本文介紹一個(gè)關(guān)于三角形面積問題的結(jié)論，供讀者參考.
　　結(jié)論：若P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且x+y+z=.（x，y，z∈R）則S∶S∶S=x∶y∶z，且S+S+S=.
　　證明：如圖，分別在直線PA，PB，PC上取A′，B′，C′，使得=x，=y，PC′=z，則++=.
　　故P是△A′B′C′的重心，則S=S=S=S，而===，即S=yzS.
　　同理，S=xzS，S=xyS，∴S∶S∶S=∶∶=x∶y∶z，而x+y+z=，
　　∴xS+yS+zS=S=
　　∴xyzS+yxzS+zxyS=.
　　∴S+S+S=.
　　不難得到下述結(jié)論：
　?。?）若P是△ABC的重心，則S∶S∶S=1∶1∶1，且S+S+S=.
　?。?）若P是△ABC的內(nèi)心，S∶S∶S=a∶b∶c（其中a，b，c為△ABC的三邊），且a+b+c=.
　?。?）若P是△ABC的外心，則S∶S∶S=sin2A∶sin2B∶sin2C或S∶S∶S=acosA∶bcosB∶csocC（其中a、b、c為△ABC的三邊，A、B、C為△ABC的三內(nèi)角），且sin2A+sin2B+sin2C=，或acosA+bcosB+ccosC=0.
　?。?）若P是△ABC的垂心，則S∶S∶S=tanA∶tanB∶tanC（其中A、B、C為△ABC的三內(nèi)角），且tanA+tanB+tanC=.
　　下面舉例說明此結(jié)論的應(yīng)用.
　　例1.（2004年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）設(shè)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且有+2+3=.則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）
　　A.2. B.C.3 D.
　　解析：由上述結(jié)論可知S∶S∶S=1∶2∶3，故==3.故選C.
　　例2.（2008年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題）已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，+2+2=.△ABC與△OCB的面積之比為.
　　解析：由上述結(jié)論可知S∶S=5∶1.
　　例3.（2006年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題）已知P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且3+4+5=，那么，△APB，△BPC，△APC的面積之比為.
　　解析：由上述結(jié)論可知S∶S∶S=5∶3∶4.
　　例4.（2008年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題）已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=?++2，則P點(diǎn)一定為三角形的（）
　　A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）
　　C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)
　　解析：由題設(shè)O是三角形ABC的重心，所以由上述結(jié)論可知++=，因此=?++2=（++4）=?（-+4）=，故P在AB邊中線的三等分點(diǎn)處（非重心），故選B.
　　例5.設(shè)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足=+，則=，S+S+SPC=.
　　解析：由題設(shè)得=（-）+（-），整理得：9+4+3=，由上述結(jié)論可S∶S∶S=9∶4∶3，∴=，S+S+S=.
　　例6.（2009年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題）已知I是△ABC內(nèi)的內(nèi)心，AC=2，BC=3，AB=4，若=x+y，則x+y的值為（）
　　A. B. C. D.
　　解析：由已知得=x（-）+y（-），整理得（1-x-y）+x+y=，由上述結(jié)論可知（1-x-y）∶x∶y=a∶b∶c=3∶2∶4，故x+y=+=，選B.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì).2010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(cè)（預(yù)賽試題集錦）.華東師范大學(xué)出版社.