任林源

（西安工業(yè)大學(xué) 數(shù)理系，陜西西安 710032）

一些包含 Khatri－Rao積的矩陣不等式

任林源

（西安工業(yè)大學(xué) 數(shù)理系，陜西西安 710032）

利用 Styan和 Liu的相關(guān)結(jié)果，主要研究了分塊和非分塊矩陣的 Khatri－Rao積，Khatri－Rao和與 Hadamard積的矩陣不等式，得到一些半正定矩陣和非奇異 Hermitian矩陣含有 Ktracy－Rao積等的矩陣不等式。所得含有 Khatri－Rao積的矩陣不等式可用于其它矩陣不等式方向的研究。

矩陣不等式；半正定矩陣；Hadamard積；Khatri－Rao積；Tracy－Singh積；Kronecker積

矩陣的Kronecker積在控制論、系統(tǒng)理論和最優(yōu)化理論以及矩陣的Hadamard積在統(tǒng)計(jì)學(xué)的多元分析中，都是相 當(dāng) 有 用 的［1－9］。我 們知道，矩 陣 的Khatri－Rao積是矩陣 Hadamard積的推廣，Hadamard積和矩陣的普通積不依賴于 A和 B的分塊形式，矩陣的 Tracy－Singh積、Khatri－Rao積通常依賴于矩陣 A和 B的分塊形式，但矩陣塊 Kronecker積，塊Hadamard積，塊Khatri－Rao積只與 B的分塊有關(guān)［7，8］。設(shè) Cm×n表示 m×n復(fù)矩陣，H（m）為 m ×m階 Hermitian矩陣集，設(shè) AH表示 A的共軛轉(zhuǎn)置，A＋為A的Moore－Penrose逆，A0＝AA＋是 A到其列空間上的正交投影算子，A（α，β）是 A∈Cm×n的子矩陣，矩陣的行表示為 α?〈m〉＝ {1，2，3，...，m}，列表示為β?〈n〉＝{1，2，...，n}。特別的，有A（α， α）＝A（α）。如果矩陣 A是 Hermitian并且非負(fù)的，那么寫作為A≥0（A＞0）。在Lǒwner偏序意義下，A≥B即為 A－B≥0。并且當(dāng) A≥0時(shí)，用A1／2表示 A的方根。

定義［6］設(shè) A＝（aij）∈Cm×n，B＝（bij）∈Cm×n，B＝（bij）∈Cp×q，則 A?B＝（aijB）ijκ∈Cmp×nq被 定 義為分塊矩陣 A，B的Kronecker積。

定義 1［6］設(shè)A＝（aij），B＝（bij）∈Cm×n，則定義 Hadamard積為 A·B＝（aijbij）ij＝B·A∈Cm×n

定義 2［7，8］設(shè) A＝（Aij）∈Cm×n，其中 Aij是 A的第 ij子矩陣塊，階為 mi×nj，B＝（Bkl）∈Cp×q，Bkl是 B的第 kl子矩陣塊，階為pk×ql，并且有，則矩陣 A，B的 Tracy－Singh積定義為

其中Aij?Bkl是 AΞB的第 kl子矩陣塊，階為 mipk×。

定義 3［7，8］設(shè) A＝（Aij）∈Cm×n，B＝（Bij）∈Cp×q分別分塊為 Aij是 A的第 ij子矩陣塊，階為 mi×

nj，Bij是 B的第ij子矩陣塊，階為，則矩陣A，B的 Khatri－ Rao積定義為

定義 4［7，8］設(shè) A＝（Aij）∈Mm，B＝（Bij）∈Mn如下：Aij，Bij是第ij塊，其階分別是 mi×mi，nk×nk，，則矩陣 A，B的Khatri－Rao和定義為A∞B＝A*In＋I(xiàn)m*B∈MM，N，其中 M＝diag（Im1，...，Imr）。

引 理 1［9，10］

其中 V≥0，X＝V0X，a＝c＝（λ＋μ）2／（4λμ），b＝和 μ分別是矩陣V的最大和最小特征值。

引理 2［5，11］設(shè) A，B，C，D是具有合適分塊的矩陣，則

如果

其中 Z是元素為 0，1的選擇矩陣，滿足 ZHZ＝I，式（9）成立當(dāng)且僅當(dāng)A，B都是方陣.

定理1 設(shè)A∈H（m），B∈H（p）是非負(fù)分塊矩陣，α?〈mp〉由式（9）和式（10）通過Z確定，并且 α′＝〈mp〉＼α，如果 A＞0，B＞0，a＝c＝（λ＋μ）2／，λ和 μ分別是V的最大和最小特征值.并且分塊如式（1），那么

那么根據(jù)式（1）可得式（11），同理由式（2），（3），（4）可得式（12），（13），（14）。

定理2 設(shè)A∈H（m），B∈H（P）是非奇異方陣，α?〈mp〉，α′＝〈mp〉／α，如果（AΞB）－1（α′）＞0，則A *B可逆，并且（A*B）（A∞B）－1（A*B）≤A∞B.

證明 設(shè) Q＝AΞB，M＝AΞI＋I(xiàn)ΞB，那么

Q（α）＝A*B，M（α）－1＝（A*I＋I(xiàn)*B）－1，那么由推 論1［11］可 得

Q（α）H（AB）－1Q（α）≤（QHM－1Q）（α），即得到（A *B）（A∞B）－1（A*B）≤A∞B.

注意到對任意正實(shí)數(shù) x有 x＋x－1≥2，所以對任意正定矩陣 M有M＋M －1≥2I，設(shè) M＝AB－1，所以有AB－1＋A－1B≥2I，即有 A*B－1＋A－1*B≥2I，令 B＝A－1，那么有 A*A－1＋A－1*A≥2I.

定理3 設(shè)非奇異陣A∈H（m），B∈H（P），α?

那么由推論 1［11］可得。

如果設(shè) A＝（aij），B＝（bij）∈Mn，則定義 AΔB＝A·I＋I(xiàn)·B為A與B的Hadarmad和［14］。

設(shè)Q＝A⊕B＝A?I＋I(xiàn)?B，M＝A?B，

則

Q（α）＝A·I＋I(xiàn)·B，M（α）－1＝（A·B）－1，那么由Q（（α）HM（α）－1Q（α）≤（QHM－1Q）（α）可得

那么可以得到推論

（AΔB）（A·B）－1（AΔB）≤A·B－1＋A－1·B＋2I.

定理4 設(shè) A∈Cn×m，并且 k∈［－1，1］，那么

令 k＝2αβ／（α2＋β2），顯然有式（18）。

當(dāng)k＝0時(shí)，有AA＋*BB＋≥（A*B）（A*B）＋是AA＋·BB＋≥（A·B）（A·B）＋［12］的Hadamard積Khatri－Rao積推廣；

當(dāng)k＝1時(shí)，有AA＋*BB＋＋AB＋*BA＋≥2（A*B）（A*B）＋；

當(dāng) k＝－1時(shí)，有 AA＋*BB＋≥AB＋*BA＋.

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［責(zé)任編輯 賀小林］

Some M atrix Inequalities Involving the Khatri－Rao Product

REN Lin－Yuan
（Department of Mathematics and Physics，Xi an Technological University，Xi an 710032，China）

Using the results provided by Styan and S.Liu，this paper is concerned with the inequality ofmatrix product for portioned and non－partitioned matrices，which involving the Khatri－Rao product，Khatri－Rao sum，and Hadamard product.Several product inequalities are obtained in the positive semi－definte matrix and in the non－singular Hermitian matrix case.It is easy to apply the result of inequalities involving the Khatr－Rao prouduct to the research in other fields.

matrix inequality；postive semi－definematrix；Hadamard product；Khatri－Rao product；Tracy－Singh product；

分類：O151.21

A

1004-602X（2011）01-0001-03

2011 -03 -10

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目（09JK494）；校長科研基金項(xiàng)目（XAGDXJJ0930）

任林源（1971—），男，陜西榆林人，西安工業(yè)大學(xué)講師，博士。

Kronecker product