秦學成

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

局部PFI代數(shù)

秦學成

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文主要考察滿足條件(P)的Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱PFI代數(shù))的基本特征.提出了局部PFI代數(shù)的概念并研究其性質,獲得了PFI代數(shù)成為局部PFI的若干充要條件.

模糊邏輯；Fuzzy蘊涵代數(shù)；PFI代數(shù)；局部PFI代數(shù)；MP濾子

1 引言

非經典數(shù)理邏輯[1]的一個重要的研究方向是對有關邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究.為了證明Lukasiewicz邏輯系統(tǒng)的完備性,C.C.Chang提出并研究了MV代數(shù),同時提出了局部有限MV代數(shù)的概念[2].此后,在1993年,L.P.Belluce等將局部有限MV代數(shù)的概念加以推廣,提出了局部MV代數(shù)的概念[3].由于MV代數(shù)是一種特殊的BL代數(shù),因此,E.Turunen等又將這一思想推廣到BL代數(shù),提出局部BL代數(shù)的概念[4].1996年,我國學者王國俊提出了R0代數(shù)的概念,考慮到R0代數(shù)與MV代數(shù)以及BL代數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別,文[5]提出了局部R0代數(shù)的概念并研究其性質.文獻[6]中引入的Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱:FI-代數(shù))邏輯蘊涵連接詞的代數(shù)化,它揭示蘊涵算子的共同性質.值得注意的是,MV-代數(shù),BL-代數(shù)[7],格蘊涵代數(shù)[8],R0-代數(shù)以及剩余格代數(shù)等,都可以看成FI代數(shù)的特例,因而對FI代數(shù)的研究具有廣泛而基本的重要意義,近年來,人們對這一代數(shù)結構已做了大量細致的研究工作[9-15].

為了進一步考察FI代數(shù)結構特性,本文將C.C.Chang的思想推廣到FI代數(shù),提出局部PFI代數(shù)的概念并研究其性質,獲得了一些有意義的結果.

2 基本概念和基本結果

定義 2.1[6]稱（2,0)型代數(shù)(X，→,0)為Fuzzy蘊涵代數(shù),簡稱FI代數(shù),若坌x,y,z∈X有

(I1)x→(y→z)=y→(x→z);

(I2)(x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(I3)x→x=1;

(I4)x→y=y→x=1圯x=y;

(I5)0→x=1.其中 1=0→0.

文獻[6],在FI代數(shù)中定義了一個偏序≤:x≤y圳x→y=1.另外還定義了元素x的偽補c(x)=x→0.若(X,→,0)是 FI代數(shù),且坌x∈X,cc(x)=x,則稱(X,→,0)是正則FI代數(shù).

引理2.1[6,11]設(X,→,0)是一個FI代數(shù).則坌x,y,z∈X有

(1)x≤1 且 1→x=x

(2)如果 x≤y,則 z→x≤z→y 且 y→z≤x→z;

(3)x≤(x→y)→y;

(4)如果 x≤y 且 y≤z,則 x≤z;

(5)c(0)=1,c(1)=0;

(6)x≤cc(x),ccc(x)=;c(x);

(7)如果 x≤y,則 c(y)≤c(x);

(8)(y→z)→((x→y)→(x→z))=1.

定義2.2[10]稱FI代數(shù)(X,→,0)具有性質(P),若坌x,y∈X,A(x,y)的最小元minA(x,y)存在,其中A(x,y)={z∈X|x≤y→z}.并稱具有性質(P)的 FI代數(shù)為 PFI代數(shù).

顯然,正則FI代數(shù)必為PFI代數(shù).為方便起見,記x⊙y=minA(x,y),顯然⊙定義了X上的一個適合交換律的二元運算.約定:x1=x,x2=x⊙x,xk+1=xk⊙x，k∈Z+.特別地,如果(X,→,0)是一個正則 FI代數(shù),則有 x⊙y=c(x→c(y)),坌x,y∈X.

引理2.2[10]設(X,→,0)是一個PFI代數(shù),則有坌x,y,z∈X.

(1)x≤y→(x⊙y)且 x⊙(x→y)≤y;

(2)(x→y)⊙(y→z)≤x→z;

(3)(x⊙y)→z=x→(y→z);

(4)x⊙y≤z圳x≤b→c;

(5)x⊙1=x;

(6)a≤b圯a⊙c≤b⊙c;

(7)(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z);

(8)x⊙c(x)=0 且 0⊙x=0.

定義2.3[14]設(X,→,0)是一個FI代數(shù),覫≠F埭X.如果坌x,y∈X都有

(MF1)1∈F;

(MF2)x,x→y∈F圯y∈F,

則稱F是X的MP濾子.

注 2.1[14](1)設(X,→,0)是 FI代數(shù),則易見{1}和X都是X的MP濾子,且X的任意一族MP濾子的交和定向并都還是X的MP濾子;

(2)設(X,→,0)是FI代數(shù)且F是X的MP濾子,則F是一個上集;

(3)設(X,→,0)是PFI代數(shù)且F是X的MP濾子,則F對⊙是封閉的.

定義2.4[15]設(X,→,0)是一個FI代數(shù)且F是X的MP濾子.如果F≠X,則稱F是X的真MP濾子.稱X的真MP濾子F為素MP濾子,如果坌x,y∈X都有x→y∈F或y→x∈F.稱X的真MP濾子F為極大MP濾子,如果對任意MP濾子E而言,F奐E蘊涵E=F或E=L.

注2.2 設(X,→,0)是PFI代數(shù),則F是X的真MP濾子圳0埸F圳坌x∈X,x∈F與c(x)∈F不同是成立.事實上,設F是X的MP濾子且0埸F,如果x∈F 且 c(x)∈F,則 x⊙c(x)∈F,即 x⊙c(x)=minA(x,c(x))∈F.又坌x∈F,x→(c(x)→0)=1,所以 x≤c(x)→0,從而 0∈A(x,c(x)),進而 0=x⊙c(x)∈F,矛盾!因此 x∈F與c(x)∈F不同是成立.反之,設x∈F與c(x)∈F不同是成立,如果0∈F,則由F為上集得x∈F且c(x)∈F,矛盾!

命題2.1 設(X,→,0)為PFI代數(shù),則X的任一真MP濾子都可延拓為一個極大MP濾子.

證明 設F為X的任一真MP濾子,為敘述方便,記包含F(xiàn)的全體真MP濾子之集為Con(F),則(Con(F),奐)是一個非空偏序集.設 L 是(Con(F),奐)中任意鏈,則由注2.1(1)知L必有上確界,從而由Zorn引理可知(Con(F),奐)必有極大元.則可斷言每個極大元F*都是滿足F奐F*的極大MP濾子.若不然,存在MP濾子E使得F*奐E但F*≠E且E≠X,于是F奐F*奐E 且 E≠X.這與 F*為(Con(F),奐)的極大元矛盾!因此命題得證.

定義2.51[14]設(X,→,0)是FI代數(shù)且覫≠A奐X.稱X的包含A的最小MP濾子為由集合A生成的MP濾子,記為.

3 局部PFI代數(shù)

定義3.1 設(X,→,0)是一個PFI代數(shù)且x∈X.稱滿足xm=0的最小正整數(shù)m為元素x的階,記為ord(x).如果這樣的正整數(shù)m不存在,則稱x的階是無限的,即ord(x)=∞.

定義 3.2 設(X,→,0)是FI代數(shù),如果X有唯一的極大MP濾子,則稱(X,→,0)是局部的.

設(X,→,0)是 PFI代數(shù)，定義 D(X)={x∈X|坌n∈Z+,xn>0}.

顯然x∈D(X)當且僅當ord(x)=∞.

命題3.1 設(X,→,0)是一個PFI代數(shù)且F是X的真MP濾子,則F奐D(X).

證明 設F是X的真MP濾子.如果x∈F,則坌n∈Z+,由F對⊙封閉可得xn∈F.因為0埸F,所以xn≠0,故 xn>0,即 x∈D(X).因此 F奐D(X).

命題3.2 設(X,→,0)是一個PFI代數(shù),則下列個條件等價

(1)D(X)是X的MP濾子;

(2)坌x,y∈X,坌n∈Z+, 若 xn≠0 且 yn≠0, 則 xnyn≠0;

證明 (1)圯(2):設(1)成立且 x,y∈X.則坌n∈+,若 xn≠0 且 yn≠0,則 x∈D(X)且 y∈D(X),又 D(X)是X的MP濾子,所以x⊙y∈D(X).進而由引理2.2(7)和⊙的交換性可得xn⊙yn=(x⊙y)n∈D(X),因此xn⊙yn>0,即 xn⊙yn≠0.

(2)圯(1):由 D(X)的定義顯然有 1∈D(X).坌x,y∈X,設 x∈D(X)且 x→y∈D(X),坌n∈Z+,xn>0 且(x→y)n>0,于是由(2)可知 0≠xn⊙(x→y)n=(x⊙(x→y))n,因此(x⊙(x→y))n>0.又因為由引理 2.2(1)知 y≥x⊙(x→y),所以再由引理 2.2(6)和(7)便得 yn≥(x⊙(→y))n>0,故y∈D(X),從而D(X)是X的MP濾子.

定理3.1(局部PFI代數(shù)的特征) 設(X,→,0)是一個PFI代數(shù),則下列各條件等價

(1)D(X)是X的MP濾子;

(2)是X的真MP濾子;

(3)D(X)是X的唯一極大MP濾子;

(4)X是局部PFI代數(shù).

證明 (1)圯(2):設(1)成立,則顯然有=D(X).而由D(X)的定義又知0埸D(X),從而0埸,進而是X的真MP濾子,即(2)成立.

(2)圯(3):設(2)成立,則由命題 3.1 知 奐D(X),又因為 D(X)奐,所以 =D(X),這表明D(X)是X的一個真MP濾子.設E是X的任意極大MP濾子,則由命題3.1知E奐D(X),再由D(X)是X的一個真MP濾子和E的極大性可得E=D(X),因此D(X)是X的唯一極大MP濾子.

(3)圯(4):平凡的.

(4)圯(1):設(4)成立,并令F是X的唯一的極大MP濾子,任取x∈D(X),則<{x}>是X的一個真MP濾子,從而由命題2.1知<{x}>可延拓為X的一個極大MP濾子Fx,于是由F的唯一性便得Fx=F,故x∈F,從而 D(X)奐F.另一方面,由命題 3.1 又有 F奐D(X),因此D(X)=F,所以D(X)是X的MP濾子.

定理3.2(局部正則FI代數(shù)的特征) 設(X,→,0)是一個正則FI代數(shù),則下列各條件等價

(1)X是局部的;

(2)坌x∈X,ord(x)=∞ 或 ord(c(x))=∞.

證明 (1)圯(2):設X是局部,則由定理3.1知D(X)是X的MP濾子.如果存在x∈X使得坌n∈Z+都有 xn>0 且(x(x))n>0,則由命題 3.2 知 xn⊙(c(x))n≠0,但由引理 2.2(8)又有(x⊙c(x))n=0,矛盾!因此坌x∈X,ord(x)=∞ 或 ord(c(x))=∞,即(2)成立.

(2)圯(1):設(2)成立.顯然 1∈D(X).如果 x∈D(X)且x→y∈D(X),則由X的正則性可得c(x→c(y))=x→y∈D(X),故存在 m∈Z+使 ord(x⊙c(y))=m,即

因此(c(y))m≤c(xm).由 x∈D(X)知,坌n∈Z+,xn>0,從而必有坌k∈Z+,(xm)k=xmk>0,故xm∈D(X).于是ord(c(xm))=l<∞,即(c(xm))l=0,故

所以(c(y))ml=(xm)l=0,即 ord(c(y))≤∞,故 ord(y)=∞,即 y∈D(x).因此 D(X)是 X 的 MP 濾子,所以由定理3.1知X是局部的.

〔1〕王國俊.數(shù)理邏輯引論與歸結原理(第二版)[M].北京:科學出版社,2006.

〔2〕Chang C C.Algebras Analysis of Many-valued Logics[J].Trans.Amer,Math.Soc.,1958,88:467-490.

〔3〕Belluce L P,Nola A D,Lettieri A.Local MV-algebras[J].Rend.Circ.Math.Palermo,,1993,42:347-361.

〔4〕Turunen E,Sessa S.LocalBL-algebras[J].Mult.Val.Logic,2001,6(1-2):229-250.

〔5〕劉練珍,李開泰.局部 R0代數(shù)[J].數(shù)學研究與評論,2005,25(3):538-542.

〔6〕吳望名.Fuzzy蘊涵代數(shù) [J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，1990,4(1):56—64.

〔7〕王國俊.MV代數(shù),BL代數(shù),R0代數(shù)與多值邏輯[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2002,15(3):1-15.

〔8〕Xu Y,Ruan D,Qin K Y,Liu J.Lattice-Valued Logic[M].Berlin:Springer,2003.

〔9〕李志偉,鄭崇友.HEYTING代數(shù)與FUZZY蘊涵代數(shù)[J].數(shù)學雜志,2002,35(2):237-240.

〔10〕朱怡權,曹喜望.關于 PFI代數(shù)與剩余格[J].數(shù)學進展,2006,35(2):223-231.

〔11〕劉春輝,吳紅霞,徐羅山.關于 CFI代數(shù)[J].揚州大學學報(自然科學版),2007,10(4):1-4,8.

〔12〕劉春輝,徐羅山.賦范 Fuzzy蘊涵代數(shù)[J].揚州大學學報(自然科學版),2009,12(3):1-5.

〔13〕劉春輝.正則Fuzzy蘊涵代數(shù)的理想格[J].內蒙古師范大學學報(自然科學漢文版),2009,38(1):4-8.

〔14〕劉春輝,徐羅山.Fuzzy蘊涵代數(shù)的MP濾子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2009,23(2):1-6.

〔15〕劉春輝,徐羅山.Fuzzy蘊涵代數(shù)的素MP濾子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2011（1）.

O141.1；O153.1

A

1673-260X（2011）11-0014-03