武軍偉 龔子平 萬顯榮 柯亨玉

(武漢大學電子信息學院電波傳播實驗室，湖北 武漢 430079)

1.引 言

天線與饋線之間的阻抗匹配程度直接影響到天線與收發(fā)信機之間的信號傳輸效率。為實現小型化短波天線輸入阻抗的寬帶化，在天線與饋線間插入寬帶匹配網絡進行補償，減少由阻抗失配引起的損耗，提高饋電效率[1]。

針對寬帶阻抗匹配網絡的優(yōu)化設計問題，Carlin于1977年提出了基于線性分段折線逼近最佳網絡特性的原始實頻方法[2]。自Carlin之后原始實頻方法得到了許多改進，并演變?yōu)橹苯佑嬎銓嶎l方法[3]和簡化實頻方法[4]。簡化實頻方法采用實歸一化的散射參量矩陣函數描述二端口匹配網絡，以散射參量矩陣函數為變量，優(yōu)化匹配網絡的傳輸功率增益TPG(定義為負載得到的實際功率與信號源的資用輸出功率之比)，然后將得到的散射參量矩陣函數變換為策動點函數(阻抗或導納函數)，運用網絡綜合技術將策動點函數實現為物理網絡，完成匹配網絡的設計。

簡化實頻方法避免了原始實頻方法中策動點函數實部的折線表示和相應的希爾伯特變換處理，方法簡便，程序計算簡單快速[5]。同時，該方法克服了電路CAD軟件直接優(yōu)化方法(在軟件中預先指定

網絡的拓撲結構，然后直接對元件取值進行優(yōu)化)中預設的網絡結構不合理、網絡增益特性與元件取值之間具有高階非線性關系的缺點。

然而，簡化實頻方法也存在自身的局限性。由于網絡散射參量函數形式的限制，以及缺乏對網絡增益帶寬理論極限的預估，特定網絡階數和零頻傳輸零點階數下的單次優(yōu)化過程并不一定能夠收斂到或者比較好地逼近目標傳輸功率增益。針對這一問題，進行了分析并給出了改進后的匹配網絡設計方法。

2. 理論分析

2.1 簡化實頻方法基本原理

考慮由信號源、匹配網絡和天線組成的系統(tǒng)，如圖1所示：Ug和Zg分別表示信號源的等效電壓源和內阻抗；ZL表示天線的輸入阻抗；Zq表示由匹配

圖1 信號源、匹配網絡和負載組成的系統(tǒng)

網絡的端口2向信號源方向看去的策動點阻抗。目標是設計一個無源雙端口匹配網絡，使得信號源與天線之間在所關心的頻帶內實現最大功率傳輸。

無耗互易雙端口網絡的實歸一化散射參量矩陣函數S(s)的Belevitch表示形式[6]為

(1)

式中：S表示散射參量;s表示拉普拉斯復頻率。當f(s)為s的偶函數時S11(s)前面取負號，當f(s)為s的奇函數時S11(s)前面取正號，f(s)、h(s)與g(s)之間滿足以下關系式

f(s)f(-s)+h(s)h(-s)=g(s)g(-s)

(2)

根據達林頓(Darlington)原理[7]，任何有理正實函數[8]都可以實現為端接一歐姆電阻的無耗二端口網絡。因而，策動點函數Zq的正實性就成為了匹配網絡能夠實現為無源二端口網絡的充分必要條件。采用Belevitch形式的散射參量矩陣函數表示二端口網絡時，策動點函數的正實性要求就變化為以下三個條件：f(s)、h(s)和g(s)均為實系數多項式；g(s)為嚴格霍維茨(Hurwitz)多項式[8]；f(s)和h(s)的階次均不超過g(s)的階次，并且滿足關系式(2)。

在滿足前述正實性要求的前提下，設f(s)、h(s)和g(s)分別為

f(s)=f0+f1s+…+fnsn

(3)

h(s)=h0+h1s+…+hnsn

(4)

g(s)=g0+g1s+…+gnsn

(5)

式中,n為網絡的階數，{f0f1…fn}、{h0h1…h(huán)n}和{g0g1…gn}分別為f(s)、h(s)和g(s)的多項式系數組。

Belevitch形式下匹配網絡的傳輸功率增益為

(6)

式中SL(s)表示與負載ZL對應的反射系數，傳輸功率增益就表示成為了負載的實頻數據和匹配網絡的散射參量的函數，以f(s)、h(s)和g(s)的系數組為待優(yōu)化變量，優(yōu)化匹配網絡的傳輸功率增益，便可獲得具有最優(yōu)傳輸功率增益的散射參量函數，然后將其變換為策動點函數，運用網絡綜合技術將策動點函數實現為對應的物理網絡，確定網絡拓撲結構和元件取值，就完成了匹配網絡的設計過程。由于f(s)、h(s)和g(s)之間存在關系式(2)的約束，因而獨立的自變量系數組只有兩組，第三組系數可以由另外兩組系數重構，這里選擇f(s)和h(s)的系數組作為待優(yōu)化變量。

式(3)表示一般形式下的f(s)，對應的網絡通常含有互耦線圈(采用達林頓級聯綜合方法[7])及理想變壓器(采用達林頓串聯綜合方法[7])，不便于工程應用。文獻[9]指出并證明，當f(s)取sk(k表示零頻率處傳輸零點的階數，k≤n)的形式時網絡函數始終可以實現為端接電阻的LC混合梯形網絡。此時網絡傳輸函數的零點均位于jω軸上的原點或無窮遠點，這相當于把S21(s)限制為最小相移函數，避免了網絡結構中橋形電路的出現。LC混合梯形網絡所需元件數比較少，整個網絡的傳輸性能對元件取值的微小偏差不敏感[8]，便于工程應用。因此，優(yōu)化過程中將f(s)限定為sk的形式。

對f(s)做出上述約束后，待優(yōu)化變量就只剩下了系數組{h0h1…h(huán)n}，這樣就簡化了優(yōu)化過程的處理。由式(2)可得

g(s)g(-s)=sk(-s)k+(h0+h1s+…+hnsn)

[h0+h1(-s)+…+hn(-s)n]

(7)

指定網絡階數n和零頻傳輸零點階數k，初始化系數組{h0h1…h(huán)n}以后，分離上式右邊項開左半平面的根構成嚴格霍維茨多項式g(s)，就保證了網絡的可實現性。由于網絡是無耗的，散射參量在jω軸上必須滿足|S22(jω)|2+|S12(jω)|2=1，所以在選擇k和{h0h1…h(huán)n}的時候需注意當k=0時h0必須為0。對于簡單的問題，hi的初始值可以設為±1[4].

對傳輸功率增益的優(yōu)化采用線性最小二乘優(yōu)化算法，評估函數設為

(8)

式中：m表示所考慮帶寬內的頻率抽樣點數;T0表示預設的目標傳輸功率增益;T(ωi)表示抽樣頻點ωi處的傳輸功率增益。在給定源和負載的前提下，匹配問題本身就存在著由任意電阻 電容 電感(RLC)無源網絡所能達到的增益和帶寬的理論極限[10]，當預設的目標傳輸功率增益超過這一理論極限時，優(yōu)化過程便永遠不能收斂。為了避免由于預設的目標傳輸功率增益不合理所引起的優(yōu)化過程不收斂現象，設定一定的條件，如迭代次數達到最大值或者評估函數的改變小于預設的容差等，作為最小二乘優(yōu)化算法的終止條件。

最小二乘優(yōu)化結束后，將得出的系數組{h0h1…h(huán)n}代入式(7)重構g(s)，根據式(9)和式(10)就可以得到策動點函數Zq(s)的表達式，移除Zq(s)位于jω軸原點和無窮遠點處的零極點便可綜合出對應的物理網絡結構。

(9)

(10)

由于散射參量函數始終滿足Belevitch形式下的策動點函數正實性約束條件，保證了網絡的可實現性，因而無需再對優(yōu)化得到的策動點函數進行正實性校驗。同時，避開了原始實頻方法中以線性分段折線逼近最佳策動點阻抗的過程以及相應的希爾伯特變換處理，將原始實頻方法的“折線逼近-有理多項式逼近-網絡綜合”三個步驟簡化為了“有理多項式逼近-網絡綜合”兩個步驟，物理概念清晰，方法簡便，程序計算簡單快速。

2.2 改進后的設計方法

然而，簡化實頻方法也有它自身的局限性：首先，把S21(s)設為最小相移函數、給定網絡階數n和零頻傳輸零點階數k為特定值都是對網絡結構的限制，所能實現的傳輸功率增益形式不如由任意RLC無源網絡所能實現的形式廣泛，存在匹配性能的損失。其次，對于具體負載而言，特定網絡階數n和零頻傳輸零點階數k下的優(yōu)化并不一定是全面的，潛在的優(yōu)良解可能在設定n和k的時候就已經被排除在搜索域之外了，此時優(yōu)化過程便不能夠在優(yōu)化帶寬內收斂或者比較好地逼近目標傳輸功率增益。

針對特定n和k下的優(yōu)化并非全面的問題，引入圖2所示的設計方法框圖。讀入負載阻抗數據并設定優(yōu)化頻率范圍和目標傳輸功率增益以后，首先進行網絡階數n=1、零頻傳輸零點階數k=0條件下的優(yōu)化，達到最小二乘優(yōu)化算法的終止條件后，退出該次優(yōu)化并保存優(yōu)化結果。然后逐次增加零頻傳輸零點的階數k和網絡的階數n，重新優(yōu)化，直到n和k均達到預設的最大網絡階數nmax.這樣就遍歷了所有網絡階數和零頻傳輸零點階數下的優(yōu)化，避免了基本簡化實頻方法丟失潛在優(yōu)良解的可能。另外，多次優(yōu)化所給出的多個結果也為通過權衡考慮網絡的匹配性能和物理實現難易程度，從所有優(yōu)化結果中確定最終方案提供了更大的選擇空間。

在遍歷完所有優(yōu)化過程以后，從所有優(yōu)化結果中選擇傳輸功率增益特性較好的數個結果，運用網絡綜合技術將它們變換為對應的物理網絡，構成待考察空間。然后權衡考慮網絡的增益特性和物理實現難易程度，從考察空間中選擇一個結果作為最終方案，完成整個設計過程。當網絡的匹配性能與物理實現難易程度(通常為制作射頻寬帶變壓器的問題)相互矛盾時，只能退而求其次，犧牲匹配性能，選擇物理實現較為容易的結果作為最終方案。

圖2 設計方法框圖

3. 實際應用及結果分析

圖3 待匹配天線的輸入阻抗

由武漢大學研制的新型多功能變頻高頻地波雷達采用相控陣接收天線，單元天線為小型化單極加載螺旋天線，帶寬要求為8～24 MHz.圖3為用Anritsu MS2024A矢量網絡分析儀測得的未經匹配的單元天線輸入阻抗。從圖中可以看出，該天線輸入阻抗的虛部呈容性，實部離射頻電纜的50 Ω特性阻抗比較遠，若與射頻電纜直接相連的話，8～24 MHz內的阻抗失配損耗在56%～80%之間，平均值為69%，天線接收到的雷達回波信號功率不能有效地饋送到射頻電纜上。為提高該接收天線對射頻電纜的饋電效率，采用前面給出的方法設計天線與射頻電纜之間的寬帶阻抗匹配網絡。優(yōu)化頻率范圍設為8～24 MHz，頻率抽樣點設為442點。與濾波器理論相似的是，當網絡的階數大于6階時，網絡的傳輸功率增益隨著頻率的變化將出現大的抖動，同時，過高的網絡復雜度在工程上也是不樂于采用的，因此，優(yōu)化過程中將網絡的最大階數nmax設為6階。最小二乘優(yōu)化算法的終止條件設為達到最大迭代次數5000時停止。取式(8)作為評估函數時，優(yōu)化過程使所有頻率抽樣點處的TPG與預設目標值之間的偏差在平方和意義上最小。若某頻點處有T(ωi)-T0>0，則該點的TPG已經優(yōu)于目標值，但這一差值經過平方后仍然會累積進誤差函數，與TPG未能達到要求的頻點一起使評估函數值變大。為避免這種情況出現，設T0為最大值1，這樣所有頻點處都滿足T(ωi)-T0≤0.

遍歷6階以下所有網絡階數和零頻傳輸零點階數的優(yōu)化過程后共有27個結果。寬帶匹配網絡的設計需保證頻帶內的最低TPG值不低于容許的門限值。表1給出了所有結果在8～24 MHz之間的最低TPG值。從中可以看出：(n=1,k=1)、(n=2,k=1)、(n=2,k=2)、(n=3,k=1)、(n=3,k=2)條件下優(yōu)化結果的最低TPG值均大于-0.5 dB(最大電壓駐波比小于2)，而(n=3,k=3)、(n=4,k=2)等條件下優(yōu)化結果的最低TPG值小于-3 dB，典型的(n=5,k=4)條件下優(yōu)化結果的最低TPG值甚至降低到了約-24 dB，這表遍歷不同網絡階數和零頻傳輸零點階數下的優(yōu)化過程，避免因網絡階數和零頻傳輸零點階數設置不當引起的潛在優(yōu)良結果的丟失是必要的。

圖4給出了表1中最低TPG值大于-0.5 dB的五個結果的TPG曲線。(n=1,k=1)下優(yōu)化結果的TPG曲線對應圖5中的匹配網絡1，其中理想變壓器的變比N=3.2，L1=11823nH；(n=2,k=1)下優(yōu)化結果的TPG曲線對應圖5中的匹配網絡2，其中N=3.1，L1=13520 nH，L2=505 nH；(n=2,k=2)下TPG曲線對應圖5中的匹配網絡3，其中N=3.2，C1=1945 uF，L1=11827 nH；(n=3,k=1)下優(yōu)化結果的TPG曲線對應圖5中的匹配網絡4，其中N=3，C1=11.8 pF，L1=9852 nH，L2=2328 nH；(n=3,k=2)下優(yōu)化結果的TPG曲線對應圖5中的匹配網絡5，其中N=3.7，L1=9515 nH，C1=231.8 pF，C2近似為0 pF.

表1 不同n和k下優(yōu)化結果的帶內最低TPG

圖4 優(yōu)化的傳輸功率增益

(a) 匹配網絡1 (b) 匹配網絡2

(c) 匹配網絡3 (d) 匹配網絡4

(e) 匹配網絡5圖5 匹配網絡

上述五個結果中n=3，k=1下優(yōu)化產生的TPG曲線較為平坦，并且，對應的匹配網絡4中的變壓器變比為3，比其他四個電路中的變壓器更容易以傳輸線變壓器[1，11-12]實現，故選定該結果作為最終的匹配方案。引入1∶3傳輸線變壓器后匹配網絡4的整體結構如圖6中虛線框內部分所示，內虛線框內為1∶3傳輸線變壓器。根據圖6實際制作了匹配網絡，當負載端接天線時從輸入端口測得的駐波比以實線表示于圖7中，為方便比較，同時用虛線給出了理論計算值(與圖4中的實線對應)?？梢钥闯觯?～24 MHz范圍內實際測量的電壓駐波比在2以下，8～13 MHz之間與理論值吻合較好，但13～24 MHz之間與理論值存在偏差，主要是由于實際傳輸線變壓器的阻抗變換特性并非完全理想引起的。

圖6 最終的匹配網絡

圖7 匹配網絡輸入端駐波比測量值

從實際測得的駐波比計算，經過匹配以后8～24 MHz范圍內的阻抗失配損耗在9%以下，平均值為5%，與未匹配時相比明顯減小了?？梢?，文中給出的設計方法有效地解決了該小型短波寬帶天線的阻抗匹配問題。

4. 結 論

給出的匹配網絡設計方法克服了基本簡化實頻方法的局限性，避免了潛在優(yōu)良解的丟失問題，設計過程中引入對匹配網絡物理實現難易程度的考慮，具有較大的工程實用價值。通過一個實際小型短波寬頻帶天線阻抗匹配網絡的設計和測量，表明該方法是有效和實用的。

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