張 征， 黃 才 良， 張 哲

（1.大連理工大學(xué) 橋梁工程研究所，遼寧 大連 116024；2.山東科技大學(xué) 土木建筑學(xué)院，山東 青島 266510）

0 引 言

自錨式吊拉組合體系橋是一種以柔性纜索作為主要承重構(gòu)件的橋梁，其結(jié)構(gòu)剛度小，在外部荷載作用下結(jié)構(gòu)變形大.作為主要承重構(gòu)件之一的主纜，其線形和無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度的精確計(jì)算是結(jié)構(gòu)在成橋后幾何線形能夠滿足設(shè)計(jì)要求的必要條件.目前針對(duì)吊拉組合體系橋的研究主要集中在設(shè)計(jì)探索和結(jié)構(gòu)體系分析上[1～4]，所需計(jì)算主要采用大型有限元軟件如ANSYS、ALGOR、ADINA等進(jìn)行，但這些軟件基本上是通用軟件，對(duì)自錨式吊拉組合體系橋的分析比較麻煩，如ANSYS沒(méi)有專門(mén)用于纜索分析的索單元，只能采用桿單元（Link10）來(lái)模擬，且非線性計(jì)算往往不容易收斂，對(duì)纜索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度更是無(wú)法計(jì)算.此外，對(duì)于索鞍預(yù)偏量的計(jì)算、切點(diǎn)位置變化預(yù)測(cè)及計(jì)算，通用軟件很難進(jìn)行有效的分析和模擬.在目前自錨式吊拉組合橋的計(jì)算理論研究中，專門(mén)針對(duì)自錨式吊拉組合橋主纜線形和主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度計(jì)算的文獻(xiàn)還沒(méi)有見(jiàn)到.

本文在懸索橋主纜線形計(jì)算方法研究的基礎(chǔ)上[5～9]，結(jié)合自錨式吊拉組合體系橋的施工和受力特點(diǎn)，給出其主纜線形計(jì)算的數(shù)值解析法，并在此基礎(chǔ)上考慮索鞍的影響，編制相應(yīng)的計(jì)算程序.

1 主纜線形計(jì)算的分段懸鏈線理論

1.1 自重均布荷載作用下的索段分析

1.1.1 索段基本方程[5]如圖1所示的懸索段，當(dāng)只有沿?zé)o應(yīng)力索長(zhǎng)均布的自重荷載q作用時(shí)，索段為懸鏈線.則滿足邊界條件的索段基本方程為

式中：E為索彈性模量；A為索截面面積；S0為索段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度；l為索段兩端點(diǎn)的水平間距；h為索段兩端點(diǎn)的高差.

圖1 自重荷載作用下的懸索段Fig.1 Segment of cable under self－weight

1.1.2 索段線形變化剛度 對(duì)式（1）、（2）求l和h的全微分，得

令

則f11、f12、f21、f22分別為

將式（3）用dl和dh表示dH和dV，并寫(xiě)成矩陣形式為

式（9）中的矩陣k即為索段的線形變化剛度矩陣，表達(dá)了索段的內(nèi)力變化量與線形變化量間的關(guān)系.

1.2 自重和豎向集中力作用下的懸索分析

有豎向集中外荷載作用的主纜如圖2所示，

其受力圖示相當(dāng)于很多1.1.1中的基本索段相連，并在連接點(diǎn)i作用有豎向集中荷載P i.懸索在各分點(diǎn)需滿足的力學(xué)平衡條件為

式中：n為索段數(shù)，Hl（i）、Hr（i）分別為i索段左右端點(diǎn)的水平分力；Vl（i）、Vr（i）分別為i索段左右端點(diǎn)的豎向分力；S0i為i索段的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)；Pi為作用在i索段右端點(diǎn)處的豎向集中力.

圖2 自重和豎向集中力作用下的懸索Fig.2 Cable under self－weight and vertically concentrated forces

1.3 一跨主纜的線形變化剛度

在懸索所受外荷載不變的情況下，如果某分點(diǎn)的內(nèi)力發(fā)生變化，則其他分點(diǎn)的內(nèi)力也將發(fā)生變化，且變化量相同.若支點(diǎn)的位置和標(biāo)高不變，從懸索支點(diǎn)到m分點(diǎn)之間的各索段的累計(jì)線形變化量即為m分點(diǎn)的線形變化量，即

按照上述索段剛度矩陣的建立方法可得懸索m分點(diǎn)的內(nèi)力變化量與線形變化量的剛度矩陣：

K即為主纜的線形變化剛度矩陣，f11、f12、f21、f22根據(jù)式（5）～ （8）求得.

當(dāng)主纜一端的水平分力已知時(shí)，式（11）中dH＝0，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得到此時(shí)主纜的線形變化剛度為

2 主纜線形計(jì)算

2.1 成橋狀態(tài)主纜線形計(jì)算

成橋狀態(tài)主纜線形具體迭代計(jì)算過(guò)程見(jiàn)圖3.

主跨始端點(diǎn)處的水平分力和豎向分力的迭代初值Hl（1）、Vl（1）按下式給出：

式中：L為主跨主纜水平跨度；C為主跨主纜兩端點(diǎn)的高差；w為按照拋物線理論計(jì)算的荷載集度，

2.2 空纜狀態(tài)線形和索鞍預(yù)偏量的計(jì)算

2.2.1 索鞍預(yù)偏量ΔD的增量剛度方程 為使索鞍沿滑移面平衡，根據(jù)索鞍兩側(cè)不平衡力F計(jì)算索鞍的偏移修正量為

式中：K＝ （K11＋K′11）cos2α＋（K12＋K′12＋K21＋K′21）sinαcosα＋（K22＋K′22）sin2α＋Kt.其中K11、K12、K21、K22分 別 為 索 鞍 左 側(cè) 主 纜 剛 度 系數(shù)，K′11、K′12、K′21、K′22分別為索鞍右側(cè)主纜剛度系數(shù)，Kt為橋塔或支墩沿索鞍滑移面方向的抗推剛度.式（15）表達(dá)了索鞍處沿滑移面不平衡分力與索鞍移動(dòng)量之間的關(guān)系.在索鞍預(yù)偏量計(jì)算時(shí)，由于索鞍沿支承滑移面放松，這時(shí)候只要Kt＝0即可.

圖3 成橋狀態(tài)計(jì)算流程圖Fig.3 Calculation flow chart of finished bridge state

2.2.2 空纜線形計(jì)算 空纜線形的計(jì)算就是在保證無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度不變的前提下，尋找一組索鞍預(yù)偏量，使得主纜在索鞍處滿足平衡條件.本文在計(jì)算時(shí)始終采用的是理論頂點(diǎn)（空纜狀態(tài)的理論頂點(diǎn)仍定義為索鞍兩側(cè)主纜切點(diǎn)順延懸鏈線的交點(diǎn)）的預(yù)偏量，在求出理論頂點(diǎn)的預(yù)偏量之后，再最終求得索鞍的預(yù)偏量.計(jì)算時(shí)首先假定單個(gè)索鞍理論頂點(diǎn)處的水平預(yù)偏量（其余索鞍固定），這樣，預(yù)偏理論頂點(diǎn)兩側(cè)主纜的跨度和各控制點(diǎn)的坐標(biāo)就確定了，然后分別對(duì)兩側(cè)主纜進(jìn)行計(jì)算，最后校核該索鞍處是否滿足：索鞍兩側(cè)水平分力相等；索鞍豎向位置與成橋狀態(tài)的關(guān)系合理；索鞍兩側(cè)主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度與成橋狀態(tài)相等.然后再按上述方法依次計(jì)算其余索鞍的預(yù)偏量，直至各個(gè)索鞍均滿足上述要求.具體迭代計(jì)算過(guò)程見(jiàn)圖4.

空纜狀態(tài)下，為了使迭代過(guò)程快速收斂，理論頂點(diǎn)兩側(cè)主纜的水平分力H（1）l和豎向分力V（1）l的迭代初值可按如下取值：

β由下式確定：

圖4 空纜狀態(tài)計(jì)算流程圖Fig.4 Calculation flow chart of cable－finished state

本文提出了一種關(guān)于主纜空纜線形計(jì)算的新方法，其優(yōu)點(diǎn)如下：

①空纜狀態(tài)線形與成橋狀態(tài)線形的計(jì)算方法完全相同，不需再另外編寫(xiě)程序；

②空纜狀態(tài)索鞍位置與成橋狀態(tài)索鞍位置的計(jì)算方法完全相同，不需再另外編寫(xiě)程序；

③所有計(jì)算均為一種精確的計(jì)算，沒(méi)有多余的人為假定.

3 算 例

3.1 經(jīng)典例題驗(yàn)證

有一柔索，采用量綱一計(jì)算技術(shù).標(biāo)準(zhǔn)溫度下其無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度S0＝100，抗拉強(qiáng)度EA＝3×107，沿索自重荷載為q＝1，線脹系數(shù)為6.5×10－6，在溫度升高100℃的情況下，索O端固定，另一端分別沿著x＝20，40，60，80，100，則索端力與對(duì)應(yīng)的索端位置的關(guān)系如圖5所示，具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

圖5 不同索端位置對(duì)應(yīng)的線形圖Fig.5 Cable shape drawing at different cable ends

表1 各索端位置對(duì)應(yīng)的索端力Tab.1 Cable－end force at different cable ends

為了繪制出索的線形，本文采用100個(gè)索單元進(jìn)行模擬，對(duì)x＝20，40，60，80，100進(jìn)行計(jì)算，收斂精度取1×10－5.從表1可見(jiàn)，除x＝100外，本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[6、8]非常接近，但x＝100的結(jié)果卻相差較大.通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[6、8]的結(jié)果復(fù)核表明，其結(jié)果是錯(cuò)誤的.因?yàn)镕 y/F x＝0.60216大于索兩端弦線的斜率0.6，這顯然是不正確的，因?yàn)樵谒鞯淖灾刈饔孟拢溆叶说那芯€斜率必然小于其弦線的斜率.從表1中的迭代次數(shù)可以看出，本文計(jì)算程序具有所需迭代次數(shù)少、收斂速度快的特點(diǎn).

3.2 工程算例驗(yàn)證

大連市金州海灣大橋設(shè)計(jì)方案[10]為132 m＋400 m＋132 m自錨式吊拉組合體系橋.矢跨比為1/6.667.本文分別采用上述自編程序和Ansys有限元法對(duì)該橋主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度和索鞍預(yù)偏量以及成橋線形進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果比較分別見(jiàn)表2和表3.

表2 主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度和索鞍預(yù)偏量計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Results comparison of unstressed length and saddle predisplacement

表3 成橋狀態(tài)主纜線形計(jì)算結(jié)果比較（半橋）Tab.3 Results comparison of main cable shape under finished bridge state（half bridge）

上述結(jié)果表明本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元方法計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性.

4 結(jié) 論

（1）使用本文方法進(jìn)行主纜線形計(jì)算，數(shù)據(jù)輸入簡(jiǎn)單明了，迭代收斂速度較快.

（2）采用本文編制的程序可以進(jìn)行成橋狀態(tài)主纜線形、空纜狀態(tài)主纜線形和索鞍預(yù)偏量等一整套設(shè)計(jì)所需參數(shù)的精確計(jì)算，并且可以計(jì)算任意跨數(shù)的主纜線形.

（3）與有限元法相比，本文方法可以精確考慮索鞍的影響，使計(jì)算模型更接近于實(shí)際結(jié)構(gòu)，對(duì)設(shè)計(jì)、施工和科研具有很好的參考價(jià)值.

（4）本文所編制的程序不只可以進(jìn)行自錨式吊拉組合橋的線形計(jì)算，對(duì)于地錨式吊拉組合橋以及地錨和自錨式的懸索橋均可以進(jìn)行計(jì)算.

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