李華燦，鄒翠

（1．江西理工大學理學院，江西贛州341000；2.南昌陸軍學院科文教研室，南昌330103）

復合算子G·T的Poincaré型加權(quán)積分不等式

李華燦1，鄒翠2

（1．江西理工大學理學院，江西贛州341000；2.南昌陸軍學院科文教研室，南昌330103）

利用C.Scott,T.Iwaniec與A.Lutoborski等人的有關(guān)結(jié)論得到了有界域Ω上關(guān)于Green算子G和同倫算子T的復合算子G·T的Poincaré-型不等式，進而通過令u=d*v得到作用于共軛A-調(diào)和張量的復合算子G·T的Poincaré-型不等式.在此基礎(chǔ)上，得到加權(quán)Poincaré積分估計式.

積分不等式；復合算子；共軛A-調(diào)和張量；有界域；加權(quán)

0 引言與預備知識

Poincaré不等式是一個非常有趣且重要的課題，近年來，在此領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了豐碩的創(chuàng)新性成果：Wing-Sum Cheung于1993年得到了有關(guān)Poincaré型積分不等式[1]，2001年證明了幾類特定形式的Poincaré不等式[2]；2006年包革軍教授[3]證明了關(guān)于微分形式的雙權(quán)Poincaré不等式；2007年王勇[4]證明了在LS（μ）-平均域上微分形式的雙權(quán)Poincaré型積分不等式，更多有關(guān)Poincaré不等式的成果,詳見文獻[5-7].了解Poincaré不等式的有關(guān)成果對進一步研究解析函數(shù)的性質(zhì)[8]很有幫助，因此對Poincaré不等式的研究很有必要.文中研究了有界域Ω上作用于共軛A-調(diào)和張量的復合算子G·T的Poincaré-型不等式.

全文假定Ω為Rn中連通開子集，設(shè)e1=（1，0，…，0），e2=（0，1，…，0），…，en=（0，0，…，1）為Rn上標準正交單位向量組，用Λl=Λl（Rn）表示由外積eI=ei1∧ei2∧…∧eil所生成的l維線性向量空間，其下標所對應(yīng)的有序l-叢I=（i1，i2…，il）,1≤i1≤i2≤…≤il≤n，l=1，2，…，n.對于α=∑αIeI∈Λ及β=∑βIeI∈Λ,稱<α，β〉=∑αIβI為α與β的內(nèi)積，其中對所有的有序l-叢I求和.Hodge星算子*:Λ→Λ由規(guī)則*1=e1∧e2∧…∧en和α∧*β=β∧*α=<α，β〉（*1）確定，其中α∈Λ及β∈Λ.

Ω上的l-形式ω是一個Ω上取值于Λl（Rn）的Schwartz分布，D＇（Ω，Λl）為所有的l-可微形式空間，將Ω上對所有有序l-叢I滿足形式：

記為Lp（Ω，Λl），其中ω是權(quán)函數(shù).從而Lp（Ω，Λl）成為范數(shù)如下的Banach空間：

類似地，W1，p（Ω，Λl）為所有Ω上的系數(shù)屬于W1，p（Ω，R）的微分l-形式集.外導數(shù)d∶D′（Ω，Λl）→D′（Ω，Λl+1）的形式共軛算子d*∶D′（Ω，Λl+1）→D′（Ω，Λl）由定義在D′（Ω，Λl+1）上的d*=（-1）nl+1*d*給出.

稱下面的非線性微分方程

為共軛A-調(diào)和方程，其中A∶Ω×Rn→Λl（Rn）對幾乎所有的x∈Ω以及所有的ξ∈Λl（Rn）滿足：這里α〉0，1

定義1如果u和v在有界域Ω上滿足共軛A-調(diào)和方程A（x，du）=d*v且A-1存在，則稱u和v是Ω上的共軛A-調(diào)和張量.

并且有如下分解式ω=d（Kyω）+Ky（dω）.利用上面給出的線性算子Ky,來定義同倫算子

對每一個坐標系，如果u的坐標函數(shù)的逆在相似意義下也有一個廣義梯度，其中則說u有一個廣義梯度[10]，記為：

W（Λk，Ω）一個廣義梯度}

通常把一個調(diào)和k場定義為：

K（Λk，Ω）={u∈W（Λk，Ω）∶du=d*u=0，u∈Lp，其中1

下列有關(guān)調(diào)和l-場的性質(zhì)出現(xiàn)在文獻[11]中.

性質(zhì)1K（Λl，Ω）C∞（Λl，Ω）.

性質(zhì)2對任意的u∈L1（Λl，Ω）存在唯一一個H（u）∈K,使得：

對任意的h∈K成立.

定義2設(shè)u∈L1，用H（u）來記由性質(zhì)2確定的中的K唯一元素，并稱H（u）為調(diào)和投影或u的調(diào)和部分.

在給出投影算子H的定義后，Green算子的定義為：

并且G（u）是K⊥∩C∞中滿足Possion方程的ΔG（u）=u-H（u）唯一元素.

為了得到Lp上Green算子的定義，需要討論2≤p＜∞和1

的唯一元素，其中u∈K⊥∩Lp.

定義3當p≥2時，定義Green算子G為

定義4當1

由定義知G為W2，p中的有界線性算子.

1 關(guān)于復合算子G·T的Poincaré-型估計

1995年，C.Scott證明了下面的引理，它將在下面的證明中用到.

引理1[12]設(shè)u∈C∞（Λk，Ω），l=0，1，…，n.若1＜s＜∞，則存在與u無關(guān)的常數(shù)C,滿足：

1993年，T.Iwaniec與A.Lutoborski給出了下面關(guān)于微分形式的嵌入不等式.

引理2[13]分形式，其中1＜s＜∞且l=0，1，…，n，則有

結(jié)合引理1與引理2，便可得到如下的關(guān)于Green算子G和同倫算子T的復合算子G·T的Poincaré不等式.

Poincaré-型估計式(1)可以等價地描述為：

證明：由引理1及引理2可得

故而由ω=d（Tω）+T（dω）知

在定理1中令u=d*v，便可得到以下作用于共軛A-調(diào)和張量的復合算子G·T的Poincaré-型不等式：

推論1設(shè)u和v是有界域Ω上共軛A-調(diào)和張量，則存在不依賴于u和v的常數(shù)C,滿足：

2 Ar（Ω）-權(quán)Poincaré-型估計

文中將用到下面關(guān)于d*v的逆Ho¨lder不等式.

引理3設(shè)u和v是Ω上共軛A-調(diào)和張量，0

這里σQ_ Ω.

引理4[14]設(shè)u和v是Ω上共軛A-調(diào)和張量，則存在不依賴于u和v的常數(shù)C1,C2,滿足：

由引理4很容易得出以下推論：

推論2設(shè)u和v是Ω上共軛A-調(diào)和方程的解，則存在不依賴于u和v的常數(shù)C1,C2,滿足：

這里D_Ω，α〉0，ω為任意權(quán)函數(shù).

下面給出著名的Muckenhoupt權(quán)的定義.

這里球體Q_Ω，r〉1.

在文中的證明中將用到Ar（Ω）-權(quán)的下列性質(zhì)：

引理5[15]如果ω（x）∈Ar（Ω），則存在不依賴于ω的常數(shù)C，滿足：

其中球體Q_Ω，β〉1.

定理2設(shè)u和v是Ω上共軛A-調(diào)和張量，則存在不依賴于u和v的常數(shù)C,滿足：

其中ω（x）∈Ar（Ω），σ〉1且σQ_Ω，r〉1，0<α≤1，1+α（r-1）

證明：首先，假設(shè)0<α≤1,令s=q/（1-α）,由廣義Ho¨lder不等式可得：

選取t=q/（α（r-1）+1），則t

因為t

綜合式（6）～式（8），便有：

由于ω（x）∈Ar（Ω）,于是有：

把式（10）代入式（9）中可得：

由推論2及式（11）可知：

故當0＜α≤1時，定理2結(jié)論成立.

下證當α=1時，定理2結(jié)論也成立.

由引理5知，存在β〉1和C7〉0使得：

令t=q/r則t＜q，綜合引理3及式（3）,便有：

由廣義Ho¨lder不等式可得：

綜合式（15）與式（16）可知：

由于ω（x）∈Ar（Ω）,于是有：

把式（17）代入式（14），并使用式（18），便有：

結(jié)合推論2與式（19），可得：

[1]Wing-Sum Cheung.Some new Poincaré-type inequalities[J].Bulletin of The Australian Mathematical Society，2001，63（2）:321-327.

[2]B G Pachpatte.On Poincaré-type integral inequalities[J].Journal of The Mathematical and Application,1986,114(1):857.

[3]Bao G J.Two-weighted Poincaré-Type integral inequalities[J].Proceedings of the Conference on Differential&Difference Equations and Applications,2006:141-148.

[4]Wang Yong.Two-weight Poincaré-Type for differential forms in LS（μ）-averaging domains[J].Applied Mathematics Letters,2007（11）:1161-1166.

[6]Ding S S，Xing Y M，Bao G J.Ar（Ω）-weight inequalities for A-harmonic tensors and related operators[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006(1):219-232.

[7]G R Nicklason.A general class of centers for the Poincaré problem[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009（1）:75-80.

[8]李曉昭.某類解析函數(shù)的一些性質(zhì)[J].江西理工大學學報,2009，30(1):53-55.

[9]Craig A.Nolder.Hardy-littlewood theorems for A-harmonic tensors[J].Illinois Journal of Mathmatics,1999(4):613-631.

[10]Shusen Ding.Some examples of conjugate p-harmonic differential forms[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998（1）:251-270.

[11]Morry,Charles B.Mutiple integrals in the calculus of variayions[M].Berlin Heidelberg New York:Spring-Verlag,1966.

[12]Chad Scott.Lp-theory of differential forms on manifolds[J].Transactions of American Mathmatical Socieety,1995(6):2075-2096.

[13]Tadeusz Iwaniec,Adam Lutoborski.Integal estimates for null lagrangians[J].Arch Rational Mech.Anal.1993(1):25-79.

[14]Shusen Ding.Local and global norm comparison theorems for solutions to the nonhomogeneous A-harmonic equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007(2):1274-1293.

[15]J Heinonen,T Kilpelainen,O Martio.Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations[J].Oxford,1993.

The weighted Poincaré integral inequalities for the composite operator of G and T

LI Hua-can1，ZOU Cui2

（1.Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China;2.Department of Science and Culture,Nanchang Army College,Nanchang 330103,China）

Based on the work of C.Scott,T.Iwaniec and A.Lutoborski etc.,the Poincaré inequalities for the composite operator of G and T on the bounded domain are obtained.Then the Poincaré inequalities for the composition of G and T acted on the conjugate A-harmonic tensors by selecting u=d*v are achieved.The weighted Poincaré integral inequalities are gained.

integral inequality；composite operator；conjugate A-harmonic tensors；the bounded domain；weighting

O175.2

A

2012-08-28

江西省教育廳基金項目(GJJ12356)

李華燦（1985-），男，助教，主要從事調(diào)和分析等方面的研究，E-mail:hua03010217@126.com.

2095-3046（2012）05-0097-04