李吉祥，武俊峰，樊麗影

(1. 哈爾濱理工大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱，150080；2. 哈爾濱理工大學 應(yīng)用科學學院，黑龍江 哈爾濱，150080)

在設(shè)計控制系統(tǒng)時，為了保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于一個給定的圓盤區(qū)域內(nèi)[1]。對于離散系統(tǒng)，這個圓盤區(qū)域則指位于圓心在原點的單位圓內(nèi)的圓形區(qū)域。在實際系統(tǒng)中，存在著各種不確定性，這些不確定性可能導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，不考慮不確定性因素的系統(tǒng)控制可能將難以獲得理想的實際效果[2-6]。人們對不確定系統(tǒng)的區(qū)域極點配置問題進行了大量的研究，目的是對所有容許的不確定性，使不確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于指定的區(qū)域[1-3,7-8]。可靠控制是將系統(tǒng)部件可能發(fā)生的故障考慮在控制器設(shè)計過程中，所得到的可靠控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)無論部件是否出現(xiàn)故障都能保持漸近穩(wěn)定性和可接受的性能指標[9-13]。在D穩(wěn)定可靠控制方面，人們也進行了很多研究[2-3,7-8]。孫金生等[2]研究了一類多變量不確定離散線性系統(tǒng)的D穩(wěn)定魯棒容錯控制；Yand等[9]利用連續(xù)的傳感器故障模型研究了輸出反饋的 LQG 控制問題；顧洲等[10]研究了考慮執(zhí)行器故障的容錯控制器的設(shè)計問題，使得系統(tǒng)閉環(huán)H∞均方內(nèi)指數(shù)漸近穩(wěn)定, 且具有H∞范數(shù)界的故障分布依賴的解；王福忠等[7]研究了求解一凸優(yōu)化問題，且解滿足相應(yīng)的約束，使控制器不僅滿足閉環(huán)系統(tǒng)可靠性的要求，而且還滿足D穩(wěn)定、方差和H∞范數(shù)約束的要求，但是，在離散不確定廣義系統(tǒng)中沒有考慮滿足可靠性條件下系統(tǒng)的控制參數(shù)存在不確定性的研究?；谶@個問題，本文作者研究了不確定離散廣義系統(tǒng)的D穩(wěn)定魯棒非脆弱可靠控制問題，解決了系統(tǒng)參數(shù)及控制參數(shù)在某一區(qū)間變化時，該控制器能確保閉環(huán)系統(tǒng)的正則性、因果性和D穩(wěn)定性，所得結(jié)論均以線性矩陣不等式的形式給出，應(yīng)用MATLAB中的LMI工具箱，可以方便地求解出其D穩(wěn)定的控制器。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

本文研究的對象是不確定廣義離散系統(tǒng)：

式中： E ∈ Rn×n，并且rank(E)≤n； x ( k) ∈ Rn，為系統(tǒng)的狀態(tài)向量； u ( k) ∈ Rm，為系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制向量。

式中：A∈Rn×n；B ∈ Rm×n；H，D1和 D2為具有適當維數(shù)的已知實常數(shù)矩陣。

1.2 故障描述

當執(zhí)行器發(fā)生故障情況下，系統(tǒng)執(zhí)行器的輸出可能出現(xiàn)輸出失效(大于、小于正常值或等于零)的情況。

定義執(zhí)行器的故障矩陣[14]為：

其中：0≤mli≤mi≤mui；mli＜1；mui≥1；i=1，2，…，p。顯然：當mi=0時，表示執(zhí)行器第i條通道完全失效；當mi=1時，表示執(zhí)行器第i條通道正常工作；當0≤mli≤mi≤mui且 mi≠1 時，表示執(zhí)行器第 i條通道部分失效。

引入如下矩陣：

本文的研究目的是設(shè)計適當魯棒非脆弱可靠控制器：

使得系統(tǒng)(1)在控制器(4)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：

滿足正則、因果和D穩(wěn)定。其中： KΔ= K + ΔK，K為狀態(tài)反饋增益；ΔK為狀態(tài)反饋的不確定項，

M1和N為具有適當維數(shù)的已知實常數(shù)矩陣，

為了證明方便，引入以下約定和引理。

約定： H e{ A} = A + AT

引理 1[15]設(shè)Y為對稱矩陣，N1和N2為適當維數(shù)的矩陣，Θ 為時變適維矩陣，且 ΘTΘ≤I，標量β＞0，則

的充要條件為

引理2[1]離散廣義系統(tǒng)

正則、因果且穩(wěn)定的充要條件是存在可逆對稱陣 P＞0，使得以下2個不等式成立：

引理3[1]考慮離散廣義系統(tǒng)：

其中： a ∈ C ； b ∈ C ，并且b≠0。

下面2條性質(zhì)是等價的：

(1) 系統(tǒng)(8)和系統(tǒng)(10)有限特征根滿足：

λ10=a + bλ8

(2) 系統(tǒng)(8)是正則、因果的，當且僅當系統(tǒng)(10)是正則、因果的。

2 主要結(jié)果

定理1 對于給定的α和r，且r＞0廣義系統(tǒng)(8)是正則、因果和D穩(wěn)定的，滿足 σ (E , A ) ∈ D(α , γ)，如果存在正定對稱矩陣P ∈ Rn×n、滿秩 R ∈Rn×(n -r)和Q ∈ R (n- r )×n，滿足以下2個線性矩陣不等式：

其中：ETR=0。

證明 考慮系統(tǒng)(8)，選擇系統(tǒng)的 Lyapunov函數(shù)為：

它沿系統(tǒng)(8)的前向差分為

因為ETR=0，故

式(13)加式(14)后，有：

將上式經(jīng)過計算整理后得：

其中：

因為ETR=0，所以，

若Σ＜0，即ΔV(x(k)＜0，則系統(tǒng)(10)是正則、因果且穩(wěn)定的。由引理3可得：系統(tǒng)(8)如果是正則、因果且滿足D穩(wěn)定，即 σ (E, A) ∈ D(α, γ)，當且僅當系統(tǒng)(10)正則、因果且穩(wěn)定的。

證畢。

定理2 當存在控制器u(k)=Kx(k)，使得離散廣義系統(tǒng)(1)是正則、因果的，且滿足 D穩(wěn)定，滿足σ(E, A) ∈ D(α, γ)。若存在正定對稱矩陣P ∈ Rn×n，S ∈ Rn×n，Q，G和實數(shù) ε(ε＞0)，滿足如下線性矩陣不等式：

式中：

當式(16)有解時，不確定廣義離散系統(tǒng)的控制器為：

證明 系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)可以改寫為：

根據(jù)定理1，若系統(tǒng)(17)是正則、因果和 D穩(wěn)定的，并且滿足 σ (E, B ) ∈ D(α, γ)，則下式成立：

經(jīng)過計算后，

令?→0+，得到下式：

因為 det(zE-(A+BK-E))=det(zET-(A+BK-E)T)，所以，(E，(A+BK-E))是正則、因果并且D穩(wěn)定的，當且僅當(ET，(A+BK-E)T)是正則、因果并且D穩(wěn)定的。則式(18)等價于下式：

將系統(tǒng)(1)代入上式，得：

在開發(fā)運城市數(shù)字城市系統(tǒng)中，我們采用了基于3DGIS數(shù)字化城市海量模型數(shù)據(jù)調(diào)度策略，并用OSG(OpenSceneGraph)技術(shù)設(shè)計實現(xiàn)。

其中： Ac= A + B K - E。由引理1得下式成立：

由Schur補性質(zhì)得下式成立：選取G=KS，則式(16)成立。

證畢。

定理3 當存在控制器u(k)=MKx(k)，使得離散廣義系統(tǒng)(1)是正則、因果且滿足D穩(wěn)定的魯棒可靠控制系統(tǒng)，滿足 σ (E, A) ∈ D(α, γ)，如果存在正定對稱矩陣P，S，Q，G和實數(shù)ε＞0，β＞0，滿足如下不等式

證明 由定理2可得下式成立：

經(jīng)計算整理后上式等價于下式：

根據(jù)引理1，可得下式成立：

經(jīng)2次應(yīng)用Schur補性質(zhì)得：

證畢。

定理4 離散廣義系統(tǒng)(5)是正則、因果且滿足D穩(wěn)定魯棒非脆弱可靠控制系統(tǒng)，并滿足σ(E, A) ∈ D(α, γ)，如果存在正定對稱矩陣P，S，Q，G和實數(shù)ε＞0，β＞0，ρ＞0，滿足如下不等式：

則 K=GS-1是 D 穩(wěn)定非脆弱可靠控制器(4)的反饋增益。

證明 根據(jù)定理3可得，

將上式整理后得：

將控制器的不確定性代入上式，并整理公式得下式成立，

根據(jù)引理1，可得下式成立：

由Schur補性質(zhì)可得式(20)成立。

證畢。

3 數(shù)值實例

考慮不確定離散線性廣義系統(tǒng)(1)的魯棒控制，其參數(shù)為：

取 σ (E, A) ∈ D(0.2, 0.4)。故障矩陣M=diag(m1，m2)。其中：0≤m1≤1；0≤m2≤0.8。

由定理3中的方法設(shè)計系統(tǒng)的控制器，有：

相應(yīng)的狀態(tài)不確定可靠控制器為：

系統(tǒng)(1)在可靠控制器作用下系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布如圖1所示；當控制器存參數(shù)存在擾動時設(shè)擾動的值 ΔK=diag(-0.1，0.1)時，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)極點分布如圖2所示。從圖1和圖2可以看出：當控制器參數(shù)存在攝動時，對于系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，閉環(huán)極點不全部位于給定的區(qū)域之內(nèi)。

由定理4的設(shè)計方法設(shè)計非脆弱可靠控制器，有：

對應(yīng)的狀態(tài)不確定可靠控制器增益為：

當非脆弱控制器作用于系統(tǒng)(1)，且控制器存在不確定性 ΔK=diag(-0.1，0.1)時，閉環(huán)極點在控制器參數(shù)攝動時仍然位于給定的區(qū)域之內(nèi)，如圖3所示。

從仿真結(jié)果可以看出：對于同樣的控制器參數(shù)攝動，可靠控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點已經(jīng)超出了給定的區(qū)域，如圖1和圖2所示；而非脆弱可靠控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點仍然位于給定的區(qū)域，如圖3所示。因此，不確定廣義系統(tǒng)的非脆弱可靠控制表現(xiàn)出的魯棒性能優(yōu)于不確定廣義系統(tǒng)的可靠控制表現(xiàn)出的魯棒性能。

圖1 可靠控制下發(fā)生執(zhí)行器故障閉環(huán)極點分布圖Fig.1 Pole placements under reliable control with actuator failures

圖2 當控制器參數(shù)變化時，可靠控制下發(fā)生執(zhí)行器故障的閉環(huán)極點分布圖Fig.2 Pole placements under reliable control with actuator failures and uncertain controller

圖3 非脆弱可靠控制下發(fā)生執(zhí)行器故障閉環(huán)極點分布圖Fig.3 Pole placements under non-fragile reliable control with actuator failures

4 結(jié)論

(1) 針對一類不確定的離散廣義系統(tǒng)，設(shè)計了魯棒非脆弱可靠控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)正則、因果，且D穩(wěn)定。

(2) 給出了不確定離散廣義系統(tǒng)的正則、因果和D穩(wěn)定的條件。當不確定離散線性系統(tǒng)在執(zhí)行器發(fā)生連續(xù)增益故障時，設(shè)計了仍然能滿足系統(tǒng)性能的可靠控制器。研究了不確定離散系統(tǒng)的D穩(wěn)定魯棒非脆弱可靠控制存在的條件。

(3) 利用求解線性矩陣不等式(LMI)的方法，求得系統(tǒng)的控制器，可以保證系統(tǒng)在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，仍能一定限度地保證系統(tǒng)的性能指標。仿真實例驗證了本文所提出的設(shè)計方法的正確性和有效性。

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