馬 威，顧孟迪

(上海交通大學安泰經(jīng)濟與管理學院，上海200052)

比例再保險是當保險公司面臨較大甚至是巨災風險時進行風險轉(zhuǎn)移的一項必要措施，它是原保險人將其承擔的保險業(yè)務其中一部分轉(zhuǎn)移給再保險人的行為.在比例再保險中最為關鍵的問題就是最優(yōu)再保險，即考慮以何種形式分保以及安排具體分保的額度.而保險資金的有效投資是保險公司管理的重要內(nèi)容之一.再保險與投資決策問題，是目前學術界關心的熱點課題.

隨機控制理論在再保險與投資問題的研究中得到廣泛應用.Merton(1971)[1]利用隨機控制方法討論了連續(xù)時間最優(yōu)投資組合問題，Browne(1995)[2]在公司保險盈余中引進標準布朗運動研究了具有隨機風險公司的最大化生存概率.黎鎖平和劉坤會(2003)[3]年將隨機控制理論運用于證券投資問題，得出相應的最優(yōu)控制策略.近來，有不少學者應用Hamilton–Jacobi–Bellman(HJB)方程研究最優(yōu)再保險與投資策略，例如，Cao和Wan(2009)[4]考慮了服從標準布朗運動的股價，而Gu等(2010)[5]研究了股價服從常彈性方程過程時的最優(yōu)策略.

隨著國際金融環(huán)境的日趨復雜，利率的變性，在短期表現(xiàn)出隨機性[6].現(xiàn)有再保險與投資策略的研究工作中都沒有考慮利率的這種隨機性，本文引進隨機利率，使之更適合現(xiàn)實投資環(huán)境.

1 保險盈余過程

設索賠過程服從如下動態(tài)方程[7-8]:

其中:α，σ0為常量，分別表示為單位時間平均索賠額和索賠波動率，w(0)t為標準布朗運動.

設保費為:q=(1+φ)α，φ＞0為保險安全負荷，即q＞α.這意味著公司實際收取的保費應該能夠補償向投保人支付的索賠額以及各項附加費用.

在既無再保險，也未作投資時，保險公司的盈余過程為:

在比例再保險中，再保險人在接受保險公司一定的報酬的情況承擔一部分賠償責任.設再保險比例為(1-a)，即每份保額由保險人承擔100a%，剩余100(1-a)%由再保險人承擔.在保期末，保險人向再保險人以費率λ(1-a)支付再保險費，其中，λ≥φα，保險公司的盈余過程為:

以S表示風險資產(chǎn)的價格，設其服從Black-Scholes過程:

其中:r1，σ1＞0為常量，分別表示風險資產(chǎn)的期望回報率與波動率，ω1(t)為獨立于ω0(t)的標準布朗運動.

以B表示無風險資產(chǎn)價值，并引入Hull-White隨機利率模型，則有:

其中:l，θ及σr都為t的確定性函數(shù).l決定了利率的長期平均水平，θ是調(diào)整短期和長期利率關系的平均回復率，ω2(t)為與ω0(t)和ω1(t)相關的標準布朗運動.

又因為ω1(t)獨立于ω0(t)我們可設ω2(t)與ω0(t)的相關系數(shù)為 ρ1，ω2(t)與 ω1(t)的相關系數(shù)為 ρ2，且

以b代表保險盈余投資于風險資產(chǎn)的部分，保險公司的盈余可以表示為:

顯然，自擔風險比例a與風險資產(chǎn)投資比例b構成了保險人的策略.動態(tài)過程(a(t)，b(t))稱為策略εt.

2 HJB方程及其求解

在上述模型的基礎上，為尋求最優(yōu)投資策略，我們以財富期望效用最大化為目標，即求解

設保險人追求期末財富效用最大化，而其效用函數(shù)是常絕對風險規(guī)避(CARA)的:

對策略εt，定義在時間t，保險人從財富狀態(tài)v時得到的效用為:

目標是求解最優(yōu)價值函數(shù):

該問題的HJB方程為:

由一階條件可得:

考慮CARA效用函數(shù)(7)下我們可設H其為如下形式:

其中:m(T)=1，n(T)=0，g(T，r)=0

故有:

代入式(11)并整理可得:

由式(13)可得如下方程組:

結(jié)合m(T)=1，n(T)=0可解得:

為求解方程組(14)中第三個方程，我們設:

其中:X(T)=0，Y(T)=0，Z(T)=0

代入式(14)中第三個方程得

令:

整理(18)得:

由式(19)可得如下方程組:

結(jié)合X(T)=0，Y(T)=0，Z(T)=0解之可得:

因此，最優(yōu)最保險與投資策略為:

其中:

3 結(jié)語

保險公司的最優(yōu)再保險與投資決策是近年來學術界關注的一個問題，但現(xiàn)有研究中都沒有考慮利率的隨機性.本文在考慮隨機利率的情況下建立了公司保險盈余模型，在CARA效用函數(shù)下利用HJB方程求得了最優(yōu)解，給出了保險公司的最優(yōu)再保險比例及投資比例.由于這類問題的復雜性，能夠求解出解析解的情況不多，而考慮隨機利率更加大了問題的復雜程度.本文得到了CARA效用下的解，但CRRA效用下仍然無法求解.今后可以嘗試用數(shù)值方法來分析這些問題.

[1]MERTON R C.Optimum consumption and portfolio rules in a continuous times model[J].Journal of Economics Theory，1971，3:373-413.

[2]BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research 1995，20(4):937-958.

[3]黎鎖平，劉坤會.隨機控制的HJB方程與證券投資模型[J].北方交通大學學報，2003，27(6):63-67

[4]CAO Y，WAN N.Optimal proportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation[J].Insurance:Mathematics and Economics2009，45，157-162.

[5]GU M，YANG Y，LI S，et al.Constant elasticity of variance model for proportional reinsurance and investment strategies[J].Insurance:Mathematics and Economics，2010，46，580-587.

[6]劉 堅，楊向群，顏李朝.隨機利率和隨機壽命下的歐式未定權益定價[J].廣西師范大學學報，2005，23(4):49-52

[7]PROMISLOW D S，YOUNG V R.Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal，2005，9(3):109-128.

[8]羅 琰，楊招軍.保險公司最優(yōu)投資及再保險策略[J].財經(jīng)理論與實踐，2009，30(159):31-34.