宮 兵,徐以濤,李 佳

(解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院,江蘇南京210007)

0 引言

寬帶信號(hào)是電子偵察常見(jiàn)信號(hào)之一,對(duì)其進(jìn)行測(cè)向是電子偵察的主要任務(wù)[1]。近年來(lái)有關(guān)寬帶源方位的估計(jì)愈來(lái)愈受到人們的關(guān)注。非相干信號(hào)子空間方法[2](ISM)是最早提出的寬帶信號(hào)的測(cè)向算法,其思想是通過(guò)頻域變換將時(shí)域信號(hào)分解成不同頻率的子帶,在每個(gè)子帶上分別應(yīng)用窄帶信號(hào)測(cè)向算法,然后再對(duì)不同子帶的測(cè)向結(jié)果進(jìn)行平均得到寬帶信號(hào)的方位估計(jì)。由于在某些子帶信號(hào)的功率會(huì)非常低導(dǎo)致這些子帶的會(huì)對(duì)最終測(cè)向結(jié)果造成較大的誤差,從而影響測(cè)向精度。為此文獻(xiàn)[3]提出了基于聚焦變換思想的相干信號(hào)子空間算法(CSM),其中聚焦矩陣的求解是算法的關(guān)鍵。隨后文獻(xiàn)[4]等文獻(xiàn)分別介紹了幾種不同的聚焦矩陣的求解方法對(duì)CSM算法進(jìn)行改進(jìn),然而聚焦矩陣的計(jì)算也是不小的計(jì)算量。這里提出了一種基于最大功率進(jìn)行頻點(diǎn)選擇的改進(jìn)的ISM算法,稱(chēng)為MISM算法,它不需要像ISM算法在每個(gè)頻點(diǎn)都要進(jìn)行窄帶信號(hào)測(cè)向算法,也不需要像CSM算法進(jìn)行聚焦矩陣的計(jì)算,大大減小了運(yùn)算量,提高了測(cè)向精度。

1 陣列結(jié)構(gòu)和信號(hào)模型

考慮有m個(gè)陣元的均勻線陣,陣元間距為p,令左邊第一個(gè)陣元為參考陣元,如圖1所示。

假設(shè)有d(d＜m)個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶不相干信號(hào)進(jìn)入陣列,其到達(dá)角分別為 θ1,…,θd,并假設(shè)信號(hào)和噪聲具有相同的帶寬B,并且陣元輸出噪聲是空時(shí)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的、零均值的和方差為 σ2的高斯白噪聲,且與信號(hào)不相關(guān)。于是,第i個(gè)陣元上接收的信號(hào)可表示為:

式中,sk(?)為在任意參考點(diǎn)接收的由第k個(gè)信源發(fā)射的信號(hào);τik為第i個(gè)陣元對(duì)第k個(gè)信源的傳播延遲;aik為第i個(gè)陣元對(duì)第k個(gè)信源的幅度響應(yīng);ni(?)為第i個(gè)傳感器上的加性噪聲。對(duì)于均勻線陣,傳播延遲可表示為:

式中,c為傳播速度。因?yàn)閟k(?)為寬帶過(guò)程,所以在頻域表述這一問(wèn)題更方便。假設(shè)觀測(cè)時(shí)間間隔為T(mén),ri(t)可用傅里葉系數(shù)表示為:

式中,Ri(ωn)為傅里葉系數(shù),表示為:

假設(shè)觀測(cè)時(shí)間遠(yuǎn)大于信號(hào)掠過(guò)陣列的傳播時(shí)間,式(1)兩端用傅里葉系數(shù)表示后得到:

用矩陣表示即為:

式中,R(ωn)和N(ωn)是m×1的矢量,

S(ωn)是d×1的矢量,ST(ωn)=[S1(ωn)…Sd(ωn)],并且A(ωn)是m×d的矩陣,

注意到A(ωn)的每一列與不同的信源相關(guān)聯(lián),故可把列矢量表示為a(ωn,θk)(k=1,…,d),并稱(chēng)為信源的方向矢量,假設(shè)A(ωn)滿(mǎn)秩。

將式(3)乘以它的轉(zhuǎn)置并求期望得到:

式中,H代表哈密特轉(zhuǎn)置。假設(shè)噪聲互不相關(guān)并且有相同的頻譜密度矩陣,可將式(4)改寫(xiě)為:

式中,K(ωn)和P(ωn)分別為過(guò)程和的頻譜密度矩陣;σ2(ωn)為噪聲的頻譜密度矩陣,并假設(shè)P(ωn)是非奇異的。

2 ISM算法

ISM算法是基于頻譜密度矩陣K(ωn)的特征分解的算法,它假設(shè)以下條件成立:

①信號(hào)的頻譜密度矩陣P(ωn)是非奇異的;

②任意d+1方向矢量是線性獨(dú)立的。

在這些條件下,K(ωn)的特征值 λ1(ωn)≤…≤λm(ωn)和特征矢量V1(ωn),…,Vm(ωn)有以下性質(zhì):

①K(ωn)的最小特征值為 σ2(ωn),并且重?cái)?shù)為m-d,即

②最小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量與列矢量是正交的,即

注意到式(5)或式(6)的正交關(guān)系對(duì)于帶寬B內(nèi)的任意一個(gè)頻點(diǎn)ωn都成立。根據(jù)正交關(guān)系,信源數(shù)目可以由頻譜密度矩陣K(ωn)的最小特征值的重?cái)?shù)來(lái)估計(jì),K(ωn)的估計(jì)值為:

式中,Ri(ωn)為對(duì)應(yīng)頻點(diǎn) ωn處的第i個(gè)時(shí)域子間隔的傅里葉系數(shù)矢量;K為子間隔的數(shù)目。

用l1(ωn)≥l2(ωn)≥…≥lm(ωn)和C1(ωn),…,Cm(ωn)分別表示頻譜密度矩陣估計(jì)值的特征值和特征矢量,故其最大似然估計(jì)可表示為:

然后找到^d個(gè)最接近正交于矢量集{^V^d+1,…,^Vm}的θk,即為信源DOA。對(duì)各頻點(diǎn)和整個(gè)頻率范圍均使用算術(shù)平均可得到估計(jì)子:

對(duì)各頻點(diǎn)使用算術(shù)平均而對(duì)整個(gè)頻率范圍使用幾何平均可得到估計(jì)子:

對(duì)于角度范圍進(jìn)行搜索,找到^d個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的角度θ1,…,θ^d即為信源方位。

3 MISM算法

用Fs表示抽樣頻率,觀測(cè)時(shí)間T內(nèi)的抽樣數(shù)目為:

時(shí)間T內(nèi)的抽樣稱(chēng)為一次“快拍”,假設(shè)有K次快拍,整個(gè)抽樣時(shí)間即為T(mén)1=KT,于是式(2)變?yōu)?

即為第i個(gè)傳感器在第k個(gè)頻點(diǎn)處的第kk次快拍,于是得到:

式中,J為帶寬B內(nèi)的頻點(diǎn)數(shù)。為了說(shuō)明MISM算法,定義頻點(diǎn)功率為:

然后是找到最大功率對(duì)應(yīng)的k值,即

于是,式(7)和式(8)分別變?yōu)?

式(9)即用來(lái)計(jì)算特征值和特征矢量?？梢钥吹組ISM算法僅僅需要一次特征分解而ISM需要J次。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

陣列為均勻線陣,由16個(gè)各項(xiàng)同性的陣元組成,陣元間距為信號(hào)中心頻率的半波長(zhǎng)?？紤]2個(gè)帶寬相同的寬帶信源,中心頻率為100 Hz,相對(duì)帶寬為40%,抽樣頻率為240 Hz,假設(shè)信源方位角分別70°和75°。信號(hào)觀測(cè)時(shí)間為 26.67 s,應(yīng)用式(10)的估計(jì)子,并且K=100,N=64。

4.1 分辨概率分析

根據(jù)上述仿真條件,信噪比為[-15∶15]dB,進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真得到2種方法的分辨概率如圖2所示。

圖2 分辨概率

由圖2可知,從總體上看,在-2.5 dB以上,MISM算法的分辨概率大于ISM算法的分辨概率,在-2.5 dB以下,ISM算法分辨概率較高。ISM算法在10.5 dB達(dá)到100%的分辨率,而MISM算法在1 dB時(shí)即可達(dá)到100%分辨率,因此新算法所需的信噪比門(mén)限低。在實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)在-2.5 dB以上很容易滿(mǎn)足,因此MISM算法具有實(shí)用價(jià)值。

4.2 誤差分析

假設(shè)信噪比為[-15∶15]dB,對(duì)2種算法的方差進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真得到方差圖如圖3所示。

圖3 70°和75°的2種算法方差圖

由圖3可以看出,對(duì)于70°信源,MISM 算法比ISM算法方差要小4(degree×degree=de2)以上;對(duì)于75°信源,當(dāng)信噪比大于1 dB時(shí),MISM算法比ISM算法方差要小1(de2)左右,信噪比小于1 dB時(shí),2種算法方差之差在減小,在-5 dB時(shí)差別還比較大,這是因?yàn)榇藭r(shí)2種算法的分辨概率均較低,不能準(zhǔn)確地分辨2個(gè)信源。

5 結(jié)束語(yǔ)

上述提出了一種基于最大功率進(jìn)行頻點(diǎn)選擇改進(jìn)的非相干信號(hào)子空間算法,不需要在每個(gè)頻點(diǎn)都進(jìn)行窄帶信號(hào)測(cè)向算法,也不需要進(jìn)行聚焦矩陣的計(jì)算,大大減小了算法運(yùn)算量,提高了測(cè)向精度。對(duì)文中算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,從仿真結(jié)果可以看出,新算法具有更低的信噪比門(mén)限和更低的測(cè)向誤差?？梢?jiàn)文中算法具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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