周立平 鄧小輝

(1. 湖南科技學院數(shù)學與計算科學系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中學，湖南 永州 425100）

矩陣方程 A X=B的加權最小二乘對稱、反對稱解及其最佳逼近

周立平1鄧小輝2

(1. 湖南科技學院數(shù)學與計算科學系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中學，湖南 永州 425100）

通過矩陣的奇異值分解，求得了矩陣方程 BAX= 的在加權范數(shù)下的最小二乘解、對稱最小二乘解、反對稱最小二乘解，同時也導出了在相應解集中與給定矩陣最佳逼近的最小二乘解.

加權范數(shù)；最小二乘解；對稱解；反對稱解；最佳逼近

1 引言

由于許多科學計算需要考慮加權最小二乘問題，如在求解最小二乘問題Ax ? b=min時，若A中部分系數(shù)和其對應方程的右端項精確知道，而其他系數(shù)和右端項具有一定誤差，則在計算時為盡量多保留有效信息，通常會對精確知曉的系數(shù)和右端項的方程乘以較大權重因子，以增加其在最小二乘問題的重要性，也就產(chǎn)生了加權最小二乘問題.為簡單起見，先對符號作如下約定. 設 Rm×n表示所有 m n 階實矩陣的集合， S Rn×n表示所有n階實對稱矩陣的全體，表示所有n 階實對稱正定矩陣的全體， A SRn×n表示所有n階實反對稱矩陣的全體， O Rn×n為所有n階實正交矩陣的全體， Im表示m階單位矩陣， AT、 r ank ( A)分別表示矩陣A的轉置與A的秩，對于 A = ( aij)m×n和表示A與B的Hadamard 積， ?在無說明的情況下，均指Frobenius 范數(shù).

矩陣的加權范數(shù)通常定義如下：

定義1 設 A ∈ Rm×n，，若 r ( W A )= r (A)，則定義A的加權范數(shù)為

事實上，當 W = Im時，AW= A，表明加權范數(shù)更具有一般性.

本文旨在考慮如下兩類問題：

問題I 給定 A ∈ Rm×n， B ∈ Rm×n，，則

問題II 設問題I ( a ) ,(b),(c)的解集分別為 Sa， S b， S c，給定 X ∈ Rn×n，

[1]孫繼廣.實對稱矩陣的兩類逆特征值問題[J].計算數(shù)學,1988,(3):282-290.

[2]鄧遠北.幾類線性矩陣方程的解與PROCRUSTES問題[D].長沙:湖南大學,2003,1-99.

[3]謝冬秀,張磊.一類反對稱陣的最小二乘問題[J].工程數(shù)學學報,1993,10(3):25-34.

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O151.21

A

1673-2219（2011）08-0006-05

2011－03－20

湖南省自然科學基金資助項目(編號：09JJ6014);湖南省教育廳重點資助科研項目

周立平（1978－），男，湖南永州人，碩士，講師，湖南科技學院數(shù)學與計算科學系教師，研究方向為數(shù)值代數(shù)。（責任編校：何俊華）