張 丹，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

一類新的壓縮條件下四個自映象的公共不動點定理

張 丹，谷 峰*

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

利用度量空間中自映象對相容和次相容的條件，討論了完備度量空間中一類Φ-壓縮條件下4個映象的公共不動點的存在性與唯一性，得到一個新的公共不動點定理，擴(kuò)展了原有的結(jié)果.

相容映象對;次相容映象對;Φ-壓縮映象;公共不動點

1 引言和預(yù)備知識

張石生[1]和谷峰[2]在度量空間中自映象對相容和次相容的條件下，分別研究了涉及到3個和4個自映象的Φ-擴(kuò)張型的公共不動點定理.傅秋平[3]討論了完備度量空間中涉及到4個映象的一類Φ-壓縮映象的公共不動點問題.在此利用映象對相容[4]和次相容[5]的條件，討論了完備度量空間中4個映象的一類新的Φ-壓縮映象的公共不動點問題，獲得了一個新的公共不動點定理,所得結(jié)果本質(zhì)地改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的主要結(jié)果.

定義1集合X上的自映象對(f,g)稱為是可交換的，如果?x∈X，有fgx=gfx.

定義2[4]度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為相容的，如果?{xn}?X，當(dāng)fxn→x，gxn→x，x∈X時，有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義3[5]集合X上的自映象對(f,g)稱為是次相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注1由定義易知，可交換映象對必是相容映象對，而相容映象對也必是次相容映象對,但反之不真.

定義4稱函數(shù)Φ滿足條件(Φ)，如果函數(shù)Φ滿足以下條件：

(Φ):Φ:[0,∞)→[0,∞)是對t不減的和右連續(xù)的，且Φ(t)0.

(i)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；(ii)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)S,T,A,B,是完備度量空間X上的4個自映象，且滿足以下條件:

(i)S(X)?B(X),T(X)?A(X);(ii) 對于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X,有不等式成立:

d(Sx,Ty)≤Φ(M(x,y))，

如果以下條件之一被滿足，則S,T,A,B在X中有唯一公共不動點:1)S,A之一連續(xù)，且(S,A)相容,(T,B)次相容；2)T,B之一連續(xù)，且(T,B)相容，(S,A)次相容；3)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

證明任取x0∈X,因S(X)?B(X),T(X)?A(X),故存在X中的序列{xn},{yn},使得

y2n=Sx2n=Bx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2,n=0,1,2,3,….

(1)

事實上，由條件(ii)可知，當(dāng)n為偶數(shù)，不妨設(shè)為2n，則

(2)

類似地可證d(y2n-1,y2n)≤Φ(d(y2n-2,y2n-1))，因此，對?n∈N，有d(yn,yn+1)≤Φ(d(yn-1,yn)).

下面證明{yn}是X中的Cauchy列.若不然，由引理2知，必存在某一ε0>0和正整數(shù)列{mi}，{ni}，使得

a)mi>ni+1ni→∞(i→∞);b)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

令ei=d(ymi,yni)，則有ε0≤ei≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi).

(3)

另一方面，因為

ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni),

(4)

對上式右端第2項分4種情形進(jìn)行討論：

10當(dāng)mi為偶，ni為奇的情形.此時由條件(ii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

Φ(d(yni,ymi))=Φ(ei).

(5)

(6)

利用式(1)和(6)，在式(4)中令i→∞取極限得ε0≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，從而由引理1(i)知ε0=0，此與ε0>0矛盾.

20當(dāng)mi為偶，ni為偶的情形.此時由條件(ii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1),

(7)

(8)

引用式(1)(3)，并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè)，于式(8)中令i→∞取極限得

(9)

(10)

利用式(9)(10)，于式(7)中令i→∞取極限得

(11)

利用式(1)和(11)，于式(4)中令i→∞取極限得ε0≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，從而由引理1(i)知ε0=0，此與ε0>0矛盾.

同理可證mi，ni同為奇；mi為奇，ni為偶的情形也引出同樣的矛盾.這些矛盾說明{yn}是X中的Cauchy列.因X完備，設(shè)yn→y*∈X，則{y2n-1}和{y2n}也都收斂于y*，即

Tx2n-1=Ax2n=y2n-1→y*,Bx2n+1=Sx2n=y2n→y*(n→∞).

(12)

1) 設(shè)S,A之一連續(xù)，且(S,A)相容,(T,B)次相容.

如果A連續(xù)，則{A2x2n}和{ASx2n}都收斂于Ay*，又由式(12)以及(S,A)相容得d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)，從而SAx2n→Ay*(n→∞).下面分以下4步證明y*是S,T,A,B的公共不動點.

第1步，證明Ay*=y*.事實上，由條件(ii)有

于上式中令n→∞得

由引理1(i)得d(Ay*,y*)=0，進(jìn)而可得Ay*=y*.

第2步，證明Sy*=y*.利用條件(ii)可得

于上式中令n→∞，并注意到Ay*=y*可得

再由引理1(i)知d(Sy*,y*)=0，進(jìn)而可得Sy*=y*.

第3步，證明Ty*=By*.事實上，由Sy*=y*及S(X)?B(X)知，?u∈X，使y*=Ay*=Sy*=Bu.利用條件(ii)得到

再由引理1(i)有d(Bu,Tu)=0，進(jìn)而可得Bu=Tu.因(T,B)次相容，故Ty*=TBu=BTu=By*，即Ty*=By*.

第4步，證明Ty*=y*.由條件(ii)可知

再由引理1(i)得到d(y*,Ty*)=0，進(jìn)而可得Ty*=y*=By*.

綜上，有y*=By*=Ty*=Sy*=Ay*，即y*是S,T,A,B的公共不動點.

如果S連續(xù)，則{S2x2n}和{SAx2n}都收斂于Sy*，由式(12)以及(S,A)的相容性得d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)，從而ASx2n→Sy*(n→∞).由條件(ii)有

于上式中令n→∞得

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,y*)=0，進(jìn)而可得Sy*=y*.

由于y*=Sy*∈S(X)?B(X)，故?v∈X，使y*=Sy*=Bv.再由條件(ii)有

于上式中令n→∞，并注意到Sy*=Bv得

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,Tv)=0，進(jìn)而可得Sy*=Tv，于是y*=Sy*=Bv=Tv.考慮到(T,B)的次相容性，有Ty*=TBv=BTv=By*.再次利用條件(ii)，有

于上式中令n→∞，并注意到By*=Ty*得

由此及引理1(i)可知，有d(y*,Ty*)=0，進(jìn)而可得y*=Ty*.由于y*=Ty*∈T(X)?A(X)，故?w∈X，使y*=Ty*=Aw.利用條件(ii)，并注意到By*=Ty*=Aw可得

Φ(0)≤Φ(d(Sw,y*))

由此及引理1(i)可知，有d(Sw,y*)=0，進(jìn)而可得y*=Sw，于是y*=Aw=Sw.又由(S,A)的相容性易得Sy*=SAw=ASw=Ay*.

綜上有y*=Sy*=Ty*=Ay*=By*.故y*是S,T,A,B的公共不動點.

下證公共不動點的唯一性.設(shè)z也是S,T,A,B的一個公共不動點，則由條件(ii)有

由此及引理1(i)可知，有d(y*,z)=0，即y*=z，因此y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.

2) 當(dāng)T,B之一連續(xù)，且(T,B)相容，(S,A)次相容時，類似1)同理可證.

3) 設(shè)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

如果A是滿射，則對y*∈X,?u∈X,使Au=y*.由條件(ii)可知

(13)

于上式中令n→∞，并注意到Au=y*得

由此及引理1(i)可知，d(Su,y*)=0，即Su=y*，因而Su=Au=y*.又(S,A)是次相容的，故有Ay*=ASu=SAu=Sy*.以y*代替式(13)中的u可得Sy*=y*，于是Ay*=Sy*=y*.類似1)可證y*是S,T,A,B的公共不動點.與1)同樣可證y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.

當(dāng)B是滿射時同理可證y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.至此定理1獲證.

注1文獻(xiàn)[3]的定理1中要求函數(shù)Φ滿足：若t≤Φ[(1+2t)t],則t=0，本定理中取消了這一限制，因而本質(zhì)上改進(jìn)了[3]中的主要結(jié)果.

注2即使在定理1中分別取1)S=T；2)A=B；3)S=T,且A=B；5)S=T,且A=B=I(I表恒等映象)這幾種特殊情況，所對應(yīng)的結(jié)果也是全新的.

推論1設(shè)(X,d)是完備度量空間，{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集，I的勢不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若{Ti}i∈I,A,B滿足以下條件：

(i)TiX?BX，TiX?AX(?i∈I)；

(ii) 對于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X，i,j∈I(i≠j),有下面的不等式成立

d(Tix,Tjy)≤Φ(M(x,y))

其中函數(shù)Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足，則A,B,{Ti}i∈I在X中有唯一的公共不動點.

1)Ti(?i∈I),A之一連續(xù)且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；2)Ti(?i∈I),B之一連續(xù)且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；3)A,B之一為滿射且(Ti,A)和(Ti,B)(?i∈I)都次相容.

因此由引理1(i)可知，d(Tiz,z)=0，進(jìn)而Tiz=z.故z是A,B,{Ti}i∈I的公共不動點，其唯一性由條件(ii)易證.證畢.

[1] 張石生.不動點理論及其應(yīng)用[M].重慶：重慶出版社，1984.

[2] 谷峰.關(guān)于Φ擴(kuò)張相容映象的公共不動點定理[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2001，21(3)：176-179.

[3] 傅秋平.一類新的Φ-壓縮映象的公共不動點定理[J].高師理科學(xué)刊，2006，26(4)：1-5.

[4] Jungck G. Compatible mappings and common fixed points[J]. Internat J Math﹠Math Sci，1986，9(4)：771-779.

[5] 劉立山.(次)相容映象的公共不動點定理與廣義Ishikawa迭代逼近定理[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1990，16(2)：40-44.

[6]谷峰,何振華.一類平方型Φ-壓縮映象的公共不動點定理[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報，2006，22(5)：27-32.

CommonFixedPointTheoremofFourSelf-MappingswithAClassofNewContractiveCondition

ZHANG Dan, GU Feng

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

By using the compatible and subcompatible conditions of self-mapping pairs in metric spaces, the paper discussed the existence and uniqueness of a common fixed point theorem for four self-mappings with Φ-contractive mapping condition in complete metric spaces and obtained a new common fixed theorem which extended some previous results.

compatible mapping pair; subcompatible mapping pair; Φ-contractive type mapping; common fixed point

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.008

2010-09-07

國家自然科學(xué)基金項目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項目(Y605191);杭州師范大學(xué)研究生教改項目.

張 丹(1981—)，女，黑龍江齊齊哈爾人，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事非線性泛函分析研究.

*通信作者：谷 峰(1960—)，男，遼寧沈陽人，教授，主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.E-mail: gufeng99@sohu.com

O177MSC201047H10；58C30

A

1674-232X(2011)02-0127-06

式(1)(3)，并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè)，于式(5)中令i→∞取極限得