王 鵬，賈培軍

（1.延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院；2.延安大學(xué)資產(chǎn)與實(shí)驗(yàn)室管理處，陜西 延安 716000）

任意量子演化過程中的幾何相位特征

王 鵬1，賈培軍2

（1.延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院；2.延安大學(xué)資產(chǎn)與實(shí)驗(yàn)室管理處，陜西 延安 716000）

給出了任意量子演化過程中的幾何相表達(dá)式。證明了幾何相的測(cè)量不變性與消失特性。在任意量子演化過程中不僅觀察到了幾何相，還發(fā)現(xiàn)有其它幾何結(jié)構(gòu)，諸如長(zhǎng)度和距離等幾何結(jié)構(gòu)也存在。指出了所有這些幾何量之間的關(guān)系。

幾何相位；量子演化；幾何結(jié)構(gòu)

自從 Berry［1］發(fā)現(xiàn)量子系統(tǒng)經(jīng)過絕熱、周期和參量變化可以獲得重要的相位因子以后，人們開始尋找量子系統(tǒng)經(jīng)歷周期演化所獲得的幾何結(jié)構(gòu)。這里的幾何結(jié)構(gòu)指那些與參量時(shí)間關(guān)系無關(guān)的量。Berry相位是具有這樣本質(zhì)的一種幾何結(jié)構(gòu)。根據(jù)厄米線束中的平行輸運(yùn)完整性可以很好地解釋 Berry相位。Aharonov和Anandan（AA）在不考慮哈密頓量參量的絕熱和周期演化情況下證明了幾何相的存在［2］。AA相被認(rèn)為是希爾伯特空間 Q的投影 P中圍繞閉合曲線平行輸運(yùn)的完整變換。后來，由于人們發(fā)現(xiàn)幾何相的完整性可以實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子門［3，4］，這使得幾何相的完整性成為人們關(guān)注的熱門課題，從而導(dǎo)致了對(duì)量子計(jì)算［5－9］和 量子 信息［10－13］中完整效應(yīng)的研究。

Samuel和 Bhandari在薛定諤、非周期、非歸一演化條件下得到了幾何相［6］。然而，該幾何相是個(gè)間接定義，取決于開路徑的初末點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉合。如果末點(diǎn)不閉合，那么該幾何相就不再具有測(cè)量不變性。Anandan等人利用群理論基石在投影的希爾伯特空間 P中獲得了任意演化幾何相的無限小角元。Aitchison以非動(dòng)力學(xué)方式定義了薛定諤、非周期、非歸一演化幾何相［7］。后來，Mukunda給出了幾何相動(dòng)力學(xué)方法的一般理論［8］。

本文主要研究了任意演化量子系統(tǒng)所獲得的幾何相位、距離、長(zhǎng)度。給出了非周期演化的意義，并給出了薛定諤、任意演化幾何相的定義。利用投影希爾伯特空間 P中線束定義了參考項(xiàng)，并證明通過聯(lián)絡(luò)一形式的線性積分給出了幾何相表示。指出了幾何相的各種特征；證明了幾何相不僅是相位不變的，而且是測(cè)量不變的；還證明了幾何相的消失特性。另外，引入了任意量子演化的幾何長(zhǎng)度和距離的定義，并給出了幾何相的拓?fù)湓?。最后，?jì)算了諧振子的任意演化幾何相。

1 薛定諤演化過程中的幾何相

設(shè){ψ}是希爾伯特空間 Q中的一組矢量，且

其中，H（t）為系統(tǒng)的哈密頓量。對(duì)于從 t＝0到t＝t的演化，根據(jù)最小 －標(biāo)準(zhǔn)距離函數(shù)［5］，周期演化滿足D2（ψ（0），ψ（t））＝［2－21〈ψ（0）｜ψ（t）〉｜］＝0，而非周期演化則滿足 D（ψ（0），ψ（t））＞0。利用Panchararnam［12］聯(lián)絡(luò)，當(dāng)系統(tǒng)從初態(tài) ψ0＝ψ（0）演化到終態(tài) ψ＝ψ（t）且兩態(tài)之間不正交時(shí)，兩態(tài)之間的相對(duì)相位差為

一般地，對(duì)于初末態(tài)的點(diǎn)之間為非閉合路徑時(shí)，（2）式給出了經(jīng)歷任意演化［0，t］的量子系統(tǒng)所獲得的總相位。于是總相位為

同樣可以將總相位表示為

其中〈ψ0｜ψ〉＝Re〈ψ0｜ψ〉＋i Im〈ψ0｜ψ〉。可見，總相位與R＝｜〈ψ（0）｜ψ（t）〉｜的變化不靈敏。

對(duì)于任意的量子演化過程，幾何相是總相位與動(dòng)力學(xué)相之差（其中動(dòng)力學(xué)相為哈密頓量的期望值）。文獻(xiàn)［10］將幾何相表示為

從（4）式可見，要知道幾何相還必須知道系統(tǒng)的哈密頓量。

2 幾何相位與參考項(xiàng)

設(shè) Γ為閉合積分［0，t］?R投影到 l空間的一條閉合曲線，而（d／dt）｜ψ（t）〉是曲線 Γ在點(diǎn) ｜ψ（t）〉的正切矢量。該正切矢量可以看作被分解為分別屬于豎直分量空間 V｜ψ〉l和水平分量空間 H｜ψ〉l中的兩個(gè)分量之和。因此，如果空間 P中曲線上一點(diǎn)｜ψ（t）〉的投影是個(gè)常數(shù)，則該曲線被稱為是豎直曲線，且豎直曲線的正切稱為豎直矢量。相應(yīng)地，在那點(diǎn)垂直于纖的矢量叫做水平矢量。在 l中給定點(diǎn)的水平矢量集稱為那個(gè)點(diǎn)的水平空間。為了得到幾何相位，有必要給出聯(lián)絡(luò)的定義。在主纖叢U（1）→l→P中的聯(lián)絡(luò)是正切空間 T｜ψ〉l中子空間 H｜ψ〉l中的每點(diǎn)｜ψ（t）〉的光滑賦值。由此可得，所有的點(diǎn)｜ψ（t）〉滿足 T｜ψ〉l＝V｜ψ〉l⊕H｜ψ〉l，且對(duì)于 c∈U（1）有（H｜ψ〉l）＝Hc｜ψ〉l，其中cc*＝1，而 δc（｜ψ〉）＝c｜ ψ〉表示相位 c對(duì)l的誘導(dǎo)行為。

借助于聯(lián)絡(luò)的定義，現(xiàn)在來描述纖叢中某矢量的平行輸運(yùn)。將開曲線的水平抬高作為曲線∶［0，t］，t→｜ψ（t）〉。曲線 Γ是水平的，即vert［Γ］＝0，由此在任一時(shí)刻 t有，且一般也是開曲線。因此，

如果將空間 P中的開路徑抬高到空間l，那么空間l中會(huì)有許多開路徑。但是這些路徑中會(huì)有一個(gè)特殊曲線，這條曲線由一個(gè)“參考態(tài)”描出。定義參考態(tài)與初始態(tài)矢量〉有關(guān)，借助于這個(gè)“參考態(tài)”將可以定義量子系統(tǒng)的非周期演化幾何相。在第IV部分將看到幾何相是由水平曲線長(zhǎng)度與特殊曲線（非水平）長(zhǎng)度不相等所導(dǎo)致的。

為了定義這條特殊的曲線，考慮覆蓋 ρ（t）＝Π（｜ψ（t）〉纖叢的“參考項(xiàng)”｜x0（t）〉。這是一個(gè)投影過程s∶l→P，各點(diǎn) ρ（t）∈P的像點(diǎn)在過 ρ的纖Π（ρ）上，也即 Π。s＝idp。如果定義與初始點(diǎn)有關(guān)的“參考項(xiàng)”為經(jīng)過s項(xiàng)的態(tài)曲線的投影，那么該投影為

或

上式中中｜x0（t）的下標(biāo) 0指的是｜x0（t）〉總是與初始態(tài)｜ψ（0）〉有關(guān)。如果將初始態(tài)表示為 ｜ψ1（t）〉，那么“參考項(xiàng)”將被表示為 ｜xt1（t）〉?！埃黿0（t）〉”是纖叢l的“局域項(xiàng)”，即s：Uα?P→l，其中Uα是 P的開領(lǐng)域，且具有以下性質(zhì)：

（1）sΠ（｜ψ（0）〉）＝｜ψ（0）〉＝｜x0（0）〉

（2）Π（｜x0（t）〉）＝Π（｜ψ（t）〉）

（3）在量子系統(tǒng)的整個(gè)演化過程中〈x0（0）｜x0（t）〉始終是正實(shí)數(shù)。

下面用覆蓋投影空間 P中的曲線Γ的“參考項(xiàng)”來定義幾何相。對(duì)（10）式微分得

其中·表示對(duì)t的微分，給上式左乘〈x0（t）〉｜，得

將（11）式兩邊同時(shí)積分，并利用（4）式可得任意量子演化過程中的幾何相定義為

另外，還可以將（13）式表示為對(duì)聯(lián)絡(luò)一形式的的線積分：其中 ?μ＝?／?λμ，λ是希爾伯特空間投影空間P中的坐標(biāo)。是空間P中連接初始點(diǎn) Π（｜ψ0〉和終點(diǎn) Π（｜ψ〉）的一條曲線。ωμ（λ）＝〈x0（λ）｜?μx0（λ）〉是聯(lián)絡(luò)形式，它的線性積分給出了幾何相。下面將說明非周期幾何相的測(cè)量不變性。用纖維叢語言來說，測(cè)量變換是指從一個(gè)局域項(xiàng)（s：Uα?P→l）到另一個(gè)局域項(xiàng)（s′：U′α?P→l）的投影。該投影是投影空間P中兩個(gè)不同坐標(biāo)鄰域之間交叉的結(jié)果。另一種局域項(xiàng)的選擇指：作改變｜x0（t）〉→｜x0（t）′〉＝eiη（t）｜x0（t）〉，項(xiàng)的改變由結(jié)構(gòu)組 U（1）作用于纖維給出。在這樣的測(cè)量變換下，聯(lián)絡(luò)一形式 ωμ（λ）變換為

局域項(xiàng)｜x0（t）〉將空間P中的一條開路徑投影到l中的一條開路徑，由此，路徑上的初始點(diǎn)和終點(diǎn)是同相的（利用局域項(xiàng)的性質(zhì)（3））。上述測(cè)量變換給出l中的一條不同的開路徑為了使｜x0（t）′〉成為一個(gè)局域參考項(xiàng)，必須要求路徑滿足局域項(xiàng)的性質(zhì)（3），即〈x0（0）′｜x0（t）′〉始終是正實(shí)數(shù)。這就要求測(cè)量函數(shù)必須滿足 η（t）＝η（0）＋2πn。在這樣的測(cè)量變換下，幾何相變?yōu)?/p>

由此可見，用這樣的參考項(xiàng)定義的幾何相具有測(cè)量不變性。幾何相定義（13）的重要性在于，即使測(cè)地沒有閉合初始點(diǎn)和終點(diǎn)，它也有自身的存在性與物理意義。如果測(cè)地閉合初始點(diǎn)和終點(diǎn)，那么沿著測(cè)地幾何相一致為零。下面將利用測(cè)地方程和它的解證明這一點(diǎn)。空間 P中的測(cè)地定義為具有平穩(wěn)能量的水平曲線。定義水平曲線的能量為：如果做變量化計(jì)算，就會(huì)獲得水平矢量｜

ψ（t）〉滿足的測(cè)地方程其中Vp（t）＝ΔE（t）／?是空間 P中態(tài)矢的變換速度。這里的 ΔE（t）是系統(tǒng)能量的不確定度。為了簡(jiǎn)單，假定 ΔE（t）是與時(shí)無關(guān)的。則測(cè)地方程的解為

假定量子系統(tǒng)沿著測(cè)地線從 t＝0到 t＝t演化，那么沿著這條特殊路徑的參考項(xiàng)寫為

（13）式是一個(gè)非定域積分，給出了經(jīng)過任意的量子演化過程后幾何相的開路表達(dá)式。動(dòng)力學(xué)相是路徑 Γ的定域疊加函數(shù)，而幾何相是路徑的非定域非疊加函數(shù)。為了清楚地看到幾何相（13）的非疊加性質(zhì)，量子系統(tǒng)從點(diǎn) Π（｜ψ（t1）〉）到點(diǎn) Π（｜（ψ（t2）〉），然后再從點(diǎn) Π（｜ψ（t2）〉）到點(diǎn) Π（｜（ψ（t3）〉）的演化過程。下面將證明，系統(tǒng)從點(diǎn) Π（｜ψ（t1）〉）到點(diǎn) Π（｜ψ（t3）〉）的演化過程中所獲得的幾何相不等于從點(diǎn)Π（｜ψ（t1）〉）到點(diǎn)Π（｜ψ（t2）〉）與從點(diǎn)Π（｜ψ（t2）〉）到點(diǎn)Π（｜ψ（t3）〉）所獲得的幾何相之和。系統(tǒng)經(jīng)過從時(shí)刻 t1到 t2，t2到 t3，t1到 t3的演化所獲得的幾何相分別為參考項(xiàng)｜x1（t）和｜x2（t）定義為

式中 Φp（t，t1）＝arg〈ψ（t1）｜ψ（t）〉，Φp（t，t2）＝arg

利用（21）式將（22）式表示為

因此，額外的幾何相為

這也和三點(diǎn)的 Bargmann不變有關(guān)

上等式左邊僅包含額外的幾何相，而右邊僅包含額外總相位。這表明額外的動(dòng)力學(xué)相一致為零。這清楚地表明動(dòng)力學(xué)的疊加特性，給出了幾何相的非疊加特性。

在適當(dāng)?shù)臉O限條件下，幾何相（13）退化為絕熱Berry相和非絕熱A－A相。例如，態(tài)矢｜ψ（t）〉經(jīng)過周期演化［0，t］后滿足｜ψ（T）〉＝exp（iΦ）｜ψ（0）〉，其中 Φ為總相位。而參考項(xiàng)｜x0（t）〉經(jīng)過周期演化［0，t］后滿足｜x0（T）〉｜x0（0）〉。因此，經(jīng)歷周期演化的量子相位為

于是，參考項(xiàng)｜x0（t）〉和A－A項(xiàng)｜φ~（t）〉之間的關(guān)系為

使用（24）將幾何相表示為

上式計(jì)算時(shí)還使用了（12）式。

3 非絕熱演化過程中的其它幾何結(jié)構(gòu)

這節(jié)將尋找任意量子演化過程中的其它幾何結(jié)構(gòu)，并探索幾何相產(chǎn)生的拓?fù)湓?。描述多體拓?fù)鋵W(xué)的基本幾何結(jié)構(gòu)有“長(zhǎng)度元”和“距離元”。下面將推導(dǎo)出長(zhǎng)度和距離之間的不等式，并證明幾何相產(chǎn)生于這個(gè)不等式?？紤]曲線 Γ0∶［0，t］→l和由參考 項(xiàng) x0（t）描繪出的曲線：［0，t］→l以及水平曲線（t）〉。我們知道，希爾伯特空間Q中的內(nèi)積產(chǎn)生一個(gè)投影空間P中的度規(guī)，而度規(guī)定義了空間l中的一條可微曲線的長(zhǎng)度。

在量子系統(tǒng)任意的演化過程中使得 t→｜x0（t）〉對(duì)應(yīng)于曲線Γ0（t）。那么，可微曲線Γ0從一點(diǎn) ｜x0（0）〉到另一點(diǎn)｜x0（t）的總長(zhǎng)度定義為

可以證實(shí)，（28）和（29）兩式所表示的長(zhǎng)度的定義也是與任何量子演化過程相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)。積分（28）和（29）式存在于時(shí)間段［0，t］中，且是連續(xù)的，積分中所用的參量都是實(shí)數(shù)。這兩個(gè)長(zhǎng)度都有一個(gè)重要的特征—再參量化不變性，即經(jīng)過做變換 t→t′且＞0，由 Γ和得到的所有曲線的長(zhǎng)度不變?！湟虼耍€的長(zhǎng)度與它們投影的參量化無關(guān)，是幾何曲線的特點(diǎn)，是對(duì) t不變的。而且，這些長(zhǎng)度在相位變換下，即｜ψ（t）〉→eia（t）｜ψ（t）〉，l（x0（t））和l（t））仍然不變。此外，長(zhǎng)度與驅(qū)動(dòng)量子系統(tǒng)沿著空間 P路徑演化的某個(gè)哈密頓量也無關(guān)。

除過這些共有的幾何特征以外，上面定義的兩個(gè)長(zhǎng)度在本質(zhì)上是不同的。l（x0（t））在本質(zhì)上是非疊加的，因?yàn)榧偃缌孔酉到y(tǒng)從 t1到t2，然后再從 t2到 t3，t1到 t3的曲線長(zhǎng)度不等于從 t1到 t2與 t2到 t3的長(zhǎng)度之和。這長(zhǎng)度與幾何相的特點(diǎn)類似，即不可積性。事實(shí)上，長(zhǎng)度等于態(tài)矢量沿著希爾伯特空間 P中一條曲線的總距離，該距離由 Fubini－Study度規(guī)測(cè)量得到。希爾伯特空間 P允許 Fubini－Study度規(guī)的存在，總距離等于系統(tǒng)經(jīng)歷任意演化過程后能量不確定度的時(shí)間積分，即而且，這兩個(gè)長(zhǎng)度是完全不同的幾何體?？梢钥闯觯€長(zhǎng)度 l（x0（t））大于曲線長(zhǎng)度。為了清楚這一點(diǎn)，計(jì)算曲線長(zhǎng)度l（x0（t））的無限小量的平方：

通過計(jì)算得，

上式表明，參考項(xiàng)曲線的微小改變與水平曲線的微小改變以及幾何相的微小改變構(gòu)成了正三角，且它們對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度，距離和幾何相滿足勾股定理。

4 2個(gè)例子

下面以一些簡(jiǎn)單例子來說明上文介紹的觀點(diǎn)。首先考慮關(guān)于二能級(jí)原子的簡(jiǎn)單例子，該模型與自旋1／2粒子與磁場(chǎng)相互作用的模型一致。這里，希爾伯特空間Q＝C2，且投影空間 P＝P1（C）是個(gè)二維球面 S2。在任意時(shí)刻t態(tài)矢表示為

式中，θ和φ是與二能級(jí)系統(tǒng)有關(guān)的物理參量。基矢｜＋〉和｜－〉是希爾伯特空間中的正交矢量。在非周期演化過程中，態(tài)矢以極角 θ和方位角 φ＝2ωt的椎體上描繪出一段弧形。假定在自旋演化過程中θ為常數(shù)，φ僅隨時(shí)間而變。參考項(xiàng)｜x0（t）〉表示為

容易看出，該參考項(xiàng)滿足第III部分提到的所有特點(diǎn)。使用這個(gè)參考項(xiàng)可以計(jì)算出二能級(jí)原子的非周期幾何相為

這是一個(gè)變化的幾何相，相對(duì)于線性變化的動(dòng)力學(xué)相，它是非線性變化的。這樣的非周期幾何相的正確測(cè)量已被Wagh和 Rakhecha提出來了。

下面以一維諧振子為例說明以上觀點(diǎn)。諧振子的態(tài)矢屬于希爾伯特空間，諧振子的一維哈密頓量為

任意時(shí)刻 t的態(tài)矢用基矢｜n〉展開為

其中展開系數(shù)Cn取決于初始態(tài)｜ψ（0）〉的選取。如果初始態(tài)是一個(gè)相干態(tài)，那么｜ψ（t）〉變?yōu)?/p>

其中Z是復(fù)數(shù)。歸一化的參考項(xiàng)｜x0（t）〉與初始態(tài)同相，投影到空間P中同一條曲線上，且表示為｜x0（t）〉＝exp［－｜z｜2／2＋i tan－1

利用參考項(xiàng)｜x0（t）〉計(jì)算幾何相為

5 結(jié)論

本文主要研究了在任意量子演化過程中的幾何結(jié)構(gòu)。指出了所有這些幾何量之間的關(guān)系。利用投影希爾伯特空間 P中線束定義了參考項(xiàng)，并證明通過聯(lián)絡(luò)一形式的線性積分給出了幾何相表示。指出了幾何相的各種特征；證明了幾何相不僅是相位不變的，而且是測(cè)量不變的；還證明了幾何相的消失特性。另外，引入了任意量子演化的幾何長(zhǎng)度和距離的定義，并給出了幾何相的拓?fù)湓?。最后，?jì)算了諧振子的任意演化幾何相。

［1］Berry M V.Quantal phase factors accompanying adiabatic changes［J］.Proc R Soc A，1984，392：45－57.

［2］Aharonov Y，Anandan J.Phase changes during a cyclic quantum evolution［J］.Phys Rev Lett，1987，58：1593－1596.

［3］Zanardi P.RasettiM.Holonomic quantum computation［J］. Phys Lett A，1999，264：94－98.

［4］Pachos J，Zanardi P，Rasetti M.Non－abelian berry connections for quantum computation［J］.Phys Rev A，2000，61：010305（R）.

［5］Pachos J，Chountasis S.Optical holonomic quantum computer［J］.Phys Rev A，2000，62：052318－052323.

［6］Duan L M，Cirac J I，Zoller P.Geometric manipulation of trapped ions for quantum computation［J］.Science，2001，192：1695－1697.

［7］Recati A，Calarco T，Zanardi P，et al.Holonomic quantum computation with neutral atoms［J］.Phys Rev A，2002，66：032309－032313.

［8］Faoro L，Siewert J，F(xiàn)azio R.Non－Abelian Holonomies，Charge Pumping，and Quantum Computation with Josephson Junctions［J］.Phys Rev Lett，2003，90（2）：028301－028304.

［9］Solinas P，Zanardi P，Zanghi N，et al.Semiconductor－based geometrical quantum gates［J］.Phys Rev B，2003，67：121307.

［10］Zanardi Pe.Remote state preparation［J］.Rev Lett.，2001，87：077901－077905.

［11］Marzlin K P，Bartlett S D，Sanders B C.Entanglement gauge and the non－Abelian geometric phase with two photonic qubits［J］，Phys Rev A，2003，67（2）：022316－022319.

［12］Li Y，Zhang P，Zanardi P，et al.Non－Abelian geometric quantum memory with atomic ensemblePhys［J］.Rev A，2004，70：032330－032334.

［13］Nordling M，Sj?qvist E.Mixed－state non－Abelian holonomy for subsystems［J］.Phys Rev A，2005，71（1）：012110.

［14］Samuel J，Bhandari R.General setting for Berry's phase［J］.Phys Rev Lett，1988，60：2339－2342.

［15］Aitchison I JR，Wanelik K.On the real and complex geometric phaseds［J］.Proc R Soc London，Ser A，1992，439：25－34.

［16］Mukunda N，Simon R.Quantum kinematic approach to the geometric phase I.General formalism［J］.Ann Phys，1993，228：205－268.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Geometric Phase Characteristic During Arbitrary Quantum Evolution

WANG PENG1，JIA Pei－jun2
（1.College of Physics and Electrionic Information，Yan an University；2.Assets and Laboratory Management of Yan an University，Yan an 716000，China）

The expression for the geometric phasewas present during arbitrary quantum evolution.The gauge invariant and vanishing property of the geometric phase was showed.Not only the geometric phase was observed，The other geometric structure was found，such as geometric length and distance.The relation among these geometric structure was pointed ont.

geometric phase；quantum evolution；geometric structure

O413

A

1004-602X（2011）01-0023-06

2011 -01 -07

王鵬（1983—），男，陜西吳起人，延安大學(xué)助教。