常燕虹，鄭海軍

（1.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2.延安市寶塔區(qū) 棗園中學(xué)，陜西 延安716000）

廣義力與廣義位移的數(shù)學(xué)證明

常燕虹1，鄭海軍2*

（1.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2.延安市寶塔區(qū) 棗園中學(xué)，陜西 延安716000）

利用數(shù)學(xué)中微分的分析思想，對(duì)廣義力間功的互等進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明；探討了力的分布形式與力系的等效轉(zhuǎn)化。

廣義力；廣義位移；數(shù)學(xué)證明

文獻(xiàn)［1］以梁為例證明了功的互等定理。原始定理闡述了兩個(gè)集中力力系之間功的互等，其相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

（Δij是力系 Fsj在 Fpi作用點(diǎn)處沿 Fpi方向引起的位移；Δji是力系 Fpi在 Fsj作用點(diǎn)處沿Fsj方向引起的位移）對(duì)于廣義力，如分布載荷q、力偶矩M，功的互等定理也是成立的。本文首先以梁為例，證明集中力力系與分布載荷、力偶矩之間功的互等，然后從數(shù)學(xué)的角度對(duì)梁的微段進(jìn)行分析，對(duì)原始的功的互等定理做進(jìn)一步的分析闡述。

1 廣義力間功的互等的證明

1.1 分布載荷 q與集中力力系之間功的互等

記集中力力系為

其中 xi表示力在梁上作用點(diǎn)的坐標(biāo)；w1（x）為集中力力系Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）加在梁上引起的撓度，w2（x）為分布載荷 q（x）加在梁上引起的撓度.

在小變形的情形下，考察兩種加載過(guò)程：一種是先加 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）后加分布載荷 q（x）（圖1）；另一種是先加分布載荷 q（x）后加 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）（圖2）。

對(duì)于線彈性問(wèn)題，根據(jù)疊加原理，變形狀態(tài)與加載順序無(wú)關(guān).因此，兩種加載過(guò)程產(chǎn)生的最后變形狀

圖1 簡(jiǎn)支梁先加集中力系后加布載荷

圖2 簡(jiǎn)支梁先加分布載荷后加集中力系

態(tài)是相同的，故兩種情形下所引起的應(yīng)變能相等，即

應(yīng)用能量守恒原理有

所以

當(dāng)q（x）＝con st.時(shí)，上式可改寫為

1.2 力偶矩集中力力系之間功的互等

記 w3（x）為力偶矩 M加在梁上引起的撓度。

圖3 簡(jiǎn)支梁先加集中力矩，后加集中力系

圖4 簡(jiǎn)支梁先加集中力系，后加集中力矩

圖（3）為先加力偶矩 M，后加集中力力系為 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）；圖（3）為先加集中力力系為Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）后加，力偶矩M。設(shè)力偶矩M的加矩點(diǎn)坐標(biāo)為a，同 1.1的分析，可得圖（4）情形下應(yīng)變能為：

圖（4）情形下應(yīng)變能為

對(duì)于力偶矩 M和分布載荷 q之間，也可用同樣的分析過(guò)程建立這兩種廣義力間功的互等定理，在此就不證明了。

2 梁的微段的數(shù)學(xué)分析

2.1 對(duì)證明1.1的分析

由證明的結(jié)論，分布載荷q與集中力力系Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）之間功互等的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由定積分的定義，上式的右邊實(shí)際上是一個(gè)分割、求和、取極限的過(guò)程。

圖5 分布載荷對(duì)簡(jiǎn)支梁橫向位移一撓度做功的離散分析圖

對(duì)于區(qū)間［0，l］，做任意一個(gè)分割 T：

0＝x1＜x2＜...＜xj＜xj＋1＜...＜xn－1＜xn＝l，記 Δxj＝xj＋1－xj

當(dāng)分割的?！琓‖＝1≤j≤n{ Δxj}很小時(shí)，對(duì)任一小區(qū)間［xj，xj＋1］，分布載荷可視為一集中力

該區(qū)間內(nèi)分布載荷的功

由于功的互等原理本身就是在線彈性范圍內(nèi)和小變形條件下的高度近似，因此，我們可將分割 T做得足夠細(xì)，使誤差足夠的?。ㄔ趯?shí)際的工程問(wèn)題中，也常用數(shù)值方法進(jìn)行誤差可控的近似計(jì)算）。于是，分布載荷 q的功在誤差很小時(shí)可近似表達(dá)為

代入（1）式，就有

這又回到了最初功的互等定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，根本原因是，在梁的一微段［xj，xj＋1］內(nèi)，我們可以將分布載荷視為集中力來(lái)處理，并且保證誤差很小。

2.2 證明1.2的分析

圖6 在簡(jiǎn)支梁 x＝a截取微段

如上圖6所示，我們?cè)诩辛αο?/p>

Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）作用時(shí)，梁的x＝a處（對(duì)應(yīng)彎矩的作用點(diǎn)）取一微段進(jìn)行分析。

圖7 簡(jiǎn)支梁微段幾何分析

如圖7所示，微段的上表面受壓，下表面受拉，兩個(gè)橫截面繞中性軸 OO′轉(zhuǎn)過(guò) 一個(gè)角度dθ，并且

因 此 力 偶 矩 M在 集 中力 力 系 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）作用時(shí)引起位移的功為

事實(shí)上，力偶矩 M是由作用在微段的兩個(gè)上下表面一對(duì)力偶（F，F(xiàn)′）引起的，

如圖（7），上表面壓縮長(zhǎng)度為 Δx1＝y(tǒng)1dθ下表面的拉伸長(zhǎng)度為

于是，力偶（F，F(xiàn)′）所作的功為

又 M＝FΔy和Δy＝y(tǒng)1＋y2，

所以

代如（2）式，即

這也回到了最初功的互等定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

3 結(jié)論

對(duì)于功的互等定理，由1的證明可以斷定，它對(duì)于廣義力也是成立的；由2的分析，我們又可以將廣義功的互等定理還原為最初定理的表達(dá)形式。

根本原因在于：功是力在空間作用效果的累積.力在空間分布形式的不同，進(jìn)而產(chǎn)生的各種形式的廣義力，及其與之對(duì)應(yīng)的廣義位移。例如，集中力是作用于空間一點(diǎn)的，它是力在空間的一種零維離散分布；分布載荷是作用于線的，它是力在空間的一種一維連續(xù)分布；力矩當(dāng)歸結(jié)為力偶時(shí)，它便是力在空間的一種對(duì)稱分布；壓強(qiáng)或應(yīng)力就是力在空間的一種二維連續(xù)分布。

由2的分析，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在一個(gè)微段處理力學(xué)問(wèn)題時(shí)，不論力的空間分布形式如何，我們總是可以對(duì)它局部離散化 ，即化為一個(gè)集中力的形式，將力在空間的高維分布降為零（低）維分布，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，并且誤差可控制在很小的范圍內(nèi)。簡(jiǎn)而言之，無(wú)論力在空間分布形式如何，它總可以局部的化為集中力進(jìn)行處理。

功的互等原理（最初形式）是很深刻的，它一方面闡述了作用在同一結(jié)構(gòu)上的不同力系之間功的互等；更重要的是，它傳達(dá)了一個(gè)更深層次的含義：力的零維離散分布（集中力）是力在空間分布的基本形式，力在空間不同的分布形式之間可以等效轉(zhuǎn)化。

功的互等原理（最初形式）涵蓋了在力學(xué)范圍內(nèi)任何形式的廣義力之間功的互等，是所有廣義力之間功的互等的最本質(zhì)的描述。

［1］范欽珊.材料力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005：298－299.

［2］博西雷A P，賽德博坦OM.高等材料力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：153－156.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2006：201－202.

［責(zé)任編輯 賀小林］

M athematical Proof of Generalized Force and Generalized Displacement

CHANG Yan－h(huán)ong1，ZHENG Hai－Jun2
（1.Yan an Vocational and Tec.College；2.Yan an Zaoyuan High School，Yan an 716000，China）

Bymeans of the analytical thoughts in differential，a mathematical proof of the reciprocal theorem of work among generalized forces is obtained.And bymeans of the conclusion which is drew through studying the distributed form of forces and the equivalent transform between force systems.

generalized force；generalized displacement；mathematical proof

O175，O316

A

1004-602X（2011）01-0014-03

2010 -12 -20

常燕虹（1969—），女，陜西延安人，延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。*為通訊作者