許立濱，尹 曉

(哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150080)

當(dāng)今世界環(huán)境污染已經(jīng)嚴(yán)重威脅種群的生存，研究污染對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的影響是一個(gè)非常重要的課題，關(guān)于這方面的問題，已有很多結(jié)果.除此之外，人為的捕獲對(duì)生物種群的發(fā)展也有著重要的影響.

在環(huán)境容納量較大的情況下，何澤榮，馬知恩研究了污染和常數(shù)捕獲對(duì)單種群Logistic模型的影響[1].在環(huán)境容納量較小的情況下，馮由玲等研究了污染和連續(xù)捕獲對(duì)單種群Logistic模型持續(xù)生存和絕滅的影響對(duì)于資源-消費(fèi)者模型[2]，馬知恩，宋保軍討論了一類Gallopin資源-消費(fèi)者模型，在小容量情況下，得到了消費(fèi)者種群弱平均持續(xù)生存和絕滅的閾值[3].何澤榮，馬知恩進(jìn)一步考慮種群個(gè)體從環(huán)境中直接或間接地吸入毒素，以及個(gè)體向環(huán)境排毒作用的Gallopin模型，給出了種群弱平均持續(xù)生存和絕滅的判據(jù)，在一定條件下得到了閾值[4-5].本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上考慮死亡種群將體內(nèi)毒素帶回環(huán)境，以及常數(shù)捕獲對(duì)種群的影響，建立了污染環(huán)境中具有常數(shù)捕獲的Gallopin系統(tǒng).

其中:x(t)，a(t)，C0(t)，Ce(t)分別表示t時(shí)刻的消費(fèi)者的種群密度、資源量密度、種群個(gè)體體內(nèi)毒素濃度、環(huán)境毒素濃度;r0=b0-d0是種群沒有毒素時(shí)的自然增長(zhǎng)率為種群的出生率為種群的死亡率;H是人為對(duì)消費(fèi)者種群的捕獲量;f(t)為資源的自然增長(zhǎng)率，它為[0，∞)上的正值連續(xù)函數(shù);表示由于排泄、新陳代謝以及種群死亡而帶出種群內(nèi)部的毒素表示種群從環(huán)境中吸收的毒素)表示由于種群排泄以及死亡而帶入環(huán)境中的毒素;u(t)為外界向環(huán)境的毒素輸入率;hCe(t)是表示人為的凈化率r0、α、b、w、n、k、g、m、b0、d1、g1、k1、h、H均為正的常數(shù)，且滿足關(guān)系

(m0為種群內(nèi)每個(gè)個(gè)體的平均質(zhì)量;me為環(huán)境內(nèi)介質(zhì)的總質(zhì)量).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1對(duì)給定數(shù)β＞0，x(0)＞β.若對(duì)一切t∈[0，+∞)，有x(t)＞β，則稱種群x(t)是 β生存的.若存在T∈[0，+∞)，使得x(T)=β，則稱種群x(t)是β絕滅的.

定義2對(duì)t0∈[0，+∞)，若存在T＞t0，使x(T)=0，則稱種群x(t)是在有限時(shí)間內(nèi)零絕滅.

對(duì)系統(tǒng)(M)做如下假設(shè):

(H1)系統(tǒng)(M)初值

引理1對(duì)系統(tǒng)(M)，若滿足(Hi)(i=1，2，3，4)及，則，有

此外，若nbwA2-H＞0，存在T＞0，當(dāng)t＞T時(shí)

證明 由式(3)，(4)知，

由假設(shè)(H1)和式(6)、(7)知，C0(t)≥0，Ce(t)≥0.

對(duì)于情形(1)，由式(3)和(H2)假設(shè)可知.

因此存在 δ＞0，使得t0∈[T，T+δ]，有Ce(t)＜1，C0(t)≤1.這與[0，T]的定義相矛盾，故不存在這樣的T.同理可證情形(2)不成立.

對(duì)于情形(3)，由式(5)和(H3)可知從而由式(4)知

因而就保持C0(t)≤1，Ce(t)≤1的t而言，區(qū)間[0，T]仍可以向右延拓，這與T的性質(zhì)矛盾，所以 不存在這樣的T.故任意t∈R+，有0≤C0(t)≤1，0≤Ce(t)≤1.

再由式(1)和(H2)知

運(yùn)用比較原理得

即對(duì)任意 ε ＞0，存在T，當(dāng)時(shí)t＞T，有

則種群x(t)是β生存的.其中Mx如引理1所示

即

由系統(tǒng)(M)中的式(4)和引理1知

由定性分析和圖1可知，β1不穩(wěn)定點(diǎn)，β2是穩(wěn)定點(diǎn)，則有證畢.

2 主要結(jié)果

定理1若系統(tǒng)(M)滿足(Hi)(i=1，2，3，4)及

由式(11)和式(3)知

同理由(i)對(duì)式(12)利用比較原理知

再由式(1)和式(13)知

考慮式(14)的比較系統(tǒng)

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知式(15)有如下兩個(gè)正平衡點(diǎn).

若y0＞β，則對(duì)任意t∈R+，y(t)≥β.

由比較原理可得

圖1 系統(tǒng)(15)的積分曲線

由(ii)和(Hl)，對(duì)式(17)利用比較原理知

由式(3)和式(18)知

對(duì)式(19)利用比較原理知

再由式(1)和式(20)知

考慮比較系統(tǒng)

利用比較原理

由式(15)和式(21)及定義1知結(jié)論成立，證畢.

證明 考慮式(8)的比較系統(tǒng)

而已知有x0＞β，由函數(shù)的連續(xù)性可知，存在T＞t0，x(T)=β.由定義1知結(jié)論成立，證畢.

圖2 系統(tǒng)(23)的積分曲線

證明 由式(4)及引理1知

由比較原理，存在T1＞T，當(dāng)t＞T1時(shí)，有

當(dāng)t＞T1時(shí)，由式(3)知

當(dāng)時(shí)t＞T2，由式(1)及式(23)知

考慮(24)的比較系統(tǒng)

圖3 系統(tǒng)(26)的積分曲線

3 結(jié)語

當(dāng)種群個(gè)體體內(nèi)毒素c0(0)和環(huán)境毒素的ce

(0)以及外界向環(huán)境輸入的毒素的最大值u2滿足定理1的條件時(shí)，可知種群x(t)是β生存的.由此人們捕獲量H應(yīng)控制在

才能保證種群β生存的.

[1]何澤榮，馬知恩.污染與捕獲對(duì)Logistic種群的影響[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，12(3):230-237.

[2]馮由玲，王 克，孫靜懿.具污染與捕獲的Logistic單種群的持續(xù)生存及絕滅[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(3):365-369.

[3]MA Z E，SONG B J，HALLAM T G.The threshold between persistence and extinction of a population in a pollutied environment[J].Bull Math Biol.，1989.51(3):311-323.

[4]何澤榮，馬知恩.污染環(huán)境中Gallopin系統(tǒng)的生存分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2000，21(8):830-835.

[5]BUONOMO B，LIDDOA D，SGURA I.A diffusive-convective model for the dynamics of population-toxocant intentions:some analytical and numerical results[J].Math Bios.，1999，157(1):37-64.

[6]程亞煥，李冬梅.污染與捕獲條件下一類廣義Logistic種群的生存分析[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，9(6):119-121.