徐 燕，魯世平

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

多偏差變元的捕食-被捕食Lotka-Volterra模型的周期正解

徐 燕，魯世平*

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

作者研究了一類多偏差變元3種群捕食-被捕食Lotka-Volterra模型.通過利用重合度拓展定理和一些分析技巧,得到了該模型的周期正解的存在性.

周期正解;重合度拓展定理;Lotka-Volterra捕食-被捕食種群模型

1 引言及預(yù)備

近年來,許多人將泛函微分方程理論應(yīng)用到生態(tài)數(shù)學(xué)當(dāng)中,并且提出了各種各樣的模型，如在人口力學(xué)、生態(tài)學(xué)和流行病學(xué)等方面,尤其是人口力學(xué)Lotka-Volterra模型,由于在理論和實(shí)踐方面的重要性,已被越來越廣泛地應(yīng)用.呂翔用Krasnoselskii固定點(diǎn)定理獲得了模型[1]

(1)

的周期正解的存在性.其中x1(t)表示在時(shí)刻t被捕食動(dòng)物的數(shù)量,x2(t)和x3(t)表示在時(shí)刻t捕食動(dòng)物的數(shù)量,ri,aij∈C(R,[0,∞))和τij∈C(R,R)都是w-周期函數(shù)且

近年來,許多作者運(yùn)用重合度理論解決周期解存在問題,如魯世平證明了一類多偏差變元的n種群Lotka-Volterra模型的周期正解[2].范猛,王克研究了具有偏差變元的捕食者-食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性[3].受此啟發(fā),該文利用重合度理論得出模型(1)周期正解的存在性.

2 主要引理

引理1[2]如果τ∈C(ω)滿足τ∈C1(R,R)且τ′(t)<1,?t∈[0,ω],則函數(shù)t-τ(t)存在唯一反函數(shù)μ(t)滿足μ∈C(R,R)且μ(a+ω)=μ(a)+ω,?a∈R.

注1如果g∈C(ω),τ∈C(ω)滿足τ∈C1(R,R)且τ′(t)<1,?t∈[0,ω],由引理1易見g(μ(t+ω))=g(μ(t)+ω)=g(μ(t)),?t∈R,其中μ(t)∈C(R,R)為t-τ(t)的反函數(shù),故g(μ(t))∈C(ω).

(a) ?x∈?Ω∩D(L),λ∈(0,1),Lx≠λNx;

(b) ?x∈?Ω∩KerL,QNx≠0;

為了利用引理1和引理2,文中設(shè)X=Y=C(ω):={x|x∈C(R,R3),x(t+ω)≡x(t)},ω>0為常數(shù),其模定義為‖x‖=maxt∈[0,ω]|x(t)|,再設(shè)τij′<1,由此得函數(shù)t-τ(t)存在連續(xù)反函數(shù),記為σij(t),i,j=1,2,3.

注2利用引理1，不難發(fā)現(xiàn)σij(ω)=σij(0)+ω,i,j=1,2,3.

作變換xi(t)=expyi(t),(i=1,2,3),則系統(tǒng)(1)可化為

(2)

顯然系統(tǒng)(1)存在ω-周期正解當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(2)存在ω-周期解.

3 主要結(jié)果

設(shè)

(3)

其中D(L)={y|y∈X,y(t)∈C(R,R3)},N:X→Y,

(4)

定理1設(shè)下面條件滿足：

[Ⅱ] 系數(shù)矩陣detA>0且detAi>0,矩陣A和Ai(i=1,2,3)由式(10)(11)所定義,則系統(tǒng)(1)存在ω-周期解.

證設(shè)y(t)為系統(tǒng)Ly=λNy,λ∈(0,1)的任一ω-周期解,其中L,N分別由式(3)(4)所定義,則

(5)

將式(5)兩端同在[0,ω]上積分,得

(6)

(7)

將式(7)代人(6),同時(shí)記

(7′)

(8)

由廣義積分中值定理知,存在ξij∈[-τij(0),ω-τij(0)],使得

其中ηij=σij(ξij)∈[0,ω].

(9)

令A(yù)=(Λ1,Λ2,Λ3)為式(9)的系數(shù)矩陣,其中

Λ1=(a11,a21,a31)T,Λ2=(a12,-a22,-a32)T,Λ3=(a13,-a23,-a33)T.

(10)

同時(shí)取

2.2 兩組新生兒指標(biāo)比較 觀察組新生兒出生體質(zhì)量、巨大兒4例(5.00%)，對照組分別為(3.81±0.73)kg和15例(18.75%)，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(t=-8.33，P=0.02；χ2=21.60，P=0.00)；兩組新生兒窒息率均為2.50%(2/80)，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(χ2=1.31，P=1.24)。

(11)

|yi(ti)|≤Ri,i=1,2,3.

(12)

再由式(5),得

由此并結(jié)合式(12),得

|yi|0≤Ri+Mi,i=1,2,3.

(13)

進(jìn)而有

顯然M<∞為與λ無關(guān)的常數(shù).如果y∈KerL,則y為R3中的常向量.故由注2知

(14)

(15)

[1] Lü Xiang, Lu Shiping, Yan Ping. Existence and global attractivity of positive periodic solutions of Lotka-Volterra predator-prey systems with deviating arguments[J]. Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11:574-583.

[2] 魯世平.一類多偏差變元的n種群Lotka-Volterra模型的周期正解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,48(3):427-438.

[3] 范猛,王克.具偏差變元的捕食者-食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,23(4):557-561.

[4] Gaines R E, Mawhin J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations[M]. Berlin:Springer-Verlag,1977.

PositivePeriodicSolutionsofLotka-VolterraPredator-PreySystemswithMulti-DeviatingArguments

XU Yan, LU Shi-ping

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

This paper studied on a class of 3-species Lotka-Volterra predator-prey system with multi-deviation arguments and obtained the existence of positive periodic solutions for this model by continuation theorem and some analysis techniques.

positive periodic solutions; coincidence degree theory; Lotka-Volterra predator-prey system

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.009

2010-09-03

徐 燕(1985—),女,安徽安慶人,應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生,主要從事泛函微分方程研究.

*通信作者：魯世平(1962—),男,安徽無為人,教授,主要從事泛函微分方程研究.E-mail: lushiping26@sohu.com

O175.1MSC201034K13;34K40

A

1674-232X(2011)02-0133-04