李 瑩, 高 巖, 郭文彬

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093;2.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,聊城 252059)

矩陣乘積關(guān)于廣義逆的交換律及廣義交換律

李 瑩1,2, 高 巖1, 郭文彬2

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093;2.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,聊城 252059)

定義了兩個(gè)矩陣乘積關(guān)于廣義逆的交換律與廣義交換律的概念,利用矩陣秩方法及奇異值分解分別研究了兩個(gè)矩陣乘積關(guān)于{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆與{1,4}-逆的交換律與廣義交換律成立的充要條件,并對其進(jìn)行了比較.

{i,j,k}-逆;群逆;廣義Schur補(bǔ);秩方法;奇異值分解;交換律

1 預(yù)備知識

以Cm×n表示所有m×n復(fù)矩陣的集合.A*,r(A),R(A),N(A)分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置、秩、值域與零空間.對于A∈C n×n,ind(A)表示A的指標(biāo),它是指滿足r(A k)=r(A k+1)的最小正整數(shù).給定矩陣A∈Cm×n,其廣義逆G[1-2]是滿足下列4個(gè)方程中某些方程的矩陣

令?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},用Aη表示滿足以上4個(gè)方程中的(i),(j),(k)方程的矩陣G的集合,Aη中的任何一個(gè)矩陣G稱之為矩陣A的一個(gè){i,j,k}-逆,記為A(i,j,k).若η={1,2,3,4},則稱G為A的M-P逆,記為A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A分別為A*,A的零空間上的正交投影.A∈C n×n的群逆[1]是指滿足下列方程的矩陣G,記為A#.

矩陣的各種類型的廣義逆在實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.它們在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、測量學(xué)、博弈論和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域都有極其重要的作用[2-3].同時(shí)在研究最小二乘問題、長方及病態(tài)線性方程問題、馬爾可夫鏈等統(tǒng)計(jì)問題中也是一種基本的工具.廣義逆應(yīng)用的廣泛性要求它自身理論發(fā)展不斷地充實(shí)完善.

首先,給出矩陣乘法關(guān)于廣義逆的交換律及廣義交換律的定義.

定義1設(shè)A∈C n×n,?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4}.對于X∈Aη,如果AX=XA,則稱矩陣乘法關(guān)于X滿足交換律.

定義2設(shè)A∈C n×n,?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4}.對于X,Y∈Aη,X≠Y,如果AX=YA,則稱矩陣乘法關(guān)于X與Y滿足廣義交換律.

為推導(dǎo)需要,給出下列引理.

引理1[1]設(shè)A∈C n×n,則下列各條等價(jià):

2 矩陣乘法關(guān)于A(1)及A(1,j)的交換律成立的充要條件

定理1設(shè)A∈C n×n,則下列各條等價(jià):

1.自治區(qū)級社會保險(xiǎn)費(fèi)征收機(jī)構(gòu)。自治區(qū)社會保險(xiǎn)事業(yè)局作為自治區(qū)社會保險(xiǎn)費(fèi)征收機(jī)構(gòu)，為自治區(qū)人力資源和社會保障廳管理的相當(dāng)副廳級全額撥款、公益一類事業(yè)單位。主要負(fù)責(zé)社會保險(xiǎn)參保登記、費(fèi)用征繳、權(quán)益記錄、社會保險(xiǎn)待遇支付的管理；負(fù)責(zé)自治區(qū)直屬單位、中直企業(yè)、南寧鐵路局的社會保險(xiǎn)費(fèi)征收以及自治區(qū)直屬駐邕單位離休干部醫(yī)療保障業(yè)務(wù)的經(jīng)辦管理工作。

a.存在A(1)∈A{1},使得AA(1)=A(1)A;

b.存在A(1,2)∈A{1,2},使得AA(1,2)=A(1,2)A;c.r(A)=r(A2);

d.ind(A)=1;

e.R(A)∩N(A)={0};

f.R(A)⊕N(A)=C n;

g.A#存在.

證明a?c 若存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A,則在上式兩端分別左乘A得A2A(1)=A,因而r(A2)≥r(A).同時(shí)r(A2)≤r(A).因此r(A)=r(A2).

c?ar(A)=r(A2)即ind(A)=1.由引理1知存在A#且AA#=A#A.顯然A#∈A{1}.即存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A.

b?c 類似于a?c.c?d?e?f?g可由引理1直接推得.

定理2設(shè)A∈C n×n.則存在A(1,3)∈A{1,3}使得A(1,3)A=AA(1,3)=AA+當(dāng)且僅當(dāng)

證明由于AA(1,3)=AA+對任意A(1,3)∈A{1,3}成立,關(guān)于{1,3}-逆的交換律轉(zhuǎn)化為是否存在A(1,3)使得A(1,3)A=AA+.后者等價(jià)于(A(1,3)A-AA+)=0.現(xiàn)計(jì)算這一極小秩.由式

(1)和式(3),得

定理3設(shè)A∈C n×n.則存在A(1,4)∈A{1,4},使得AA(1,4)=A(1,4)A=A+A當(dāng)且僅當(dāng)

證明由于A(1,4)A=A+A對任意A(1,4)∈A{1,4}成立,關(guān)于{1,4}-逆的交換律等價(jià)于是否存在A(1,4),使得AA(1,4)=A+A.而后者又等價(jià)于(AA(1,4)-A+A)=0.現(xiàn)計(jì)算這一極小秩.由式

(1)和式(4),得

文中考慮的是對某一個(gè)A(1,j),等式AA(1,j)=A(1,j)A是否成立.現(xiàn)研究對于X,Y∈A{1,j}且X≠Y,AX=YA成立的條件.

3 矩陣乘法關(guān)于廣義逆的廣義交換律成立的充要條件

定理4設(shè)A∈C n×n.則存在A-,A=∈A{1}使得AA-=A=A當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(A2).

在定理1中,已經(jīng)說明選擇A#∈A{1}可以使AA(1)=A(1)A.事實(shí)上,作為一般性的證明方法,只需在定理4的證明過程中令B1=B2,C1=C2,D1=D2即為定理1的證明.

定理5 設(shè)A∈C n×n.則存在X,Y∈A{1,2}使得AX=YA當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(A2).

因而關(guān)于{1,2}-逆的廣義交換律與關(guān)于{1}-逆的廣義交換律相同.

對于{1,3}-逆,設(shè)X,Y∈A{1,3},不論X與Y是否相等,總有AX=AY=AA+,因而關(guān)于{1,3}-逆的廣義交換律等同于關(guān)于{1,3}-逆的交換律.{1,4}-逆的情形與{1,3}-逆相同.

定理7設(shè)A∈C n×n.則存在X,Y∈A{1,4}使得AX=YA當(dāng)且僅當(dāng)r(A,A*)=r(A2).

4 結(jié) 論

[1] BEN-ISRAEL A,GREVILE T N E.Generalized Inverses:Theory and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,1974.

[2] 郭文彬,魏木生.奇異值分解及其在廣義逆理論中的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[3] 王松桂,楊振海.廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,1996.

[4] TIAN Y G.More on maximal and minimal ranks of Schur complements with applications[J].Appl Math Comput,2004,152:675-692.

[5] TIAN Y G.Upper and lower bounds for ranks of matrix expressions using generalized inverse[J].Linear Algebra Appl,2002,355:187-214.

Commutative law and generalized commutative law of matrix multiplication on generalized inverse

LIYing1,2, GAOYan1, GUOWen-bin2
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.College of Mathematics Science,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

The concepts of the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on generalized inverse were defined.Using the matrix rank method and SVD,necessary and sufficient conditions about the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on{1}-inverse,{1,2}-inverse,{1,3}-inverse and{1,4}-inverse were established respectively,and these conditions were compared between themselves.

{i,j,k}-inverse;group inverse;generalized Schur complement;matrix rank method;singular value decomposition;commutative laws

O 151.21

A

1007-6735(2011)04-0379-05

2010-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171221)

李 瑩(1974-),女,博士研究生.研究方向:系統(tǒng)分析,矩陣?yán)碚?E-mail:liyingld@163.com高 巖(聯(lián)系人),男,教授.研究方向:混雜系統(tǒng)分析.E-mail:gaoyan@usst.edu.cn