郭 倩,王雪青

(天津大學管理學院,天津 300072)

模糊理論在實物期權(quán)定價方法中應(yīng)用的理論研究

郭 倩,王雪青

(天津大學管理學院,天津 300072)

期權(quán)定價模型的應(yīng)用日益成為各種投資項目價值評估的手段。然而定價模型中所需的幾個重要參數(shù)的確定往往只能依靠決策者的主觀估計,這一確定過程的主觀性,必然導(dǎo)致運用期權(quán)定價模型對投資項目定價的不準確。鑒于此,文章在梳理實物期權(quán)有關(guān)文獻的基礎(chǔ)上,對期權(quán)定價方法進行歸納分類,并進一步找出其在實際應(yīng)用中的限制,提出應(yīng)用模糊數(shù)學方法修正實物期權(quán)投資模型的理論優(yōu)勢。

實物期權(quán);模糊理論;期權(quán)定價方法

一、引 言

實物期權(quán)的定價問題是一個非常復(fù)雜的問題,其困難在于我們必須先知道標的資產(chǎn)變化行為的一些統(tǒng)計參數(shù),在這些參數(shù)已知,如無風險利率及資產(chǎn)收益波動性固定的情況下,才能準確對其進行價值評估。當這些參數(shù)非固定常數(shù)且期權(quán)非歐式時,則B-S評價公式便常常處于無用武之地,進而研究者通過后續(xù)的相關(guān)研究,提出了許多數(shù)值分析法來解決。過去以B-S期權(quán)定價模型為主的算法,不論是其修正模型或近似模型,雖然都有其適用性及不錯的評價績效,但大多數(shù)模型均是假設(shè)在模型的結(jié)構(gòu)信息已知下求解。在這樣的前提下,許多問題便應(yīng)運而生,如當真實體系的結(jié)構(gòu)信息未知或不明確,亦或政治結(jié)構(gòu)與市場環(huán)境變得復(fù)雜時,甚至出現(xiàn)有所謂的結(jié)構(gòu)改變時,而貿(mào)然地以某種特定模型來對事實描述,不論其模型結(jié)構(gòu)有多完美,均難以描述真實體系的變化行為。因此,考慮應(yīng)用某一些無特定結(jié)構(gòu)信息的假設(shè)而以資料驅(qū)動型的方法來描述非線性的期權(quán)價格實有絕對的必要。本研究主要目的在于針對實物期權(quán)定價方法在實際應(yīng)用中的主要限制,修正標的資產(chǎn)收益波動性及無風險利率固定的假設(shè),同時將模糊集合理論應(yīng)用于期權(quán)定價模型中,以建立模糊期權(quán)定價模型,希望藉此模型所求解的買權(quán)價格區(qū)間更接近實際值。

二、期權(quán)定價方法

期權(quán)定價方法大致可分為模型驅(qū)動型理論及資料驅(qū)動型理論兩大類,以下即針對此兩大類模型的優(yōu)缺點做比較,如表 1、表 2所示。由于模型驅(qū)動型期權(quán)定價模型面臨定價偏差的窘境,故許多數(shù)值算法 (numerical algorithms)便因應(yīng)而生,這些方法一方面源自對其基本模型的修正,另一方面結(jié)果也是屬于逼近的數(shù)值解。

表 1 模型驅(qū)動型期權(quán)定價理論

表 2 資料驅(qū)動型期權(quán)定價理論

關(guān)于期權(quán)定價理論,許多學者曾經(jīng)進行深入研究,下面將期權(quán)定價理論根據(jù)模型驅(qū)動型理論及資料驅(qū)動型理論分成兩部分,并將其相關(guān)文獻內(nèi)容及評論整理成表 3、表 4。

表 3 模型驅(qū)動型期權(quán)定價理論文獻回顧與評述

模型名稱 年度 作者 文獻內(nèi)容摘要與評論偏度及峰度法 (Skewness and Kurtosis) 1997 1997 2002 Charles and Su Paulson e t al. Brown and Robinson加入偏度及峰度的調(diào)整項在B-S模型中,并導(dǎo)出修正模型。其能解釋波動性微笑現(xiàn)象。分析趨近法(Analytic Approxim -ation) 1984 1986 1986 1997 Geske and Johnson; Barone -Adesi,Whal -ey; Macmillan Zhang提供另一種數(shù)值分析法,可估計出避險參數(shù),然而這些避險參數(shù)的估計卻是相當粗糙的。

表 4 資料驅(qū)動型期權(quán)定價理論文獻回顧與評述

三、B-S期權(quán)定價模型及其應(yīng)用誤差

截至目前為止,最著名的期權(quán)定價模型是由 Black-Scholes(1973)和 Cox、Ross&Rubinstein(1979)分別所提出的模型。B-S模型推導(dǎo)出一個連續(xù)時間下封閉的數(shù)學解析式,而 CRR模型則使用二叉樹模型來推導(dǎo)離散時間下的期權(quán)定價模型。當時間被分割成無數(shù)段的小區(qū)間時,CRR模型就很接近B-S模型。但此兩種模型有其實務(wù)應(yīng)用上的限制,因為其模型必須對無風險利率及股價報酬的波動性作估計,故投資者在使用模型時即隱含不確定性。惟考慮投資環(huán)境的不確定性,故可以應(yīng)用模糊集合理論于B-S及 CRR模型之上,以推算合理的買入價格區(qū)間。

(一)B-S期權(quán)定價模型

期權(quán)(option)是一種契約,買方有權(quán)利在未來某一段期間內(nèi),以事先約定好的價格向賣方買入或賣出某一數(shù)量的標的資產(chǎn)。依買入或賣出的權(quán)利可分為買入期權(quán)及賣出期權(quán)兩種。買權(quán)賦予持有人買入某標的資產(chǎn)的權(quán)利,而賣權(quán)反之。另外期權(quán)又可依履約時間的不同,分為美式期權(quán)、歐式期權(quán)和百慕大期權(quán)。美式期權(quán) (American option)可在到期日前(含)的任何一天履約,向賣方買入或賣出股票或約定的標的資產(chǎn);歐式期權(quán) (European option)僅能在到期日當天履約;而百慕大期權(quán)是一種可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權(quán)的期權(quán),介于歐式期權(quán)與美式期權(quán)之間,可以被視為美式期權(quán)與歐式期權(quán)的混合體,以下為針對 Black-Scholes歐式買權(quán)所推導(dǎo)的公式。

Black-Scholes期權(quán)定價模型是由兩位美國經(jīng)濟學家FischerBlack及Myron Scholes于 1973年聯(lián)合提出。該公式奠定了衍生性金融商品定價的理論基礎(chǔ),對金融工程的發(fā)展存在著重要的影響,并于 1997年榮獲諾貝爾經(jīng)濟學獎。他們指出,影響買權(quán)價格的主要因素有標的資產(chǎn)股票價格、履約價格、到期時間、股票報酬率以及波動性和無風險利率,其具體的定價公式如下:

該公式廣泛地用來評價買入期權(quán)的合理價格,協(xié)助投資人決定期權(quán)或其它衍生性金融商品的價值,該公式的推導(dǎo)是建立在以下假設(shè)基礎(chǔ)上的:

(1)無風險利率在存續(xù)期間內(nèi)固定不變;

(2)無現(xiàn)金紅利;

(3)不存在賣空的限制;

(4)股票收益率標準差為固定值;

(5)無風險套利機會不存在;

(6)股價是連續(xù)的,且為隨機漫步 (random walk),股價為對數(shù)正態(tài)分布;

(7)無交易成本,亦無稅收;

(8)證券可無限制分割。

對于B-S期權(quán)評價公式的基本假設(shè),該公式對無風險利率、股票收益率標準差等要素均作了較為嚴格的假設(shè),如果假設(shè)條件被違反,則B-S期權(quán)定價模型的正確性及可靠性,將受重大影響。期權(quán)的價格在不確定情況下應(yīng)該是一個區(qū)間,但如果以此確定模型描述期權(quán)價格時,將無法精確算出期權(quán)價格。因此使用B-S期權(quán)定價模型的投資者,必須經(jīng)常對無風險利率、股價報酬之波動性等因素予以估計與預(yù)測并以此作為分析的依據(jù)。但投資者的估計與預(yù)測,不可避免地將受人為因素的影響,因此,結(jié)合模糊理論描述期權(quán)定價模型中的不確定性因素,建立模糊期權(quán)定價模型,才能進一步提升期權(quán)定價模型的實用性和精確性,才能使決策更加有效和客觀。

(二)B-S期權(quán)模型的應(yīng)用誤差

表 5 標的資產(chǎn)價格分布引起的定價誤差

另外,對于居于價內(nèi)與價外期權(quán)而言,其理論價格與市場價格的差異并不因時間的經(jīng)過而減少,同時也不因標的資產(chǎn)報酬波動的大小而有所不同,其模型與實際價格的差異如表6所示。

表 6 B-S模型實證分析文獻整理表

(三)二叉樹定價模型

一般意義的二叉樹期權(quán)定價方法因 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)的論文而得到推廣。定價模型相對簡單,其定價公式如下:

其中,C表示第 n期的買入期權(quán)價格;n表示期數(shù);u和 d分別是股價的上升幅度和下降幅度;p表示上漲概率。

如果上述二叉樹模型是一期二叉樹模型,則定價公式為:

二叉樹期權(quán)定價方法與現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型不同,并非運用一系列有風險的現(xiàn)金流并對它們用以風險調(diào)整后的貼現(xiàn)率進行貼現(xiàn),而是對發(fā)生在特定時間的特定現(xiàn)金流的概率進行風險調(diào)整,從而運用現(xiàn)金流風險調(diào)整后的概率使得分析者可以以無風險利率對這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)。這是應(yīng)用二叉樹定價方法進行期權(quán)估價的精髓,使用這種方法得到的結(jié)果是一致的。但是,二叉樹定價方法非常依賴對未來現(xiàn)金流的預(yù)測,而現(xiàn)金流本身預(yù)測的難度又增加了二叉樹定價方法實際應(yīng)用的難度。二叉樹定價模型假定未來每個時點上,每個現(xiàn)金流都存在兩種情況,實際上假定未來現(xiàn)金流的變化時不確定的,因而可以用模糊地方法預(yù)測未來現(xiàn)金流,以增強二叉樹模型的實際應(yīng)用效果。

Previous papers have found that the prevalence of hospital undernutrition varies between 27% to more than 50% depending on the identification criteria, the medical or surgical setting and the age of the patients[6-10].

四、實物期權(quán)法在實際應(yīng)用中的限制

實物期權(quán)定價模型原則上都是在B-S模型理論的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的,即便是二叉樹模型也是 B-S模型離散化形式。整體而言,以無套利理論為基礎(chǔ)的期權(quán)評價理論,均通過構(gòu)建無風險避險投資組合,進而決定期權(quán)的均衡價格。但由于Black和 Scholes(1973)定義的完美市場假設(shè)過于嚴格,因此,此后學者修正的方向大致可歸納為:(1)修正資產(chǎn)報酬變量固定的假設(shè),同時探討波動性有效估計方法;(2)修正利率常數(shù)假設(shè),水平利率期限結(jié)構(gòu)的假設(shè),以下即展開對于報酬波動性及無風險利率對項目投資價值評估影響的評述。

(一)風險中性假設(shè)的限制

風險中性假設(shè)是B-S期權(quán)定價模型的基礎(chǔ),但是這個假設(shè)只具有一個“瞬間有效性”的效力而已。在超過一個“瞬間”的時間長度時,則此假設(shè)不存在,或者延續(xù)此假設(shè)有效性的做法根本不合實際。更重要的是,在財務(wù)經(jīng)濟領(lǐng)域中,風險中性假說的觀點應(yīng)只針對股市的“需求面”來談而已,并非如B-S模型中把它和股市的“均衡股價”結(jié)果連接在一起。

B-S模型在推導(dǎo)初始是將股票和其相對應(yīng)的期權(quán),根據(jù)一定的比例組成一個無風險的投資組合。問題是這個投資組合的無風險狀態(tài)只存在于一瞬間而已。Hull(1993)認為對于一個具有相當時間長度的期權(quán)而言,先驗式的說法并不能拿來證明整個期權(quán)的實質(zhì)內(nèi)涵。當我們把期權(quán)期滿時股價依無風險利率折現(xiàn)時,就無異于明確表明所有不同種類的股票都將會以一個無風險利率的速度成長,而這必然是個有偏差的觀點,對于實物投資項目的定價同樣也是如此。

當然,B-S模型以風險中性觀點作為分析的最主要基礎(chǔ),主要是將風險偏好的有關(guān)因素排除在整個推導(dǎo)過程之外。當然,我們在一般風險偏好理論上的主要認知為投資項目的預(yù)期回報水平和風險偏好程度呈負相關(guān)。但問題是,即便可以把投資項目預(yù)期回報率從B-S模型推導(dǎo)過程中完全排除,并不表示我們便可把整個的定價模型所屬的研究分析環(huán)境當成是一個風險中立的世界,表 7為學者針對風險利率所做的修正模型。

表 7 風險中性修正的期權(quán)定價模型

如要修正B-S(1973)模型中把所有投資者都建立在風險中性假設(shè)基礎(chǔ)上,把所屬研究環(huán)境當作風險中性世界,而在進行期權(quán)定價時,最佳方式便是把此假設(shè)直接定義成一種客觀性存在,然而每位投資者在作出投資決策時,都具有主觀性,并以主觀行為來描述客觀性的問題。但實際上,風險偏好觀點是因人而異的,它不具備一種完全的客觀性或標準性特征,因此無法衡量個別投資者對投資方案在任一方面的偏好行為。所以以往討論風險偏好理論,在某種完全客觀的觀點下應(yīng)該不能成立,而風險中性解釋并不等于客觀上的無風險。因此,風險的描述是帶有主觀性的,不同投資環(huán)境下的風險描述必然是模糊的,進而引進模糊理論來描述無風險利率,并以某一模糊數(shù)來表示投資項目價值具有重大的實際意義。

(二)波動性假設(shè)的限制

波動性基本被用作風險的直接解釋或直接表示方式。事實上,對于期權(quán)評價的方式有許多看法,有人認為在 B-S期權(quán)定價模型中,假設(shè)其為外生變量是不合理的,而有些學者認為,標準差是隨著期權(quán)的價值不同而成動態(tài)性的變化的,稱為隱含波動 (implied volatility),而很多西方學者也發(fā)現(xiàn)同樣的標的資產(chǎn)基于折價期權(quán)及溢價期權(quán)所求出來的隱含波動性 (impliedly standard deviation,ISD)常常不一樣,通常價內(nèi)的 ISD會高于價外的 ISD,一般稱為期權(quán)微笑 (volatility smile)。然而期權(quán)定價的根本依據(jù)之一為其標的資產(chǎn)與未來的標的資產(chǎn)變動結(jié)果,而標的資產(chǎn)波動性在任何期權(quán)評價中,理論上應(yīng)該是未來的波動性。假如未來的波動性已知,我們就能知道期權(quán)價格。因此,不少學者使用許多方法來估計標的資產(chǎn)未來的波動性,一些常用的方法描述如下:

(1)歷史波動性

假設(shè)過去標的資產(chǎn)波動性等同未來標的資產(chǎn)的波動性,我們就能使用過去標的資產(chǎn)報酬的波動性去估計未來標的資產(chǎn)報酬的波動性,一般計算方法為加權(quán)移動平均法,計算公式如下:

其中,rt表示第 t期標的資產(chǎn)的收益率或報酬率,表示標的資產(chǎn)的平均收益率。

(2)隱含波動性

在B-S期權(quán)定價模型是準確的情況下,我們就能藉此反推隱含波動性,但折價期權(quán)和溢價期權(quán)的波動性皆比平價期權(quán)的波動性還大,這稱作期權(quán)微笑。

(3)帕金森方法(Parkinson method)

Parkinson(1980)認為只使用收盤價無法反映目前實際情況,所以使用最高和最低價來代替收盤價。

(4)Garman和 Klass方法

Gar man和 Klass(1980)修飾 Parkinson方法,增加開盤價及收盤價于其中,并同時使用四個變量來估計股價報酬率的波動性。

(5)時間序列分析法 (GARCH method)

Blooerslev(1986)提出時間序列分析來處理股價的波動性。其認為股價波動性會隨著時間的變動而改變,所以并不是常數(shù),且股價具有集聚特性,在期權(quán)定價模型中,目前股價報酬的波動性反映過去的股價報酬的波動性。因此估計標的資產(chǎn)未來的波動性有許多方法,表 8為一些學者針對股價報酬波動性所做的修正模型。

表 8 期權(quán)中報酬波動性的修正模型

既然標的資產(chǎn)的變動情形很少會呈現(xiàn)完全相同的型態(tài),我們也就不可能采用統(tǒng)一的看法將所有不同標的資產(chǎn)變動情形在某種觀點上一視同仁,且由于標的資產(chǎn)波動性是受許多因素所影響的,雖然也有不少研究在探討標的資產(chǎn)的影響因素及其變動趨勢,然而就目前而言仍屬不確定的,所以它的評價因素也應(yīng)該是個不確定值,而非在B-S期權(quán)定價模型中將標的資產(chǎn)報酬率標準差視為固定值,正是由于此動態(tài)性存在,難以基于大樹法則概率理論來計算標準差,似乎可視為在模糊環(huán)境下的問題,因此,可以利用模糊數(shù)學理論對實物期權(quán)進行定價。

F045.32 [文獻標識碼 ]A [文章編號]1003-8353(2011)04-0181-05

山東省軟科學項目(2010RKGA1030)。

郭倩,女,天津大學管理學院博士研究生;王雪青,女,天津大學管理學院教授,博士生導(dǎo)師。