史凌峰 林 凱 袁 冰 葉 強(qiáng) 趙亞楠

(1.西安電子科技大學(xué)超高速電路設(shè)計(jì)與電磁兼容教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071； 2.西安電子科技大學(xué)電路CAD所，陜西 西安 710071；3.陜西廣播電視大學(xué)，陜西 西安 710068)

1. 引 言

在當(dāng)今大規(guī)模高速集成電路的設(shè)計(jì)中，信號(hào)頻率的提高和電路規(guī)模的不斷增大，使得電路系統(tǒng)內(nèi)部傳輸線的耦合問(wèn)題日趨嚴(yán)重，從而對(duì)多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)分析成為了研究熱點(diǎn)。目前，針對(duì)傳輸線耦合問(wèn)題的研究多集中在等長(zhǎng)均勻傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)上[1-3]，而對(duì)于不等長(zhǎng)、非均勻的多導(dǎo)體傳輸線的研究，多是在忽略傳輸線損耗的情況下進(jìn)行的[4-5]，且并沒(méi)有形成一個(gè)比較完善的理論。然而在實(shí)際高速電路系統(tǒng)中，連接系統(tǒng)中各信號(hào)處理器的傳輸線通常會(huì)出現(xiàn)不等長(zhǎng)、非均勻等情況。同時(shí)，隨著信號(hào)頻率的提高，傳輸線損耗對(duì)信號(hào)完整性的影響越來(lái)越大。因此，對(duì)不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，分析多導(dǎo)體傳輸線的主要方法有數(shù)值拉氏反變換法(NILT)[6]、時(shí)域有限差分(FDTD)法[3,7]等。數(shù)值拉氏反變換法可以單獨(dú)對(duì)取樣點(diǎn)上的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行求解，但誤差較難控制[5]。時(shí)域有限差分法可以獲得傳輸線上任意點(diǎn)的電壓、電流波形，并且結(jié)果直觀，計(jì)算量較小，可以對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析[5]。

本文基于FDTD法，提出了適用于分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法，并利用該方法對(duì)不等長(zhǎng)傳輸線模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和理論分析，仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。

2. 不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線的FDTD算法

圖1為不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線模型，其中導(dǎo)體1、導(dǎo)體2為信號(hào)線，導(dǎo)體3(未畫(huà)出)為參考地平面，并在導(dǎo)體1的始端設(shè)置激勵(lì)源。L1為導(dǎo)體1的長(zhǎng)度，L2為導(dǎo)體2的長(zhǎng)度。由圖1可以看出：沿信號(hào)傳輸方向L1距離內(nèi)，導(dǎo)體1、導(dǎo)體2和參考地平面(未畫(huà)出)組成了三導(dǎo)體傳輸線，之后的L2-L1距離內(nèi)，導(dǎo)體2和參考地平面(未畫(huà)出)組成了二導(dǎo)體傳輸線。

圖1 不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線模型

按照FDTD方法將多導(dǎo)體傳輸線離散化[7-9]，如圖2所示。其中：Vs0為始端端接激勵(lì)矩陣，Rs0為始端端接電阻矩陣;Rs1為沿信號(hào)傳輸方向L1距離處的端接電阻矩陣;Rs2為終端端接電阻矩陣;圖中電壓節(jié)點(diǎn)與電流節(jié)點(diǎn)均相距Δz/2，時(shí)間點(diǎn)的間隔為Δt/2。

圖2 多導(dǎo)體傳輸線的離散化

根據(jù)圖2所示，在不考慮外界電磁場(chǎng)作用的情況下，多導(dǎo)體傳輸線方程的時(shí)域形式為

(1)

(2)

式中：V和I分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電壓和電流矩陣；R和G分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電阻和電導(dǎo)矩陣；L和C分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電感和電容矩陣。

(3)

(4)

式中：E為單位矩陣。

根據(jù)傳輸線始端和終端邊界條件，結(jié)合式(3)和式(4)可以得到傳輸線在始端和終端的電壓迭代公式

(5)

(6)

式中：RS為始端電阻矩陣；RL為終端電阻矩陣。

為計(jì)算傳輸線始端的電流，應(yīng)用Kirchhoff定律，可以得出其電流的迭代公式[10]

(7)

對(duì)于如圖1所示的不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線，在始端以及L1和L2-L1長(zhǎng)度范圍內(nèi)的等長(zhǎng)多導(dǎo)體傳輸線處，均滿足各自的多導(dǎo)體傳輸線方程，利用FDTD法對(duì)其進(jìn)行差分，結(jié)果即為公式(3)、(4)、(5)、(7)。而在不同段的等長(zhǎng)多導(dǎo)體傳輸線的分段處，電壓相等，電流對(duì)導(dǎo)體長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)相等。因此，在分析不等長(zhǎng)多導(dǎo)體傳輸線時(shí)，可以在初始端以及不同的等長(zhǎng)多導(dǎo)體傳輸線段中對(duì)其滿足的多導(dǎo)體傳輸線方程進(jìn)行差分，而在連接處使其滿足連接條件[8]。

在兩段不同的等長(zhǎng)傳輸線連接處，較短傳輸線的端接電阻為線路中的實(shí)際電阻，而較長(zhǎng)傳輸線與參考地平面為開(kāi)路，其端接電阻可以看作無(wú)窮大。同時(shí)，在連接處，較短傳輸線中只有Δz/2長(zhǎng)度起作用，所以與較短傳輸線相關(guān)的電容量與電感量取原來(lái)的一半[8]。因此，在計(jì)算各段連接處電壓時(shí)，對(duì)于較短傳輸線使用公式(6)、較長(zhǎng)傳輸線使用公式(3)。而計(jì)算連接處電流時(shí)，其計(jì)算公式與公式(4)相同，只是對(duì)于不同的分段及各段連接處代以不同的電感矩陣和電阻矩陣即可。

綜上式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為傳輸線上各點(diǎn)的迭代公式。Δz、Δt分別為空間和時(shí)間步長(zhǎng)，k，n分別為空間和時(shí)間的劃分?jǐn)?shù)。為了保證算法穩(wěn)定，通常要求Δt≤Δz/V，當(dāng)取等號(hào)時(shí)，Δt為最佳時(shí)間步長(zhǎng)。其中V為電磁波在多導(dǎo)體傳輸線中傳播的最大速度[7]。

計(jì)算時(shí)，交替使用電壓遞推公式和電流遞推公式，對(duì)傳輸線上各點(diǎn)進(jìn)行迭代，便可以得到不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線上各點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)。

3. 仿真驗(yàn)證

考慮如圖1所示3導(dǎo)體不等長(zhǎng)非均勻傳輸線作為仿真模型。將其按圖2的方法進(jìn)行離散。則1至k1分段為3導(dǎo)體傳輸線，k1+1至k2分段為2導(dǎo)體傳輸線。傳輸線的分布參數(shù)為[11-13]：

L(x)=387/[1+K1(x)

nH/m

Lm(x)=K1(x)L(x)

nH/m

C(x)=104.13/[1-K2(x)]

pF/m

Cm(x)=-K2(x)C(x)

pF/m

R(x)=30/[1+K3(x)]

Ω/m

G(x)=0.001/[1-K3(x)]

S/m

模型中電磁波在傳輸線1和傳輸線2中傳播的速度分別為V1=1.521×108m/s，V2=1.482×108m/s.因此，選取V1來(lái)確定最佳仿真步長(zhǎng)，以保證算法的穩(wěn)定。在導(dǎo)體1的始端接上升/下降沿為500 ps，脈沖寬度為5 ns，幅值為1 V的激勵(lì)源，如圖3所示。取Δz=0.002 m，根據(jù)Δt≤Δz/V，得最佳仿真時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=1.315×10-11s.

圖3 激勵(lì)波形

對(duì)于分段處，以圖1形式設(shè)置電阻為R1=50 Ω，R2=75 Ω，R3=10 Ω，R4=10 Ω.

式中：VG1為導(dǎo)體1始端激勵(lì)電壓。

當(dāng)k=k2+1時(shí)，Vs2=(0)Rs2=(R4)

Gs2=(G(k×dz)/2)Cs2=(C(k×Δz)/2)

Ls2=(L(k×Δz)/2)

為驗(yàn)證算法的有效性，取導(dǎo)體1長(zhǎng)度為0.1 m、導(dǎo)體2長(zhǎng)度為0.104 m.這種情況下，由于兩傳輸線長(zhǎng)度相差很小，可以將兩傳輸線近似地認(rèn)為等長(zhǎng)，仿真得到不等長(zhǎng)非均勻有損傳輸線兩端各點(diǎn)電壓波形，如圖4所示。再取導(dǎo)體1、導(dǎo)體2長(zhǎng)度為0.1 m，使用文獻(xiàn)[13]中提出的等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的計(jì)算方法(見(jiàn)文獻(xiàn)[13]的第29頁(yè))，仿真得到傳輸線兩端各點(diǎn)電壓波形，如圖5所示。比較圖4和圖5，可以看出：圖4中端點(diǎn)4的電壓幅值略高于圖5中端點(diǎn)4的電壓幅值，這是由于圖4的仿真模型并不是標(biāo)準(zhǔn)的等長(zhǎng)傳輸線，從而導(dǎo)致了兩組仿真試驗(yàn)中受擾線遠(yuǎn)端串?dāng)_的電壓幅值有所不同，這一現(xiàn)象與傳輸線理論是相一致的[14]。除此之外，兩者可較好地吻合。由此可得：文中提出的針對(duì)不等長(zhǎng)有損耗多導(dǎo)體傳輸線的FDTD算法是可行有效的。

下面分析不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線的情況，取導(dǎo)體1長(zhǎng)度為0.1 m、導(dǎo)體2長(zhǎng)度為0.2 m，分別進(jìn)行兩組仿真實(shí)驗(yàn)。其中第一組仿真忽略傳輸線的損耗(R=0，G=0)，第二組仿真考慮傳輸線的損耗。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖6、圖7所示。

將圖4與圖7進(jìn)行比較，可以看出：當(dāng)導(dǎo)體1長(zhǎng)度不變，導(dǎo)體2長(zhǎng)度變化時(shí)，有激勵(lì)源的導(dǎo)體1兩端電壓變化不大，而無(wú)激勵(lì)源的導(dǎo)體2兩端電壓的主要區(qū)別為遠(yuǎn)端串?dāng)_的瞬態(tài)響應(yīng)發(fā)生時(shí)間不同，且由于導(dǎo)體2長(zhǎng)度不同，其遠(yuǎn)端串?dāng)_的電壓幅值有所下降，同時(shí)波形趨于穩(wěn)定的時(shí)間也不同。這與文獻(xiàn)[4]所得出的結(jié)論一致。

(a) 傳輸線端點(diǎn)1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點(diǎn)2和4電壓波形圖4 L1=0.1 m，L2=0.104 m時(shí)不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點(diǎn)1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點(diǎn)2和4電壓波形圖5 L=0.1 m時(shí)等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點(diǎn)1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點(diǎn)2和4電壓波形圖6 L1=0.1 m，L2=0.2 m時(shí)不等長(zhǎng)非均勻無(wú)損耗多導(dǎo)體傳輸線兩端電壓波形

(a) 傳輸線端點(diǎn)1和3電壓波形

(b) 傳輸線端點(diǎn)2和4電壓波形圖7 L1=0.1 m，L2=0.2 m時(shí)不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線兩端電壓波形

比較圖6與圖7，可以看出傳輸線的損耗導(dǎo)致了導(dǎo)體兩端電壓有減小的趨勢(shì)。另外，由于傳輸線損耗的存在，使得導(dǎo)體1的終端電壓幅值、導(dǎo)體2近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_的電壓幅值均有所下降。這與傳輸線理論也是相一致的[14]。

4. 結(jié) 論

針對(duì)傳輸線損耗以及不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線之間的耦合是目前大規(guī)模高速電路系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難點(diǎn)問(wèn)題，作者提出了基于FDTD法的不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)的算法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真分析，得出了與參考文獻(xiàn)[4]、[14]相一致的結(jié)論，證明了該方法在考慮傳輸線損耗的情況下，可以準(zhǔn)確、快速地計(jì)算不等長(zhǎng)非均勻多導(dǎo)體傳輸線中各點(diǎn)的瞬態(tài)響應(yīng)。為不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線的研究提供理論參考。

[1] YIN Ming, DONG Wenbing. A new method to predict the crosstalk of multiconductor transmission lines[C]// 1997 International Symposium on Electromagnetic Compatibility Proceedings (Cat.No.97TH8218), 1997, 219-222.

[2] ANTONINI G, ORLANDI A, PAUL C R. An improved method of modeling lossy transmission lines in finite-difference, time-domain analysis[C]//IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility, 1999,1:435-439.

[3] ORLANDI A, PAUL C R. FDTD analysis of lossy, multiconductor transmission lines terminated in arbitrary loads[J]. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 1996, 38(3): 388-399.

[4] 李 莉, 冀維林. 端接非線性負(fù)載的不等長(zhǎng)傳輸線瞬態(tài)分析[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 24(4): 529-532.

LI Li, JI Weilin. Transient analysis of unequal length multiconductor transmission lines loaded by nonlinear devices[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 24(4): 529-532. (in Chinese)

[5] 齊 磊, 盧鐵兵, 崔 翔. 端接非線性負(fù)載的非均勻傳輸線瞬態(tài)分析[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 18(2): 153-156.

QI Lei, LU Tiebing, CUI Xiang. Transient analysis for nonuniform transmission lines with nonlinear loads[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 18 (2): 153-156. (in Chinese)

[6] 郭裕順. 用NILT導(dǎo)出的傳輸線瞬態(tài)分析模型[J]. 電子學(xué)報(bào). 2002, 30(3): 381-385.

GUO Yushun. Transmission line model for transient simulation derived using the NILT technique[J]. Acta Electronica Sinica, 2002, 30(3): 381-385. (in Chinese)

[7] CLAYTON R P. Analysis of multiconductor transmission lines[M]. New Jersy: John Wiley & Sons Press. 2008.

[8] 李 莉. 時(shí)域有限差分法和多導(dǎo)體傳輸線理論中若干問(wèn)題的研究[D]. 北京: 北京郵電大學(xué),1998.

[9] 高本慶. 時(shí)域有限差分法[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社,1995.

[10] 鄭生富. 有損均勻傳輸線的時(shí)域有限差分法研究[D]. 重慶: 重慶大學(xué), 2007.

[11] BOULEJFEN N, KOUKI A B, GHANNOUCHI F M. Frequency and time domain analyses of nonuniform lossy coupled transmission lines with linear and nonlinear terminations[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2000,48(3): 367-379.

[12] XU Qinwei, MAZUMDER P. Accurate modeling of lossy nonuniform transmission lines by using differential quadrature methods[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2002, 50(10): 2233-2246.

[13] 唐 旻. 高速集成電路頻變參數(shù)互連線信號(hào)響應(yīng)分析[D]. 上海: 上海交通大學(xué),2007.

[14] BOGATIN E. Signal integrity: Simplified[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2007: 334-339.