王雪琴

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學系，陜西渭南714000)

關于導函數(shù)連續(xù)的條件分析

王雪琴

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學系，陜西渭南714000)

通過對導函數(shù)特性的分析，得到了導函數(shù)連續(xù)的幾個充分條件，為繼續(xù)研究分段函數(shù)的連續(xù)性及后續(xù)的積分學提供了理論依據(jù).

導函數(shù)連續(xù)性;一致可微;凹凸性;充分條件

1 預備知識

定義［4］設f(x)在區(qū)間I上有定義，若對時，有

則稱f(x)在區(qū)間I上一致可微.

引理1［1］若函數(shù)f(x)在U(x0)內連續(xù)，在U0(x0)內可導，且極限存在，則f'(x)在x0點連續(xù).

該引理是導函數(shù)的連續(xù)性定理，說明導函數(shù)極限存在就連續(xù)，即不存在第一類間斷點.它與一般函數(shù)不同，這是導函數(shù)的一大特性.

引理2［5］若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，且f'(x)在(a，b)單調，則f'(x)在(a，b)內連續(xù).

該引理說明導函數(shù)如果單調就連續(xù)，但對一般函數(shù)而言，需要滿足單調有界定理才能有極限，所以談不上連續(xù).它又體現(xiàn)了導函數(shù)的特性.

引理3［3］若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，f(x)為凹(凸)函數(shù)當且僅當f'(x)為減(增)函數(shù).

2 結論及證明

結論1 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，且f(x)為凹(凸)函數(shù)，則f'(x)在(a，b)內連續(xù).

證明:由引理3及引理2可證得.

說明:若x0為f'(x)的間斷點，則必是第一類間斷點:即凹(凸)函數(shù)不存在第二類間斷點.

結論2 若f(x)在區(qū)間I上一致可微，則f'(x)在區(qū)間I上連續(xù).

數(shù)學分析研究的對象是函數(shù)，導函數(shù)是函數(shù)中極其特殊的一類函數(shù)，而導函數(shù)的特性是數(shù)學理論與數(shù)學教學中值得探討的一個課題，它對豐富數(shù)學的內容，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的能力具有重要的意義.參考文獻［1］、［2］、［3］中給出了導函數(shù)的連續(xù)性及介值性定理.本文在此基礎上繼續(xù)研究導函數(shù)連續(xù)的充分條件，得出幾個重要結論.

由連續(xù)的定義知f'(x)在x0連續(xù).由于x0的任意性，所以f'(x)在區(qū)間I上連續(xù).

說明:可微是局部性，一致可微是整體性.一般情況下f(x)的導函數(shù)f'(x)不一定連續(xù)，但在一致可微的情況下導函數(shù)一定連續(xù).

結論3 若f(x)滿足f″(x0)存在.令，則g'(x)在x0連續(xù).

證明:f(x)在x0的泰勒公式為

由引理1知g'(x)在x0連續(xù).

說明:該函數(shù)是一個構造性函數(shù).它與導函數(shù)的概念密切相關，它同樣具有導函數(shù)連續(xù)性的特性.為研究導函數(shù)分段點的連續(xù)性及泰勒公式的延拓提供了理論依據(jù).

3 結束語

從以上的分析研究可以看出，導函數(shù)是極其特殊的函數(shù)，它具有介值性但不要求其連續(xù);具有連續(xù)性只要求有極限、單調或為凹凸函數(shù).在此基礎上，還可以繼續(xù)研究導函數(shù)的其他特性及其這些結論的具體應用，為后續(xù)課程的學習及研討奠定良好的理論基礎.

［1］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］謝惠民.數(shù)學分析習題課講義(上冊)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］劉玉璉.數(shù)學分析習講義學習指導書(上冊)［M］.北京:高等教育出版社，1990.

［4］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［5］錢吉林.數(shù)學分析題解精粹［M］.武漢:崇文書局，2003.

［責任編輯 舒尚奇］

Abstract:The certain sufficient conditions of the continuity of derivative functions are obtained by the analysis of the characteristics of derivative functions，which offers a theoretical rationale for further study of the continuity of sub-function and the integral calculus.

Key words:continuity of derivative functions;consistent differentiability;convexity-concavity;sufficient conditions

The Analysis of Conditions of the Continuity of Derivative Functions

WANG Xue-qin
(Department of Mathematics and information Science，Weinan Teachers University，Weinan 714000，China)

O172

A

1009—5128(2011)02—0036—02

2010—10—26

王雪琴(1962—)，女，陜西大荔人，渭南師范學院數(shù)學與信息科學系副教授.