數(shù)，2Q+1=7，而NT=2，所以單天線迭代算法的收斂速度要慢于多天線迭代算法.同時(shí)，仿真結(jié)果顯示了兩種迭代算法都具有較快的收斂速度，前者經(jīng)過(guò)大約10次迭代即能收斂，而后者只需3次迭代便可收斂.

通過(guò)第二節(jié)仿真分析，我們證實(shí)了子帶OFDMA系統(tǒng)中采用EM信道估計(jì)的可實(shí)時(shí)性，從而證明了該算法的實(shí)用性；而本節(jié)對(duì)兩種算法參數(shù)迭代更新的理論分析顯示，多天線系統(tǒng)每次迭代更新的參數(shù)矢量少于單天線系統(tǒng)，這一現(xiàn)象解釋了產(chǎn)生兩種算法收斂速率不同的機(jī)理.

4 結(jié)束語(yǔ)

子帶OFDMA中的EM信道估計(jì)有效提高了時(shí)頻雙選擇性信道估計(jì)的性能，但在信道估計(jì)中每一次EM迭代都需要重新計(jì)算信道響應(yīng)，這會(huì)增加系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度并進(jìn)而影響系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，迭代次數(shù)越多則系統(tǒng)實(shí)時(shí)性越差，因此EM算法的收斂速度是系統(tǒng)可實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵.文中通過(guò)系統(tǒng)仿真手段和理論分析方法分別研究了單天線和多天線系統(tǒng)中EM信道估計(jì)的收斂性能，在介紹了這兩種EM迭代信道估計(jì)的基礎(chǔ)上給出了算法的收斂性能曲線.仿真結(jié)果顯示這兩種迭代信道估計(jì)都有較快的收斂速度，研究結(jié)果證實(shí)了子帶OFDMA中EM信道估計(jì)的可實(shí)時(shí)性，同時(shí)通過(guò)理論分析方法闡釋了影響EM迭代信道估計(jì)收斂快慢的內(nèi)在因素.

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Convergence analysis of EM-based doubly selective channel estimation methods for subband OFDMA

CHEN Dong-hua

(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)

Real-time computation of an algorithm in communications system is the key for the system to be applicable.In order to reveal whether the channel estimations based on expectation maximization(EM)algorithm in subband OFDMA systems can be on line realized or not,the convergence performance of the EM-based doubly selective channel estimation methods for subband OFDMA is investigated in the article.First,the convergence curves of the two iterative estimators,respectively,for the single transmit antenna system and the multiple transmit antennas system are stated.Results obtained from the convergence curves show that both estimators converge fast,and moreover,the latter does faster with only 3 iterations than the former with a little bigger number of about 10 iterations.Theoretical analysis indicates that the differences in the updated parameter number in iterations account for the two estimators＇differences in convergence speed.

orthogonal frequency division multiple access;convergence speed;channel estimation

TN911.5

A

2012-07-09

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助(11QZR02)；福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2012J05119)；廣西無(wú)線寬帶通信與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2011年度主任基金項(xiàng)目(21104)

陳東華（1977-），男，講師，主要從事無(wú)線通信等方面的研究，E-mail：dhchen0@163.com.

2095-3046（2012）03-0069-05