王 鼎 吳 瑛

(解放軍信息工程大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450002)

1.引 言

在超分辨率譜估計(jì)技術(shù)中，以多重信號(hào)分類法(MUSIC)算法[1]為代表的特征空間類算法引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于各種陣列誤差(例如幅相誤差、陣元位置誤差、互耦效應(yīng)等)時(shí)常存在，這些陣列誤差使得實(shí)際陣列流型與理想陣列流型有所不同，從而可能導(dǎo)致高分辨率算法性能的急劇下降[2-3]，甚至失效。因此，陣列誤差校正是超分辨率算法能否投入實(shí)用的重要環(huán)節(jié)。

與其他陣列誤差相比，陣元間的互耦效應(yīng)與陣列的電磁特性密切相關(guān)，也較為復(fù)雜，所以陣列的互耦補(bǔ)償與校正是一項(xiàng)重要的研究課題。目前，減少互耦影響的方法可分為兩大類：一類是先對(duì)互耦進(jìn)行電磁測(cè)量或通過(guò)矩量法對(duì)互耦進(jìn)行電磁計(jì)算[4-5]，然后利用互耦的測(cè)量值或計(jì)算值對(duì)高分辨率算法進(jìn)行修正，然而互耦的測(cè)量和計(jì)算精度有時(shí)難以滿足實(shí)際工程需要，并且陣列互耦還會(huì)隨著周圍環(huán)境和電磁參數(shù)的變化而改變。另一類是將互耦校正問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，例如，文獻(xiàn)[6]-[8]提出了互耦有源校正方法，但該類方法對(duì)校正源的方位精度有較高要求，并且由于系統(tǒng)參數(shù)、信源的時(shí)變性以及空間信源的多徑效應(yīng)，使得該類方法在實(shí)際應(yīng)用中也會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]-[11]提出了幾種互耦自校正方法，它們將信源方位和互耦參數(shù)根據(jù)某種代價(jià)函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，可在估計(jì)信源方位的同時(shí)完成互耦校正，但其中聯(lián)合估計(jì)所對(duì)應(yīng)的高維、多模非線性優(yōu)化帶來(lái)了較大運(yùn)算量和局部收斂等問(wèn)題。針對(duì)該缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]-[14]利用均勻線陣互耦矩陣的Toeplitz性，分別提出了幾種不同的互耦自校正方法，這些方法都無(wú)需求解高維非線性優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)難度相對(duì)較小，但它們都只能應(yīng)用于均勻線陣。眾所周知，相比于均勻線陣，均勻圓陣存在很多自身的優(yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)[15]-[16]針對(duì)均勻圓陣提出了互耦自校正方法，其中利用均勻圓陣互耦矩陣的循環(huán)Toeplitz性，同樣避免了高維、多模非線性優(yōu)化問(wèn)題，但所涉及到的譜峰搜索仍然需要較大運(yùn)算量，并且與多重信號(hào)分類(MUSIC)算法不同的是，在文獻(xiàn)[15]-[16]的方法中，對(duì)每個(gè)搜索方位都需要計(jì)算矩陣的特征值、行列式或者是逆矩陣，因此運(yùn)算量遠(yuǎn)大于MUSIC算法中計(jì)算陣列流型向量的二次型。

眾所周知，ESPRIT算法[17]可以避免高分辨率算法中的譜峰搜索，只是該算法對(duì)陣型具有一定要求。盡管均勻圓陣不具備ESPRIT算法的要求，但通過(guò)模式空間轉(zhuǎn)換技術(shù)[18]可將ESPRIT算法應(yīng)用其中。然而，當(dāng)考慮圓陣的互耦效應(yīng)時(shí)，直接利用上述算法必然會(huì)失效，對(duì)此該文提出了一種基于ESPRIT技術(shù)和模式空間轉(zhuǎn)換技術(shù)的均勻圓陣互耦自校正算法，該算法避免了譜峰搜索以及高維、多模非線性優(yōu)化，能夠直接給出信源方位和互耦向量的閉式解，針對(duì)模式空間轉(zhuǎn)換偏差對(duì)參數(shù)估計(jì)的消極影響，文中基于文獻(xiàn)[19]中的思想，給出了一種能夠在互耦影響下模抵消式空間轉(zhuǎn)換偏差的方法。

2.互耦影響下的陣列信號(hào)模型

假設(shè)一個(gè)M元均勻圓陣，現(xiàn)有D個(gè)不相關(guān)信源到達(dá)該陣列，復(fù)包絡(luò)分別為s1(t)，s2(t)，…，sD(t)，相應(yīng)的方位分別為θ1，θ2，…，θD，則在考慮互耦的影響下，陣列的輸出響應(yīng)為

=CAs(t)+n(t)

(1)

a(θ)=[ejξcos(θ-φ0)ejξcos(θ-φ1)…ejξcos(θ-φM-1)]T

(2)

式中:φm=2πm/M和ξ=2πr/λ，其中r為圓周半徑，λ為信源波長(zhǎng)，而r/λ為半徑波長(zhǎng)比。式(1)中的C表示互耦矩陣，對(duì)于均勻圓陣，它可由復(fù)對(duì)稱循環(huán)Toeplitz矩陣進(jìn)行建模[9]。例如，對(duì)于5元均勻圓陣，若僅考慮最近鄰的2個(gè)和3個(gè)陣元之間的互耦效應(yīng)，其互耦矩陣分別具有如下結(jié)構(gòu)

(3)

根據(jù)式(1)可得陣列輸出的協(xié)方差矩陣為

Rx=E[x(t)xH(t)]=CARsAHCH+σ2IM

(4)

式中： σ2為噪聲功率；Rs=E[s(t)sH(t)]為信源協(xié)方差矩陣。下文將考慮如何在已知Rx的基礎(chǔ)上利用ESPRIT技術(shù)估計(jì)信源方位和互耦因子。

3.互耦影響下均勻圓陣的模式空間轉(zhuǎn)換

3.1 理想條件下均勻圓陣的模式空間轉(zhuǎn)換

若在均勻圓陣中利用ESPRIT算法，模式空間轉(zhuǎn)換是一項(xiàng)重要環(huán)節(jié)，下面不妨直接將其引出，具體細(xì)節(jié)可見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。實(shí)際中的均勻圓陣可看作是連續(xù)圓陣的離散采樣，其第k個(gè)模式的激勵(lì)向量為

(5)

而第k個(gè)相位模式的方向圖為

=jkJk(ξ)ejkθ+εk(θ) (-K≤k≤K)

(6)

式中：g=Mq-k和h=Mq+k；K表示最大模式數(shù)，其取值為[18]K≈?2πr/λ]。式(6)中右邊等式第一項(xiàng)jkJk(ξ)ejkθ稱為主項(xiàng)，它等于連續(xù)圓陣的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，第二項(xiàng)εk(θ)稱為殘余項(xiàng)，它是對(duì)連續(xù)圓陣進(jìn)行離散采樣所引起。為了使主項(xiàng)在數(shù)值上占主導(dǎo)地位，需要滿足條件[18]M>2K，而模式空間轉(zhuǎn)換矩陣為

FH=ΣVH

(7)

式中

(8)

根據(jù)式(6)，在忽略殘余項(xiàng)的基礎(chǔ)上可近似得

(9)

式中

(10)

不難看出，式(9)中的Jξ是常量矩陣，而a0(θ)具有Vandermode結(jié)構(gòu)，它能為ESPRIT技術(shù)的應(yīng)用提供必要的理論基礎(chǔ)。

3.2 互耦影響下均勻圓陣的模式空間轉(zhuǎn)換

為了分析互耦影響下均勻圓陣的模式空間轉(zhuǎn)換，這里首先定義3個(gè)M階置換矩陣

(11)

則不難證明如下等式

(12)

式中c(i)表示向量c中的第i個(gè)元素。于是可得

(13)

進(jìn)一步可得

=Γa0(θ)

(14)

式中

(15)

(16)

根據(jù)式(10)，式(15)和式(16)可知τk的表達(dá)式為

(k=0，1，…，K)

(17)

根據(jù)式(14)可知，模式空間轉(zhuǎn)換可將互耦影響下的均勻圓陣流型向量近似等效為存在幅相誤差的虛擬均勻線陣流型向量，并且該幅相誤差矩陣還滿足中心對(duì)稱性。

4.基于ESPRIT技術(shù)的均勻圓陣互耦自校正算法

4.1 算法的基本原理

4.1.1 估計(jì)信源方位

令R1=Rx-σ2IM=FHCARsAHCHF，則根據(jù)式(14)，對(duì)R1進(jìn)行模式空間轉(zhuǎn)換可得

(18)

(19)

Γ12US2=US1Ψ

(20)

(21)

(22)

進(jìn)一步可得

Γ12WS2=WS1Ψ-1

(23)

類似于文獻(xiàn)[20]中的分析方法，根據(jù)式(20)可得求解τ的優(yōu)化問(wèn)題如下

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

式中angle(·)表示復(fù)數(shù)相位。

4.1.2 估計(jì)互耦因子

(k=2，3，…，K)

(29)

根據(jù)式(29)可得關(guān)于互耦向量c的線性方程組如下

(Λ1G1-Λ2G2)c=Gc=0

(30)

式中G=Λ1G1-Λ2G2，其中

(31)

(32)

(33)

至此文中已經(jīng)給出了基于ESPRIT技術(shù)的均勻圓陣互耦自校正算法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下小節(jié)將針對(duì)上述算法進(jìn)行進(jìn)一步討論和改進(jìn)。

4.2 算法的進(jìn)一步討論和改進(jìn)

4.2.1 方位估計(jì)的“π-模糊”問(wèn)題

(34)

4.2.2 模式空間轉(zhuǎn)換偏差的消除

盡管式(6)中的殘余項(xiàng)εk(θ)可以通過(guò)設(shè)置陣列參數(shù)將其影響減弱，但它畢竟還會(huì)對(duì)后續(xù)算法產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[19]對(duì)模式空間轉(zhuǎn)換矩陣F進(jìn)行了修正，用以消除殘余項(xiàng)對(duì)后續(xù)算法的影響，這里將基于該方法，針對(duì)互耦存在的條件下對(duì)F進(jìn)行修正。

若考慮殘余項(xiàng)，則可將式(14)改寫為

(35)

式中：ε(θ)=[ε-K(θ) …ε-1(θ)ε0(θ)ε1(θ) …εK(θ)]T。根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的討論可知，在數(shù)值上，εk(θ)幾乎全部由累加號(hào)中的“q=1”項(xiàng)所決定，于是不妨將式(35)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(36)

式中

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

于是可得修正后的模式空間轉(zhuǎn)換矩陣為

(43)

實(shí)際計(jì)算中，為了取得更高的參數(shù)估計(jì)精度，可利用式(43)進(jìn)行多次抵消，并在每次抵消后再更新信源方位和互耦向量的估計(jì)值。

4.2.3 算法的計(jì)算步驟

下面給出文中提出的基于ESPRIT技術(shù)的均勻圓陣互耦自校正算法的全部計(jì)算步驟。

步驟1：利用式(7)和式(8)計(jì)算模式空間轉(zhuǎn)換矩陣FH；

步驟2：對(duì)R1進(jìn)行模式空間轉(zhuǎn)換得到R2，并對(duì)R2進(jìn)行特征分解，從而得到信號(hào)子空間US；

由于上述算法利用了ESPRIT技術(shù)，從而避免了很多互耦自校正算法中所需要的譜峰搜索以及多模非線性優(yōu)化問(wèn)題，下節(jié)將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述算法的有效性。

5.仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 驗(yàn)證算法有效性的仿真實(shí)驗(yàn)

仿真條件：假設(shè)陣列流型為9元均勻圓陣，半徑波長(zhǎng)比為0.7，并且僅考慮相鄰3個(gè)陣元之間的互耦效應(yīng)，其互耦因子分別為1，0.12-0.18j和-0.05+0.06j，現(xiàn)有2個(gè)等功率高斯信源到達(dá)該陣列，方位分別為42°和80°，信噪比均為10 dB，算法中模式空間轉(zhuǎn)換的最大模式數(shù)為4，采樣點(diǎn)數(shù)為500.

仿真結(jié)論：圖1和圖2分別給出了在200次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，文中算法所估計(jì)出的信源方位和互耦因子的數(shù)值，圖中分別給出了“抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差(這里抵消3次)”和“不抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差”兩種情況下的數(shù)值結(jié)果。從圖1和圖2中可以看出文中算法的有效性，并且如果不抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差，則無(wú)論是對(duì)于信源方位估計(jì)還是互耦因子估計(jì)都存在一個(gè)確定固有偏置，而通過(guò)抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差可以很好的消除這種偏置。圖3和圖4分別給出了在200次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，2個(gè)信源的方位估計(jì)真實(shí)值和虛假值所對(duì)應(yīng)的f(θ)的數(shù)值。從圖3和圖4中不難看出，方位估計(jì)真實(shí)值對(duì)應(yīng)的f(θ)總是遠(yuǎn)小于虛假值對(duì)應(yīng)的f(θ)，從而驗(yàn)證了文中第4.2.1小節(jié)中給出的去“π-模糊”方法的有效性。

圖1 文中算法所給出的信源方位估計(jì)值

圖2 文中算法所給出的互耦因子估計(jì)值

圖3 第一個(gè)信源方位估計(jì)的真實(shí)值和虛假值對(duì)應(yīng)的f(θ)

圖4 第二個(gè)信源方位估計(jì)的真實(shí)值和虛假值對(duì)應(yīng)的f(θ)

5.2 驗(yàn)證算法估計(jì)性能的仿真實(shí)驗(yàn)

仿真說(shuō)明：為了驗(yàn)證文中算法通過(guò)考慮互耦校正能夠?yàn)樾旁捶轿还烙?jì)帶來(lái)好處，這里不妨與不考慮互耦影響的均勻圓陣ESPRIT算法進(jìn)行比較，這里的均勻圓陣ESPRIT算法是指先對(duì)圓陣進(jìn)行模式空間轉(zhuǎn)換，然后直接利用ESPRIT算法進(jìn)行方位估計(jì)，但不考慮互耦效應(yīng)，而且這里的均勻圓陣ESPRIT算法也抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差，并且抵消次數(shù)與文中算法相同，下面要做的比較是將文中的算法分別與上述均勻圓陣ESPRIT算法在“存在互耦”和“沒(méi)有互耦”這兩種情況進(jìn)行比較。仿真條件同第5.1小節(jié)，只是改變信源信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)。

仿真結(jié)論：圖5和圖6分別給出了信源方位估計(jì)均方根誤差和測(cè)向成功概率隨著信噪比的變化曲線，圖7給出了文中算法的互耦因子估計(jì)均方根誤差隨著信噪比的變化曲線。需要指出的是，圖中的符號(hào)“o”和“▽”標(biāo)注的曲線分別是在采樣點(diǎn)數(shù)為400和800條件下所做的實(shí)驗(yàn)，并且算法中抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差的次數(shù)為3次。從圖5和圖6中不難看出，文中算法的性能明顯高于“存在互耦”情況下的均勻圓陣ESPRIT算法，并與“沒(méi)有互耦”情況下的均勻圓陣ESPRIT算法性能較為接近，只是在信噪比較低時(shí)，文中算法的性能略差，但隨著信噪比的增加，兩者的性能趨于一致。最后，這里還通過(guò)一個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差所帶來(lái)的好處。仿真條件不變，圖8給出了文中的算法在“抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差(抵消次數(shù)為3次和4次)”和“不抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差”時(shí)的信源方位估計(jì)均方根誤差曲線，從圖8可以明顯地看出抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差所帶來(lái)的好處，而且隨著信噪比的增大而更加明顯，這是因?yàn)槟Ｊ娇臻g轉(zhuǎn)換偏差是一種確定性誤差，它不會(huì)隨著信噪比的增大而減少。此外，從圖8還可以看出抵消3次和4次的性能已經(jīng)非常接近了，這就意味著算法所需要的抵消次數(shù)不會(huì)很多。

圖5 信源方位估計(jì)均方根誤差曲線

圖6 測(cè)向成功概率曲線

圖7 互耦因子估計(jì)均方根誤差曲線

圖8 抵消模式空間轉(zhuǎn)換偏差和不抵消時(shí)的性能比較

6.結(jié) 論

針對(duì)均勻圓陣互耦自校正問(wèn)題，該文提出了一種基于ESPRIT技術(shù)和模式空間轉(zhuǎn)換技術(shù)的互耦自校正算法，該算法避免了很多互耦自校正算法中的譜峰搜索以及高維、多模非線性優(yōu)化問(wèn)題，能夠直接得到信源方位和互耦向量的閉式解。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了文中算法的有效性，并且其性能明顯高于“存在互耦”情況下的均勻圓陣ESPRIT算法，而與“沒(méi)有互耦”情況下的均勻圓陣ESPRIT算法性能較為接近，只是在信噪比較低時(shí)，文中算法的性能略差，但隨著信噪比的增加，兩者的性能趨于一致。

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