劉 鵬，張秀麗，史本山

（1.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031；2.鄭州大學(xué) 商學(xué)院，河南 鄭州 450001）

投資組合保險(xiǎn)策略是在一定的時(shí)期內(nèi)，既能保證最低的財(cái)富水平，使損失控制在一定的范圍之內(nèi)，又對潛在收益存在期望，如股市上漲的時(shí)候，能獲得一定的收益。目前，主要的投資組合保險(xiǎn)策略有兩類：一類是由Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式所衍生出來的基于期權(quán)的投資組合保險(xiǎn)OBPI［1-2］（Option-based Portfolio Insurance），另一類是基于投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好及風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)能力而設(shè)置簡單參數(shù)的固定比例投資組合保險(xiǎn)CPPI［3］（Constant Proportion Portfolio Insurance）。

事實(shí)上，投資決策是追求效用最大化的理性決策者的行為。文獻(xiàn)［4］建立了局部均衡模型，文獻(xiàn)［5］建立了投資組合保險(xiǎn)的一般均衡模型討論證券價(jià)格波動(dòng)性，認(rèn)為投資組合保險(xiǎn)增加了市場價(jià)格的波動(dòng)性；文獻(xiàn)［6-7］研究了期望效用最大化的一般均衡情況，認(rèn)為由于投資組合保險(xiǎn)的存在將降低市場的波動(dòng)性，從而降低投資者對風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的要求。二者采用的都是鞅方法，不同的是在文獻(xiàn)［5］的模型中，最低要保金額是體現(xiàn)在約束條件中，而在文獻(xiàn)［6-7］的模型中，最低要保金額是體現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中。

雖然個(gè)體決策者的行為是復(fù)雜的，但是文獻(xiàn)［8］提出的展望理論卻能較好地描述決策行為。展望理論［8］認(rèn)為價(jià)值函數(shù)是在一定參照點(diǎn)下的函數(shù)，即相對于參照點(diǎn)的損失或贏得的函數(shù)，而不是財(cái)富的絕對零值的函數(shù)。本文認(rèn)為市場中的投資組合保險(xiǎn)者考察自己的損失或贏得的時(shí)候，是根據(jù)是否超過或低于最低要保金額，即投資組合保險(xiǎn)者將最低要保金額作為損失或贏得的參照點(diǎn)，而不是根據(jù)財(cái)富的絕對零值考慮得失，因此，投資組合保險(xiǎn)者的行為與展望理論描述的決策行為是一致的。對于非投資組合保險(xiǎn)者，他們的參照點(diǎn)是財(cái)富的絕對零值。據(jù)此，本文引入展望理論建立模型考察證券市場的波動(dòng)率及風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)情況。

一、基本假設(shè)

（1）代表性個(gè)體生存在時(shí)間段[0，T]，T＜∞，個(gè)人將可以在任何時(shí)點(diǎn)上進(jìn)行消費(fèi)和投資。

（2）證券市場的不確定性由完備概率空間{Ω，G，P}描述，信息結(jié)構(gòu)由定義在該概率空間上的布朗運(yùn)動(dòng)生成，即

G={G (t)；t∈[0，T]}=σ{W (u)|0≤u≤t}

{G(t)；t∈[0，T]}是由W生成的濾子。W是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其均值為零，方差為1。

（3）存在兩種證券，一種是瞬間無風(fēng)險(xiǎn)證券①，另一種是風(fēng)險(xiǎn)證券。瞬間無風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格過程為：dp0(t)/p0(t)=r(t)dt。

假設(shè)P0(0)=1為無風(fēng)險(xiǎn)證券的初始價(jià)格，r(t)為瞬間無風(fēng)險(xiǎn)收益率。風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格過程為：

μ(t)為風(fēng)險(xiǎn)證券的瞬間期望收益率，σ(t)是風(fēng)險(xiǎn)證券的瞬間標(biāo)準(zhǔn)差，即波動(dòng)率。貼現(xiàn)價(jià)格過程為：

（4）由于投資組合保險(xiǎn)者關(guān)心的是收益高于或低于最低要保金額，因此將最低要保金額設(shè)為參照點(diǎn)，在參照點(diǎn)以上是贏得，在參照點(diǎn)以下是損失，其效用函數(shù)采用展望理論的X＞0部分，即假設(shè)其期末財(cái)富的效用函數(shù)為：VI(X)=Xρ，X≥0。其中，X是期末財(cái)富W(T)相對于參照點(diǎn)——最低要保金額F的贏得，即X=W(T)-F。

ρ為參數(shù)，根據(jù)Tversky和Kahneman［9］的實(shí)驗(yàn)，其取值為0.88。而非投資組合保險(xiǎn)者的期末財(cái)富的效用函數(shù)為：

VU(W(T))=W(T)ρ，W(T)≥ 0

消費(fèi)的效用函數(shù)采取如下形式：

γ為反映了風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，C(t)為t時(shí)刻的消費(fèi)。

（5）定義非負(fù)的循序可測過程C(t)為消費(fèi)率過程，滿足下式：

（6）投資策略為自融資策略，即除了初始財(cái)富W(0)之外，并無其他的財(cái)富來源。消費(fèi)者可以在上述金融市場中選擇消費(fèi)過程和投資策略。投資策略是一個(gè)G(t)可料的隨機(jī)序列，即

投資于無風(fēng)險(xiǎn)證券的數(shù)量為θ0(t)，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量為θ1(t)，則

（7）財(cái)富的變動(dòng)完全是由投資組合的變化得到，財(cái)富的變動(dòng)過程為：

即

二、個(gè)體決策模型

假設(shè)證券市場中的決策者分為兩類，一類是投資組合保險(xiǎn)者，另一類是非投資組合保險(xiǎn)者，他們的目標(biāo)都是最大化自己的效用函數(shù)，包括[0，T]期內(nèi)的投資和消費(fèi)。二者的區(qū)別就是投資組合保險(xiǎn)者要求自己的收益不低于最低要保金額，在市場不景氣的情況下，能保證最低的財(cái)富水平，而在市場情況較好的時(shí)候又不失去獲利的機(jī)會。因此假設(shè)投資組合保險(xiǎn)者的目標(biāo)是：非投資組合保險(xiǎn)者的目標(biāo)是：

（一）非投資組合保險(xiǎn)者的決策模型

對于非投資組合保險(xiǎn)者來說，最優(yōu)的消費(fèi)和投資選擇是由如下問題決定的，即

其中，VU(W(T))=WU(T)ρ。

這是一個(gè)跨期動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題，文獻(xiàn)［10］證明它等價(jià)于如下靜態(tài)最優(yōu)化問題，即

其中，ζ(t)是狀態(tài)價(jià)格密度，這是一個(gè)隨機(jī)過程［11］，即

拉格朗日函數(shù)為：

對C(t)、W(T)、λ分別求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可以得到：

其中，λU由下式?jīng)Q定：

（二）投資組合保險(xiǎn)者的決策模型

與非投資組合保險(xiǎn)者的決策類似，對于投資組合保險(xiǎn)者來說，最優(yōu)的消費(fèi)和投資選擇是由如下問題決定的，即

其中期末財(cái)富VI(X)=Xρ，不同于非投資組合保險(xiǎn)者。非投資組合保險(xiǎn)者以財(cái)富的絕對零值作為參照點(diǎn)，而投資組合保險(xiǎn)者則以最低要保金額作為參照點(diǎn)。

其中，λI由下式?jīng)Q定：

三、波動(dòng)性及風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)分析

假設(shè)經(jīng)濟(jì)是文獻(xiàn)［12］所描述的純交換經(jīng)濟(jì)，對于這類連續(xù)時(shí)間一般均衡的研究參照文獻(xiàn)［13-16］。代表性個(gè)體所面臨的投資機(jī)會是金融證券。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是凈供給為0的債券，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的凈供給為1，紅利率為D(t)，服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即風(fēng)險(xiǎn)證券的紅利過程為：

dD(t)=D(t)[μDdt+σDdW(t)]

如果市場中有N個(gè)投資者，其中第1個(gè)到第L個(gè)為非投資組合保險(xiǎn)者，其余N-L個(gè)為投資組合保險(xiǎn)者，則市場出清條件為：

投資者n在t時(shí)刻的財(cái)富為［9］：

可以證明均衡狀態(tài)價(jià)格密度為：

對（1）式運(yùn)用伊藤公式：

因此，

從以上可以看出，決定狀態(tài)價(jià)格密度的ζ、r和?不受投資組合保險(xiǎn)的影響，而僅僅與紅利和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有關(guān)。

假設(shè)市場資產(chǎn)組合的價(jià)格為PM，則

可以證明，均衡時(shí)市場價(jià)格為：

對（2）式運(yùn)用Ito定理可以得到：

由（3）式和（4）式可知，波動(dòng)率和超額收益率都是紅利波動(dòng)率的函數(shù)，紅利波動(dòng)率越大，所要求的超額收益率也越大。同時(shí)，超額收益率與個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有關(guān)。

如果市場中沒有投資組合保險(xiǎn)者，則

對（5）式運(yùn)用Ito定理可以得到：

由（6）式知，如果市場中不存在投資組合保險(xiǎn)，證券的波動(dòng)率將會高于市場中存在資產(chǎn)組合保險(xiǎn)的情況；相應(yīng)地，收益率也會高于存在資產(chǎn)組合保險(xiǎn)的情況。資產(chǎn)組合保險(xiǎn)降低了市場波動(dòng)率，進(jìn)而也降低了投資者對風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的要求。

四、結(jié)束語

投資組合保險(xiǎn)者將最低要保金額作為其獲得或損失的參照點(diǎn)，認(rèn)為在此參照點(diǎn)之上是贏得的，而在此參照點(diǎn)之下是損失的，達(dá)到參照點(diǎn)既沒有贏得也沒有損失。這與展望理論描述的決策行為一致，效用最大化的投資組合保險(xiǎn)者將根據(jù)展望理論進(jìn)行決策。本文根據(jù)展望理論建立了一個(gè)一般均衡模型，表明證券市場中由于投資組合保險(xiǎn)的存在，證券收益的波動(dòng)性將降低，從而降低投資者對風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的要求。在該均衡模型中，如果參數(shù)γ=ρ，即投資者對消費(fèi)的邊際效用和最終財(cái)富的邊際效用相等，就得到了文獻(xiàn)［7］的結(jié)論，本文的模型是一個(gè)更一般的模型，是對Basak模型的推廣。

［注 釋］

① 瞬間無風(fēng)險(xiǎn)證券，是指在每一時(shí)刻，投資者都可以準(zhǔn)確地知道如果投資該資產(chǎn)在下一時(shí)刻，他必將得到r的收益率。但再過一個(gè)時(shí)刻將得到什么樣的無風(fēng)險(xiǎn)收益率則是未知的。

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