張?zhí)m勇 劉 勝 于大泳

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1.引 言

在電磁兼容測(cè)試中，電磁吸收體的廣泛應(yīng)用促使工程師去開(kāi)發(fā)有效的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法。理想情況下，一個(gè)最薄最輕帶寬最寬的吸收體是最好的。但是這些特征是互相矛盾的。比如，設(shè)計(jì)最高反射衰減的吸收體是可實(shí)現(xiàn)的，但是同時(shí)具有高厚度或重量。另一方面，薄的和輕的吸收體可能只有較低的反射衰減。

因此，在電波暗室中鋪設(shè)吸收體時(shí)，工程師經(jīng)常會(huì)遇到很多強(qiáng)迫他們尋找在兩個(gè)矛盾目標(biāo)函數(shù)中最合適的折衷解的問(wèn)題。所以，如果存在一系列的最優(yōu)解而不是一種解，設(shè)計(jì)師可以在每種情況下選擇最適合的折衷解。這些優(yōu)化解的集合在最優(yōu)化理論中被稱為帕累托(Pareto)前沿最優(yōu)解[1]。

目前，一些Pareto優(yōu)化方法用來(lái)尋找吸收體的Pareto前沿，這些方法通常以遺傳算法為基礎(chǔ)[2]。此外，多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)也在這個(gè)問(wèn)題中得到應(yīng)用。但是，一些MOPSO算法卻得不到比非支配尋優(yōu)遺傳算法更好地結(jié)果[3]。

應(yīng)用改進(jìn)的MOPSO算法計(jì)算多層電磁吸收體的反射系數(shù)與厚度的關(guān)系，仿真測(cè)試結(jié)果證明該方法具有更好地優(yōu)化效果。

2.改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種模仿鳥(niǎo)群社會(huì)行為的智能優(yōu)化算法，已成功地應(yīng)用于許多工程優(yōu)化問(wèn)題中。PSO可以用于解決非線性、不可微和多峰值的復(fù)雜問(wèn)題，從而該算法被應(yīng)用到許多領(lǐng)域[4-5]。

PSO算法首先初始化為一組隨機(jī)解(隨機(jī)粒子)，通過(guò)迭代搜尋最優(yōu)解，PSO算法沒(méi)有像遺傳算法中用交叉及變異操作，而是通過(guò)粒子在解空間追隨最優(yōu)粒子的行為進(jìn)行搜索。在實(shí)際操作過(guò)程中，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)為每個(gè)粒子確定一個(gè)適應(yīng)值(FitnessValue)，來(lái)評(píng)價(jià)粒子的優(yōu)劣程度。由一個(gè)向量來(lái)決定粒子的飛行方向和位置。在粒子的飛行過(guò)程中，通過(guò)粒子本身目前所找到的最優(yōu)解(個(gè)體極值)和整個(gè)種群目前所找到的最優(yōu)解(全局極值)這兩個(gè)極值來(lái)不斷的更新自己[6]。

假設(shè)搜索空間為D維空間，并且粒子群的第i個(gè)粒子可以由D維空間向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)T表示。粒子的速度由向量Vi=(vi1，vi2，…，viD)T表示。第i個(gè)粒子的最佳位置記為Pi=(pi1，pi2，…，piD)T。g為粒子群中最佳粒子的標(biāo)號(hào)，即第g個(gè)粒子為最佳位置的粒子，并且上標(biāo)表示重復(fù)次數(shù)。在整個(gè)域中，粒子群通過(guò)式(1)和(2)計(jì)算[7]。

(1)

(2)

上述方程代表單目標(biāo)PSO的基本形式。但是在大多數(shù)情況下，可能需要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)函數(shù)，各個(gè)目標(biāo)函數(shù)間可能是沖突的，這就產(chǎn)生了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。

通常多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題不存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)最優(yōu)的惟一的全局最優(yōu)解。但是存在這樣的解：對(duì)一個(gè)或幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)不可能進(jìn)一步優(yōu)化，而對(duì)其他目標(biāo)函數(shù)不至于劣化，這樣的解稱為非劣最優(yōu)解或Pareto最優(yōu)解。每個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法的主要目的是找到Pareto最優(yōu)集合。這些最優(yōu)集合將會(huì)平衡相互矛盾的目標(biāo)。陳民鈾等提出了一種自適應(yīng)進(jìn)化粒子群優(yōu)化算法以求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用非支配排序策略和動(dòng)態(tài)加權(quán)法選擇最優(yōu)粒子，但該算法未能解決種群多樣性問(wèn)題[7]。李娟等利用改進(jìn)的粒子群算法應(yīng)用于Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)移動(dòng)的計(jì)算中，有效地改進(jìn)了移動(dòng)模型，但只是針對(duì)單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行的優(yōu)化[8]。趙志剛等提出了一種基于雙向搜索的多目標(biāo)優(yōu)化粒子群算法，改進(jìn)了粒子群的狀態(tài)更新機(jī)制，但增加了計(jì)算時(shí)間[9]。

Pareto最優(yōu)的概念是由意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Vilfredo Pareto在他1906年的著作(Manual of Political Economy)中給出[10]。為了理解Pareto最優(yōu)的概念，給出如下定義：

支配：一個(gè)位置向量x1支配一個(gè)位置向量x2(x1x2)，當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

Pareto最優(yōu)：如果不存在一個(gè)向量x≠x*∈F支配x*，一個(gè)位置向量x*∈F就是Pareto最優(yōu)。

Pareto最優(yōu)集合：所有Pareto最優(yōu)位置向量的集合組成Pareto最優(yōu)集合。

Pareto前沿：與Pareto最優(yōu)集合中位置向量相對(duì)應(yīng)的所有的目標(biāo)向量[10-11]。

在所有多目標(biāo)最優(yōu)算法中第一步都是使解與Pareto前沿的距離最小化[11]。所以首先應(yīng)定義這個(gè)目標(biāo)適當(dāng)函數(shù)。傳統(tǒng)的定義適當(dāng)函數(shù)的方式是基于聚合方法，即適應(yīng)度函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)和[12]。然而，這種經(jīng)典的方法對(duì)于目標(biāo)的精確聚合非常敏感，并且趨向效率很低[12-16]。在Pareto支配的基礎(chǔ)上提出一種適應(yīng)度分配的新方法，該方法中適應(yīng)度與解的支配秩成比例關(guān)系。該算法流程圖如圖1所示。

圖1 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法流程圖

算法利用式(4)計(jì)算每個(gè)粒子的速度，即

(4)

每個(gè)立方體內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)除以任何一個(gè)大于1的數(shù)x(通常取10)，所得的值賦予這個(gè)超立方體，目的是降低包含更多超立方體的適應(yīng)度，并且可以看作適應(yīng)度共享的一種形式。然后，基于隨機(jī)選擇的方法利用這些適當(dāng)值選擇超立方體，從而可以得到相應(yīng)的粒子。一旦超立方體被選定，就可以隨機(jī)選定立方體中的一個(gè)粒子。

為了進(jìn)行更好的區(qū)域搜索以及避免收斂于錯(cuò)誤的Pareto解，提出了一種變異算子。它的作用是降低迭代次數(shù)。它由變異率μ控制。

變異算子為一個(gè)隨機(jī)算子，滿足局部最優(yōu)解的變異率μ計(jì)算公式為

(5)

pg=pg·(1+η)

(6)

由于加入了變異算子，就可以改變粒子的前進(jìn)方向，從而讓粒子進(jìn)入搜索空間的其他區(qū)域進(jìn)行搜索，在其后的搜索過(guò)程中，算法就有可能發(fā)現(xiàn)新的個(gè)體極值以及全局極值。如此反復(fù)迭代，算法就有可能找到全局最優(yōu)解。

在子群的歷史最優(yōu)粒子位置Pi連續(xù)無(wú)變化或變化極小時(shí)，若粒子群出現(xiàn)較嚴(yán)重聚集情況，則保留歷史最優(yōu)粒子位置Pi，將粒子中少部分維重新隨機(jī)初始化，以此來(lái)增強(qiáng)全局搜索能力，克服收斂到局部最優(yōu)點(diǎn)的缺點(diǎn)，同時(shí)又不降低收斂速度和搜索精度。在更新數(shù)據(jù)時(shí)，μ必須保證自由支配，對(duì)相鄰子群內(nèi)所有粒子的所有維，按幾率μ進(jìn)行重新隨機(jī)初始化位置和速度。并且在每個(gè)粒子的更新記憶中，如果當(dāng)前位置是統(tǒng)治最佳位置，則取代過(guò)往最佳位置(Pbest)，其算法如下：

If LogjamStep>=MaxStep

If SwarmDist

對(duì)相鄰子群內(nèi)所有的粒子的所有維，按幾率μ進(jìn)行重新隨機(jī)初始化位置和速度

LogjamStep=0；

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

其中，LogjamStep為子群歷史最優(yōu)粒子位置Pi連續(xù)不變化或變化極小的迭代次數(shù)，MaxStep為連續(xù)不變化次數(shù)的閾值；SwarmDist為群內(nèi)所有粒子到歷史最佳位置Pi(t)的歐幾里得空間距離，SwarmDist可采用為平均聚集距離MeanDist或最大聚集距離MaxDist，定義如下：

(7)

(8)

m為相鄰子群離子束，BorderDist為判斷群內(nèi)粒子聚集程度的距離閾值。變異率μ、MaxStep和BorderStep的選擇將對(duì)算法的性能產(chǎn)生很大的影響，過(guò)大的μ和MaxStep以及過(guò)小的MaxStep都會(huì)影響算法的收斂速度和搜索精度。

這種算法描述了Pareto前沿的多樣性。但是Pareto前沿邊緣的一些點(diǎn)經(jīng)常找不到。實(shí)際工程中可能對(duì)這些點(diǎn)更感興趣。比如，在一些應(yīng)用中，只要求高的吸收率，盡管厚度也會(huì)增加。為了得到這些Pareto前沿的邊緣點(diǎn)，應(yīng)用算法的改進(jìn)形式：

在一些迭代中(比如30次迭代之后)，僅僅在重要的目標(biāo)函數(shù)(反射系數(shù))上運(yùn)行算法優(yōu)化。為了減少計(jì)算時(shí)間，在這些迭代中應(yīng)用快速單目標(biāo)PSO.

3.電磁吸收體建模

以良導(dǎo)體為底層的多層吸收體如圖2所示。第0層為入射介質(zhì)，第M層為良導(dǎo)體[9]。

層數(shù)在設(shè)計(jì)中已經(jīng)確定為5層。材料根據(jù)電磁特性需要從不同頻率的材料庫(kù)中選取。材料的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率如表1所示[16]。對(duì)于每一層，厚度和材料類型必須詳細(xì)給出。因此，對(duì)于M層的吸收體，這里有2M維位置向量。

考慮有M層不同材料組成的平面吸收體固定在良導(dǎo)體上，設(shè)計(jì)目的是選擇不同材料抑制頻帶寬度B內(nèi)的入射波的反射，并且材料厚度盡量薄。不同層的材料是預(yù)先確定的，在表1中選擇。吸收材料的構(gòu)成參數(shù)隨頻率變化[20]。

圖2 多層吸收體結(jié)構(gòu)

無(wú)損絕緣材料(μr=1+j0)#εr010150

有損磁導(dǎo)材料(εr=15+j0)μi(f)=μi(1GHz)fβ;μr(f)=μr(1GHz)fα,μ=μr-jμi#μr(1GHz),αμi(1GHz),β25,0.97410,0.96133,1.00015,0.95747,1.00012,1.000有損絕緣材料(μr=1+j0)εi(f)=εi(1GHz)fβ,εr(f)=εr(1GHz)fα,ε=εr-jεi#εr(1GHz),αεi(1GHz),β55,0.8618,0.56968,0.77810,0.682710,0.7786,0.861松弛型磁性材料μ=μr-jμi,μr=μrmf2mf2+f2m,εr=15+j0#μmfm8350.89350.51030111180.512201.513302.51430215253.5

平面波入射到由M層吸收材料組成的導(dǎo)體板上，在頻率f下都可以求解吸收體的反射系數(shù)R(f)。其中第i層厚度為ti，介電常數(shù)為εi(f)，磁導(dǎo)率為μi(f)(i∈{1，2，…，NL})，在表1中均給出計(jì)算公式，則每層的反射系數(shù)為

(9)

式中：

(10)

由于

可得

R(f)=RM(f)

(11)

該計(jì)算過(guò)程可以通過(guò)重復(fù)代入頻帶B內(nèi)的典型頻率得到吸收體的頻率響應(yīng)。

吸收體總厚度為

(12)

設(shè)計(jì)的目的是同時(shí)使頻帶內(nèi)最高反射系數(shù)R=20log10{max[R(f)]，f∈B}與總厚度t最小。

每層的厚度在0～2 mm區(qū)間內(nèi)，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)為

(13)

式中：B為需要的頻帶寬度；R為多層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)；ti為每層的厚度。由于目標(biāo)函數(shù)中只需知道整個(gè)頻段內(nèi)最大的反射系數(shù)，因此，最終的反射系數(shù)與頻率無(wú)關(guān)。

設(shè)計(jì)目標(biāo)是在整個(gè)頻帶中使反射系數(shù)的最大值和吸收層的厚度同時(shí)最小。因?yàn)閮蓚€(gè)目標(biāo)是矛盾的，所以必須尋找這個(gè)問(wèn)題的Pareto最優(yōu)前沿，從而找到兩個(gè)目標(biāo)之間的最佳折衷。

4.試驗(yàn)結(jié)果分析

本節(jié)利用上面提出的算法來(lái)設(shè)計(jì)不同頻帶范圍的吸收體。

1) 低頻吸收體：0.2 GHz

2) 高頻吸收體：2 GHz

Pareto前沿計(jì)算結(jié)果如圖3和圖5所示。假定c1和c2為[1.49，2]內(nèi)的任意數(shù)，ω為[0，1]內(nèi)的任意數(shù)。系數(shù)μ=0.5，檔案數(shù)量=100，群大小=1000。迭代次數(shù)最大為3000。根據(jù)第三節(jié)的分析，每進(jìn)行30次迭代，在群大小為100和最大迭代次數(shù)為100時(shí)運(yùn)行PSO函數(shù)計(jì)算f1函數(shù)(反射系數(shù))。

圖3 利用IMOPSO獲得的0.2～2 GHz帶寬的Pareto前沿

圖5 利用IMOPSO獲得的2～8 GHz帶寬的Pareto前沿

圖3為利用改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的Pareto前沿，圖4(看824頁(yè))為進(jìn)化非支配排序遺傳算法(NSGAII)、非支配排序遺傳算法(NSGA)以及多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)進(jìn)行優(yōu)化的Pareto前沿。兩圖對(duì)比可以證明提出的方法在Pareto前沿從上到下取得更好的多樣性，即后者的設(shè)計(jì)結(jié)果為前者Pareto前沿的子集。

表2 各種算法性能比較

表2給出了通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真IMOPSO算法的性能并結(jié)合文獻(xiàn)[7]-[11]的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。從表中可以看出，IMOPSO所得的非劣解最多，并且收斂速度較快，多樣性性能最高。結(jié)合圖3與圖4可以得出結(jié)論：IMOPSO算法所得的非劣解在近似Pareto最優(yōu)解集中所占的比重最大，并且算法的平均線密度最小，非劣解前端均勻性最好。

5. 結(jié) 論

文章對(duì)多層吸收體的兩個(gè)矛盾目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化：厚度和反射系數(shù)。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常有NSGA，NSGAII，MOPSO等算法來(lái)解決這類問(wèn)題。為了取得更好的解，提出了變異算子以及適應(yīng)度共享對(duì)MOPSO進(jìn)行了改進(jìn)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示該算法優(yōu)于其他優(yōu)化策略，并且NSGA，NSGAII和MPSO尋優(yōu)的 Pareto前沿是文章提出的改進(jìn)MOPSO得到的Pareto最優(yōu)解的子集。這個(gè)范圍更寬的Pareto前沿可以幫助工程師選擇更好的最優(yōu)解進(jìn)行設(shè)計(jì)，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

[1] CUI S, MOHAN A, and WEILE D S. Pareto optimal design of absorbers using a parallel elitist nondominated sorting genetic algorithm and the finite element-boundary integral method[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2005, 53(6): 2099-2107.

[2] WEILE D S, MICHIELSSEN E, and GOLDBERG D E. Genetic algorithm design of pareto optimal broadband microwave absorbers[J]. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 1996, 38(3): 518-525.

[3] GOUDOS S K and SAHALOS J N. Microwave absorber optimal design using multi-objective particle swarm optimization[J]. Microwave and Optical Technology Letters, 2006, 48(8): 1553-1558.

[4] ZHANG H, TAM C M, LI H. Multimode project scheduling based on particle swarm optimization[J]. Computer-Aided Civil and Infras-tructure Engineering, 2006, 21(2): 93-103.

[5] OMRAN M, ENGELBRECHT A P, SALMAN A. Particle swarm optimization method for image clustering[J]. International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2005, 19(3): 297-321.

[6] SIERRA M R, COELLO C A C. Multi-objective particle swarm optimizers: A survey of the state-of-the-art[J]. Int J of Computational Intelligence Research, 2006, 2(3): 287-303.

[7] 陳民鈾, 張聰譽(yù), 羅辭勇.自適應(yīng)進(jìn)化多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法[J]. 控制與決策, 2009, 24(12): 1851-1855.

CHEN Minyou, ZHANG Congyu, LUO Ciyong. Adaptive evolutionary multi-objective particle swarm optimization algorithm[J]. Control and Decision, 2009, 24(12): 1851-1855. (in Chinese)

[8] 李 娟, 饒妮妮, 廖瑞華, 等. 基于改進(jìn)粒子群算法的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)移動(dòng)模型研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2010, 38(1): 222-227.

LI Juan, RAO Nini, LIAO Ruihua, et al. Mobility model based on the improved-PSO algorithm for Ad Hoc network[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(1): 222-227. (in Chinese)

[9] 趙志剛, 李陶深, 楊林峰. 求多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的粒子群優(yōu)化算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2009, 45(29): 37-41.

ZHAO Zhigang, LI Taoshen, YANG Linfeng. Particle swarm optimization for multi-objective programming problems[J]. Computer Engineering and Applications, 2009, 45(29): 37-41. (in Chinese)

[10] PESQUE J J, BOUCHE D P, and MITTRA R. Optimization of multilayered antireflection coatings using an optimal control method[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1992, 41(9): 1789-1796.

[11] 高 芳, 崔 剛, 吳智博, 等. 一種新型多步式位置可選擇更新粒子群優(yōu)化算法[J].電子學(xué)報(bào), 2009, 37(3): 529-534.

GAO Fang, CUI Gang, WU Zhibo, et al. A novel multi-step position selectable updating particle swarm optimization algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2009, 37(3): 529-534. (in Chinese)

[12] KENNEDY J, EBERHART R. Particle swarm optimization[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Neural Network. New York: Piacataway Press, 1995, 4: 1942-1948.

[13] 李文濤, 黑永強(qiáng), 史小衛(wèi). 增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)共形可重構(gòu)天線陣[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 25(3): 477-484.

LI Wentao, HEI Yongqiang, SHI Xiaowei. Enhanced particle swarm optimization algorithm for conformal reconfigurable array[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(3): 477-484. (in Chinese)

[14] ENGELBRECHT A P. Fundamentals of computational swarm intelligence[R]. USA: John Wiley & Sons, 2005.

[15] PERINI J and COHEN L S. Design of broad-band radar-absorbing materials for large angles of incidence[J]. IEEE Trans Electromagn Compat. 1993, 35(2): 223-230.

[16] 孫長(zhǎng)勝, 孫吉貴, 歐陽(yáng)丹彤. 一種自適應(yīng)離散粒子群算法及其應(yīng)用研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2009, 37(2): 300-304.

SUN Changsheng, SUN Jigui, OUYANG Dantong. A self-adaptive discrete particle swarm optimization algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2009, 37(2): 300-304. (in Chinese)

[17] 劉 東, 馮全源. 基于停滯檢測(cè)粒子群算法的陣列天線方向圖綜合[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 24(4): 697-701.

LIU Dong, FENG Quanyuan. Pattern synthesis of antennas based on modified PSO algorithm with stagnation detection[J]. Chinese Journal of Radio Science,2009, 24(4): 697-701. (in Chinese)

[18] 彭志平, 陳 珂. 一種消解協(xié)商僵局的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2007, 35(8): 1452-1457.

PENG Zhiping, CHEN Ke. A multi-objective particle swarm optimization algorithm for solving negotiation deadlock[J]. Acta Electronica Sinica, 2007, 35(8): 1452-1457. (in Chinese)

[19] 焦永昌, 楊 科, 陳勝兵, 等. 粒子群優(yōu)化算法用于陣列天線方向圖綜合設(shè)計(jì)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 21(6): 16-25.

JIAO Yongchang, YANG Ke, CHEN Shengbing, ZHANG Fushun. Application of particle swarm optimization in antenna array pattern synthesis[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2006, 21(6): 16-25. (in Chinese)

[20] CUI S, WEILE D S. Robust design of absorbers using genetic algorithms and the finite element-boundary integral method[C]//IEEE International Symposium on Antennas and Propagation. New York: IEEE Antennas and Propagation society, 2002, 1: 326-329.