黃曉昆，程 濤

（1.紅河學院 數(shù)學學院，云南 蒙自 661100；

2.廊坊燕京職業(yè)技術學院 公共教學部，河北 三河 065200）

序半群中有邊界值的直覺模糊理想

黃曉昆1，程 濤2

（1.紅河學院 數(shù)學學院，云南 蒙自 661100；

2.廊坊燕京職業(yè)技術學院 公共教學部，河北 三河 065200）

介紹了序半群中具有邊界值（α，β）的直覺模糊理想的概念，并對其相關運算性質進行了探討.最后，通過有邊界值（α，β）的直覺模糊理想，對內正則序半群的特征進行刻畫，得到若干刻畫定理.

序半群；直覺模糊理想；完全格；正則序半群

繼L.A.Zadeh提出模糊集（Fuzzy Sets）的概念［1］之后，A.Rosenfeld于1971年提出了模糊子群的概念［2］，這標志著一個新的數(shù)學分支—— 模糊代數(shù)—— 從此產生.在此后的30多年里，一大批學者對該領域的工作產生了濃厚的興趣，通過他們的不懈努力，目前該領域的研究已取得了豐碩的成果［3－8］.1986年，保加利亞學者 Atanassov K T提出了直覺模糊集的概念，并指出直覺模糊集是模糊集的推廣［9］.此后，許多學者將直覺模糊集理論引入代數(shù)結構的研究，例如Biswas R在文獻［10］中將直覺模糊集的概念引入群論中，研究了直覺模糊子群；K.H.Kim和Y.B.Jun在文獻［11］中提出了半群中直覺模糊理想的概念.W.A.Dudek和B.Davvaz等人分別對超準群中的直覺模糊子超準子群和直覺模糊Hv子模進行了研究［12－13］，A.Khan等人在文獻［14］中對序半群上的直覺模糊雙理想進行了詳細的討論，并利用此概念，對序半群的正則性進行了刻畫.

在前人工作的基礎上，本文將直覺模糊集的概念應用于序半群的研究中，引入了序半群中具有邊界值（α，β）的直覺模糊理想的概念，對其性質進行了探討，并利用有邊界值（α，β）的直覺模糊理想，對內正則序半群的特征進行了刻畫，得到若干刻畫定理.

1 預備知識

序半群是一個由非空集合S、一個元運算“·”以及一個序關系“≤”組成的代數(shù)系統(tǒng)（S，·，≤），其中，（S，·）是一個半群，且滿足?x，y，a，b∈S，若x≤y，則ax≤ay，xb≤yb.序半群S的元素e稱為一個單位元，如果?x∈S，均有e＝xe＝ex.

定義1.1 序半群S的一個子集E叫做S的左（右）理想，如果滿足：①SE?E（ES?E）；（②?x∈S，若存在y∈E滿足x≤y，則x∈E.序半群S的子集E叫做一個理想，如果E既是S的左理想又是S的右理想.

對序半群S的任意一子集E，記：（E］＝｛x∈S｜存在y∈E，x≤y｝.

設X是非空集合，映射μ：X→［0，1］稱為X上的一個模糊集.對E?X和r∈［0，1］，以下用符號r E表示X上的一個模糊集：?x∈X，若x∈E，則r E（x）＝1；若x?E，則r E（x）＝0.顯然，對?E?X，1E＝χE（其中，符號χE表示E的特征函數(shù)）.

作為模糊集概念的重要推廣，接下來介紹直覺模糊集.

定義1.4 設S是序半群，A，B∈IF（S）且α，β∈［0，1］滿足α＜β.規(guī)定IF（X）上的序關系“?（α，β）”如下：

A?（α，β）B??x∈S，μB（x）∨α≥μA（x）∧β，γB（x）∧（1－α）≤γA（x）∨（1－β）.

性質1.1 設S是序半群且A，B，C∈IF（S），則A。（B。C）＝（A。B）。C.

性質1.2 設S是序半群且A，B，C，D∈IF（S）且α，β∈［0，1］滿足α＜β，則

定義1.6 設S是序半群且α，β∈［0，1］滿足α＜β.定義IF（S）上的二元關系“～（α，β）”如下：對任意的A，B∈IF（X），A～（α，β）B?A?（α，β）B，B?（α，β）A.

根據(jù)性質1.2，“～（α，β）”是IF（S）上的一個等價關系.

2 序半群中有邊界值的直覺模糊理想

定義2.1 設S是序半群，A＝（μA，γA）∈IF（S）且α，β∈［0，1］滿足α＜β.A稱為一個有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想，如果對?x，y∈S，有

（F1a）max｛μA（xy），α｝≥min｛μA（y），β｝且min｛γA（xy），1－α｝≤max｛γA（y），1－β｝；

（F2a）?x，y∈S，若x≤y，則

max｛μA（x），α｝≥min｛μA（y），β｝且 min｛γA（x），1－α｝≤max｛γA（y），1－β｝.

此外，序半群上有邊界值（α，β）的直覺模糊右理想和有邊界值（α，β）的直覺模糊理想可類似定義.

設S是有單位元e的序半群，A是S的有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想，則對x∈S，顯然有max｛μA（e），α｝≥min｛μA（x），β｝，min｛γA（e），1－α｝≤max｛γA（x），1－β｝.

作為序半群上有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想的例子，給出如下結論.

定理2.1 設S是序半群且E?S.E是S的左（右）理想當且僅當1－E是S的有邊界值（α，β）的直覺模糊左（右）理想.

引理2.1 設S是序半群且A∈IF（S）.A是S的一個有邊界值（α，β）的直覺模糊左（右）理想當且僅當下列條件成立：

max｛μA（x），α｝≥min｛μA（y），β｝且 min｛γA（x），1－α｝≤max｛γA（y），1－β｝.

證明 只需證明（1）等價于（F1a）.假設（F1a）成立，則有

因此，條件（F1a）成立.

定理2.2 設S是序半群，A∈IF（S）且α，β∈［0，1］滿足α＜β.A是S的一個有邊界值（α，β）的直覺模糊左（右）理想當且僅當?r∈［α，β），t∈（1－α，1－β］，S的非空子集A（r，t）都是S的左（右）理想.

證明略，容易直接驗證.

推論 設S是序半群，A∈IF（S），α1，α2，β1，β2∈［0，1］滿足α1＜α2＜β2＜β1，則S的每一個有邊界值（α1，β1）的直覺模糊左（右）理想都是有邊界值（α2，β2）的直覺模糊左（右）理想.

定理2.3 設S是序半群，α，β∈［0，1］滿足α＜β.若A，B∈IF（S）都是S的有邊界值（α，β）的直覺模糊左（右）理想，則A∩B也是S的有邊界值（α，β）的直覺模糊左（右）理想.

證明略，容易直接驗證.

定義2.2［5］序半群S稱為內正則的，如果對?x∈S，存在a，b∈S，使得x≤ax2b.其等價定義為：（1）?x∈S，x∈（Sx2S］；（2）?E?S，E?（SE2S］.

引理2.2［5］S是內正則序半群當且僅當對S的任一左理想L和任一右理想R，有L∩R?L。R.

定理2.4S是內正則序半群當且僅當對S的任一有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想A和任一有邊界值（α，β）的直覺模糊右理想B，均有A∩B?（α，β）A。B.

證明 假設S是內正則序半群，A是S的一個有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想，B是一個有邊界值（α，β）的直覺模糊右理想，則?x∈S，存在a，b∈S，使得x≤ax2b＝（ax）（xb）.于是

由性質1.3得L∩R?L。R.因此，根據(jù)引理2.2，S是內正則序半群.

定理2.5 序半群S是內正則的當且僅當對S的任意有邊界值（α，β）的直覺模糊理想A，均有A～（α，β）A＊2.

證明 設S是內正則序半群，A是S的有邊界值（α，β）的直覺模糊左理想.對?x∈S，存在a，b∈S，使得x≤ax2b.于是

［1］ Zadeh L A.Fuzzy Sets［J］.Inform.and Control，1965（8）：338－353.

［2］ Rosenfeld A.Fuzzy Groups［J］.J.Math.Anal.Appl.，1971，35（1）：512－517.

［3］ Kuroki N.On fuzzy ideals and fuzzy bi－ideals in semigroups［J］.Fuzzy Sets Syst.，1981（52）：203－205.

［4］ Kehayopulu N， Tsingelis M.Fuzzy sets in ordered groupoids［J］.Semigroup Forum，2002（65）：128－134.

［5］ Kehayopulu N，Tsingelis M.Regular ordered semigroups in terms of fuzzy subsets［J］.Inform.Sci.，2006（176）：3675－3693.

［6］ Zhan J，Dudek W A.Fuzzy h－ideal of hemir－ings［J］.Inform.Sci.，2007，177（3）：876－886.

［7］ Yin Y Q，Li H.The characterizations of h－h(huán)emiregular hemirings and h－intra－h(huán)emiregular hemir－ings［J］.Inform.Sci.，2008，178（17）：3451－3464.

［8］ Huang X K，Li H J，Yin Y Q.The h－h(huán)emiregular fuzzy duo hemirings［J］.International Journal of Fuzzy Systems，2007，9（2）：105－109.

［9］ Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets Syst.，1986（20）：87－96.

［10］ Biswas R.Intuitionistic fuzzy subgroups［J］.Math.Forum，1989（10）：37－46.

［11］ Kim K H，Jun Y B.Intuitionistic fuzzy ideals of semigroups［J］.Indian T.Pure Appl.Math.，2002，33（4）：443－449.

［12］ Dudek W A，Davvaz B，Jun Y B.On intuitionistic fuzzy sub－uasihypergroups of quasihypergroups［J］.Inform.Sci.，2005（170）：251－262.

［13］ Davvaz B，Dudek W A，Jun Y B.Intuitionistic fuzzy Hvsubmodules［J］.Inform.Sci.，2006（176）：285－300.

［14］ Khan A，Jun Y B，Shabir M.Ordered semigroups characterized by their intuitionistic fuzzy bi－ideals［J］.Iran.J.Fuzzy Syst.，2010（7）：55－69.

Intuitionistic Fuzzy Ideals with Thresholds of an Ordered Semigroup

HUANGXiaokun1，CHENGTao2
（1.College of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661100，China；2.Department of Public Education，Yanjing Vocational College of Langfang，Langfang 065200，China）

The concept of intuitionistic fuzzy ideals with thresholds of an ordered semigroup is given and some related properties of it are studied.The intra－regularity of an ordered semigroup is characterized by use of the intuitionistic fuzzy soft left（right）ideals with thresholds of an intraregular ordered semigroup.

ordered semigroup；intuitionistic fuzzy left（right）ideals；complete lattice；intra－regular ordered semigroup

O 159

A

1008－9225（2012）02－0071－04

2011－11－28

國家自然科學基金資助項目（11161020）；云南省自然科學基金資助項目（2008CD186）.

黃曉昆（1979－），男，云南楚雄人，紅河學院講師.

劉乃義】