郭元春 陳思源 馬曉燕

1.西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西西安 710038；2.西安思源學(xué)院高等教育營銷研究中心 陜西西安 710038

微分中值定理在微積分學(xué)中占有十分重要的地位，是用函數(shù)局部性質(zhì)推斷整體性質(zhì)的有力工具。羅爾定理是微分中值定理中最為基礎(chǔ)的一個，定理內(nèi)容：若函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在某個中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。利用羅爾定理證明中值等式問題的難點就是輔助函數(shù)的構(gòu)造。劉文武、張軍、肖俊等人[1-3]采用逆向思維法對該類問題做了相應(yīng)的研究。逆向思維法是從結(jié)果出發(fā)分析中值等式的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?gòu)造輔助函數(shù)。

微分中值等式問題常見的形式是：已知函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)滿足某些附加條件，求證存在某個中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。該等式左邊看作是某個函數(shù)g(x)在點ξ處的導(dǎo)數(shù)，即g′(ξ)=0。由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C是滿足該等式的最簡單的函數(shù)。顯然這個隱函數(shù)是原微分方程的通解，因此，在微分中值問題中，一般把通解中的積分常數(shù)令為輔助函數(shù)。本文采用逆向思維法，對微分中值問題中構(gòu)造輔助函數(shù)的常見題型作歸納和總結(jié)。

一、利用分離變量法構(gòu)造輔助函數(shù)

(一)證明的等式是關(guān)于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程

例1[4]:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，π]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在開區(qū)間(0，π)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

證明：令F(x)=f(x)sinx，顯然，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[0，π]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(π)，故由羅爾定理知，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是說，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

顯然，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[η，1]?[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(η，1)?(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(η)=e-η2f(η)，F(xiàn)(1)=e-1f(1)，即F(η)=F(1)，由羅爾定理知，在開區(qū)間(η，1)?(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0。

又F′(ξ)=-2ξe-ξ2f(ξ)+e-ξ2f′(ξ)=e-ξ2[f′(ξ)-2ξf(ξ)]，且e-ξ2≠0，故f′(ξ)-2ξf(ξ)=0。也就是說，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

(二)證明的等式是關(guān)于f(ξ)，f′(ξ)，g(ξ)，g′(ξ)的微分方程

例2[5]:設(shè)f(x)和g(x)在上[a,b]連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

證明:令F(x)=f(x)g2(x)，顯然，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，故由羅爾定理知，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=g(ξ)[f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)]，又g(x)≠0，故在開區(qū)間(0，π)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

應(yīng)用實例：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(0)=0，如果x∈(0，1)，f(x)≠0，證明在(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ使得f′(ξ)f(1-ξ)=f(ξ)f′(1-ξ)。

二、利用一階線性方程的通解構(gòu)造輔助函數(shù)

應(yīng)用實例：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

證明：令F(x)=e-2xf(x)，顯然，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，故由羅爾定理知，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=-2e-2ξf(ξ)+e-2ξf′(ξ)=e-2ξ[-2f(ξ)+f′(ξ)]，又e-2ξ≠0，故在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

例5：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=2，證明在(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

證明：令F(x)=ex[f(x)-2]，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，故由羅爾定理知，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0。而F′(ξ)=eξ[f(ξ)-2]+eξf′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)-2]，又eξ≠0，故在(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

在利用一階線性方程的通解公式構(gòu)造輔助函數(shù)時，一定要仔細觀察中值等式的特點，找到P(x)，Q(x)，求出通解。

三、利用降階的思想構(gòu)造輔助函數(shù)

(一)利用可降階方程降階一次后得到的解構(gòu)造輔助函數(shù)

形如y″=f(x，y′)的方程稱為不顯含y的可降階微分方程[6]，該方程的特點是方程中同時含有y′，y″，且不顯含y。在計算時可令y′=p(x)，則y″=p′(x)，原方程可化為一階方程p′=f(x，p)，利用分離變量法或一階線性齊次方程的通解公式可得φ(x，p)=C，從而可構(gòu)造出輔助函數(shù)。

例6：設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=2，證明：至少有一點ξ∈(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

證明：由于函數(shù)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，故f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(0)=f(1)=2，故由羅爾定理知，至少存在一點η∈(0，1)，使得f′(η)=0。對F(x)=x2f′(x)，在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(η)=0，再次利用羅爾定理，可證至少有一點ξ∈(0，η)?(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

(二)利用分部積分法構(gòu)造輔助函數(shù)

例7 設(shè)f(x)和g(x)在上[a,b]連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)g(x)≠0，g″(x)≠0，且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

分析：該微分中值等式屬于二階微分方程，但只含有兩個函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)，g″(x)，不含f′(x)，g′(x)，為了使用降階的思想

f″(x)g(x)=f(x)g″(x)

兩邊同時對x積分，得：

證明 令F(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)，顯然，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，故由羅爾定理知，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)，故在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

以上分析了羅爾定理證明微分中值等式問題的幾個典型例題，都是從導(dǎo)數(shù)和積分的互逆性出發(fā)，通過微分方程求解的方法或不定積分法等逆向思維法構(gòu)造輔助函數(shù)。在平常的教學(xué)過程中，可以借助此類題型提高學(xué)生的邏輯思維能力和逆向思維能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用微積分知識解決實際問題的能力。