摘 要： 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重要的一章。但學(xué)生不知如何去判斷其收斂性。本文作者注意到比式和根式判別法的優(yōu)點(diǎn)是不依賴于其他級(jí)數(shù)，而比較判別法需要依賴其他級(jí)數(shù)，所以在判斷過(guò)程中優(yōu)先利用比式和根式判別法。并由此給出了判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的過(guò)程圖。學(xué)生憑借過(guò)程圖可順利完成級(jí)數(shù)收斂性的判斷。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂性 判別法
　　
　　一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及判別方法解析
　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生考研的重要的知識(shí)點(diǎn).因此，學(xué)好數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性就顯得相當(dāng)迫切.但現(xiàn)實(shí)是學(xué)生看到級(jí)數(shù)后不知所措.我主要針對(duì)這個(gè)現(xiàn)象給出自己的一些教學(xué)所得.
　　首先，我們回顧常用的基本概念和重要的判別方法，并解析重要的判別定理.由于結(jié)論的普遍性，我們不給出結(jié)論的證明.讀者可參見(jiàn)文獻(xiàn).
　　定義1.1給定數(shù)列u，u，u，…，u，…稱表達(dá)式u=u+u+u+…+u+…為以u(píng)為通項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；如果u≥0對(duì)任意n≥1成立，則我們稱級(jí)數(shù)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)；類似地，我們稱(-1)u和(-1)u為交錯(cuò)級(jí)數(shù).
　　由上面的定義可知級(jí)數(shù)是無(wú)窮項(xiàng)的和，而無(wú)窮是很抽象的概念.記數(shù)列的前n項(xiàng)和S=u，結(jié)合極限概念，有：
　　定義1.2（1）我們稱級(jí)數(shù)u收斂，如果S=S（常數(shù)）.如果S不存在，則稱級(jí)數(shù)u發(fā)散.（2）級(jí)數(shù)u稱為絕對(duì)收斂的，如果|u|收斂.級(jí)數(shù)u稱為條件收斂的，如果|u|發(fā)散并且u收斂.
　　由定義1.2（1）可知，如果可以求得級(jí)數(shù)u的前n項(xiàng)和S，再求極限就可得級(jí)數(shù)的收斂性.但是S并不易求.例如.因此判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性必須要用新的方法.
　　注意到級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)u是比較易得的，由此可得：
　　定理1.3若級(jí)數(shù)u收斂，則u=0.
　　注意定理不是充要條件，即u=0不能得到u收斂.例如.本定理的用途是判斷級(jí)數(shù)發(fā)散.例如n.那么，有沒(méi)有直接判斷的方法呢？
　　對(duì)于一般的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，要判斷三種可能的收斂性：1.絕對(duì)收斂；2.條件收斂；3.發(fā)散.特別地，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，就變成了收斂和發(fā)散兩種情況.注意到|u|是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性就非常重要了.下面給出正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的充分條件.
　　定理1.4（比較判別法）設(shè)u和v為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且=l，則：
　?。?）當(dāng)0＜l＜+∞時(shí)，u與v收斂性相同；
　?。?）當(dāng)l=0時(shí)（u≤v），若v收斂，則u收斂；
　?。?）當(dāng)l=+∞時(shí)（u≥v），若v發(fā)散，則u發(fā)散.
　　記憶定理的第二、三條時(shí)，可以分別粗略地認(rèn)為是u小于v（高階無(wú)窮小）和u大于v（高階無(wú)窮大）.應(yīng)用定理時(shí)須牢記的收斂性.一般選擇v=其中p為將u化為的形式中f(n)中n的冪函數(shù)部分最高次項(xiàng)（常數(shù)）.例如(-)可選v=得級(jí)數(shù)發(fā)散.另外，偶爾也會(huì)用到a（a∈R）的收斂性.注意到比較判別法依賴于其他級(jí)數(shù)，有時(shí)v不易找到.例如.自然產(chǎn)生問(wèn)題：是否存在一種方法不依賴于級(jí)數(shù)本身之外的其他級(jí)數(shù)來(lái)判斷級(jí)數(shù)的收斂性?
　　定理1.5（比式判別法）設(shè)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且=ρ，則：
　?。?）當(dāng)0≤ρ＜1時(shí)，級(jí)數(shù)u收斂；
　?。?）當(dāng)ρ=1時(shí)，該法失效，請(qǐng)選用其他方法判斷；
　　（3）當(dāng)ρ＞1或ρ=+∞時(shí)，級(jí)數(shù)u發(fā)散.
　　定理1.6（根式判別法）設(shè)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且=ρ，則：
　　（1）當(dāng)0≤ρ＜1時(shí)，級(jí)數(shù)u收斂；
　?。?）當(dāng)ρ=1時(shí)，該法失效，請(qǐng)選用其他方法判斷；
　?。?）當(dāng)ρ＞1或ρ=+∞時(shí)，級(jí)數(shù)u發(fā)散.
　　定理1.5和1.6克服了比較判別法依賴其他級(jí)數(shù)的缺點(diǎn)，但它們?cè)讦?1或不存在（非無(wú)窮）時(shí)失效.另外，它們對(duì)含有n!或n型項(xiàng)的級(jí)數(shù)具有極大的優(yōu)越性.例如，由定理1.5可得，=ρ=e＞1級(jí)數(shù)發(fā)散.
　　對(duì)非正項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們主要介紹交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法，以及根式比式發(fā)散定理.注意到研究|u|的收斂性時(shí)會(huì)用到定理1.4、1.5或1.6，所以有：
　　命題1.7u為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則：
　?。?）|u|收斂，則u收斂且絕對(duì)收斂.
　　（2）若|u|發(fā)散（由定理1.5或1.6得出），則u發(fā)散.
　　證明：（2）若|u|發(fā)散由定理1.5或1.6得出，則|u|≠0，則u≠0，由定理1.3可知u發(fā)散.
　　由命題1.7可知，利用定理1.5或1.6可以得到級(jí)數(shù)的收斂性.若|u|發(fā)散是其他定理得出的，該如何？我們應(yīng)該繼續(xù)研究級(jí)數(shù)本身的收斂性，以考查是否條件收斂.雖然我們不能直接判斷每個(gè)非正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，但對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，有：
　　定理1.8（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（-1）u滿足條件：
　?。?）u≥u，（2）u=0，則級(jí)數(shù)(-1)u收斂.
　　二、判斷級(jí)數(shù)收斂性過(guò)程圖
　　結(jié)合第一章的分析給出正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判定的過(guò)程圖，我們總結(jié)出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斷流程.由此學(xué)生可以順利地判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.
　　首先，我們給出下列判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的過(guò)程：
　　方法2.1對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)u，優(yōu)先用定理1.5或1.6去判斷，若得到級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散則下結(jié)論.若定理1.5或1.6失效，則可選擇定理1.4去判斷.其過(guò)程圖如下：
　　例2.2判斷級(jí)數(shù)的收斂性
　　在方法2.1的基礎(chǔ)上，結(jié)合命題1.7和定理1.8，我們給出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷過(guò)程如下：
　　解：由定理1.5或1.6得到ρ=1，此時(shí)失效.由定理1.4取v=（注意不是），則=1.又發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.
　　方法2.3對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u，不妨設(shè)u為非正項(xiàng)級(jí)數(shù).先用定理1.4、1.5或1.6判斷|u|的收斂性.
　?。?）若|u|收斂則由命題1.7（1）判斷u絕對(duì)收斂；
　?。?）若|u|發(fā)散由定理1.5或1.6得出，則由命題1.7（2）判斷u發(fā)散；
　?。?）若|u|發(fā)散由定理1.4得出，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)一般利用定理1.8（非交錯(cuò)級(jí)數(shù)可用其他方法）直接判斷u的收斂性.其過(guò)程圖如下：
　　以上過(guò)程圖直觀地給出了判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性過(guò)程.下面給出例子來(lái)熟悉一下這個(gè)過(guò)程.
　　例2.4(-1)的收斂性
　　解：考慮級(jí)數(shù)。注意到定理1.5或1.6失效.由定理1.4取V=，則發(fā)散.由定理1.8可知，（-1）收斂，綜上原級(jí)數(shù)條件收斂.
　　方法2.3是判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的普遍過(guò)程，但有時(shí)不是最簡(jiǎn)便的.例如非正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中含有正、余弦函數(shù)時(shí)，我們可以直接用定理1.4.
　　例2.5sin的收斂性
　　解：因?yàn)閟in≤1，所以sin≤.又因?yàn)槭諗?，故收斂sin，綜上sin絕對(duì)收斂.
　　本文的目的是給展示學(xué)生一個(gè)程序化的解題過(guò)程，所以只給出了所提方法中要用到的定理和概念，敬請(qǐng)讀者指正.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　?。?］王順風(fēng)，陳曉龍，張建偉.高等數(shù)學(xué)（下）［M］.北京:高等教育出版社，2009：230-250.
　　
　　本研究受到南京信息工程大學(xué)科研啟動(dòng)基金及江蘇省高校自然科學(xué)基金（11KJB110007）的支持。