花文華，陳興林，宋申民

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱，150001)

傳統(tǒng)的估計(jì)器和制導(dǎo)律獨(dú)立優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在實(shí)際的目標(biāo)攔截情形中其綜合性能不是最優(yōu)的。集成估計(jì)與制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法首先由Shinar等[1]提出，但對于目標(biāo)機(jī)動(dòng)切換時(shí)間的辨識(shí)沒有給出明確的方法。Shaviv等[2]嘗試在一個(gè)具有一般性的非線性非Gaussian框架內(nèi)將估計(jì)器和制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)相結(jié)合，在對傳統(tǒng)的可達(dá)集概念擴(kuò)展的基礎(chǔ)上，在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中考慮估計(jì)量的條件概率密度函數(shù)。然而，該方法計(jì)算量較大且仍然需要驗(yàn)證。唐治理等[3]對于集成估計(jì)/制導(dǎo)/控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，但并沒有給出具體的方案。Shinar等[4]給出了一種基于邏輯的集成估計(jì)與制導(dǎo)算法，采用高效多模型自適應(yīng)估計(jì)器[5]，對一類具有隨機(jī)時(shí)間轉(zhuǎn)換的目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行辨識(shí)，并采用待飛時(shí)間對制導(dǎo)律進(jìn)行修正，以減小估計(jì)誤差；在此基礎(chǔ)上，又從三維的角度，考慮實(shí)際的大氣層內(nèi)彈道導(dǎo)彈攔截情景中導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度和機(jī)動(dòng)能力的時(shí)變性，對該設(shè)計(jì)方案的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證[6]。在此，本文作者基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測對集成估計(jì)與制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了進(jìn)一步研究，給出一種適用于隨機(jī)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的自適應(yīng)集成估計(jì)與制導(dǎo)方法。該方法由目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換的檢測時(shí)間對估計(jì)器和制導(dǎo)律對進(jìn)行在線選擇，從而削弱目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)延遲的影響，改善導(dǎo)彈尋的性能。其步驟是：首先對所要研究的主要問題進(jìn)行描述和建模，給出彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系的數(shù)學(xué)描述以及量測和性能指標(biāo)；然后，對微分對策制導(dǎo)律(Differential game guidance law，DGL)和指數(shù)相關(guān)加速度(Exponentially correlated acceleration，ECA)成型濾波器(Shaping filter，SF)的性能進(jìn)行分析；在此基礎(chǔ)上，給出基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測的自適應(yīng)集成估計(jì)與制導(dǎo)方法，最后進(jìn)行仿真和性能分析。

1 問題描述及建模

1.1 彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系數(shù)學(xué)描述

制導(dǎo)末端的彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。X軸沿初始視線方向，下標(biāo)P和E分別對應(yīng)攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的相關(guān)狀態(tài)，y表示彈目相對于初始視線方向的位移?；谙率黾僭O(shè)對問題進(jìn)行分析：

(1) 攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)可近似為具有線性動(dòng)態(tài)特性的質(zhì)點(diǎn)，并可沿初始視線方向進(jìn)行線性化；

(3) 攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)近似具有一階機(jī)動(dòng)動(dòng)態(tài)；

(4) 攔截導(dǎo)彈可對相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系和自身的相關(guān)狀態(tài)在噪聲下進(jìn)行量測，目標(biāo)無法獲取攔截導(dǎo)彈的相關(guān)信息，但可意識(shí)到攔截企圖，從而隨機(jī)規(guī)避機(jī)動(dòng)。

圖1 平面彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

wE和 wP是相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲；標(biāo)準(zhǔn)方差分別為σE和σP；τP和τE分別為攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)。

基于假設(shè)(1)和(2)，攔截導(dǎo)彈飛行時(shí)間為：

其中：r0為彈目初始距離；vc為接近速度，近似為vP+vE。待飛時(shí)間tgo可表示為：

對系統(tǒng)(1)進(jìn)行離散化，可以得到：

其中：

T為采樣周期。

1.2 量測

結(jié)合圖 1，采用一定的彈上量測設(shè)備對彈目距離r、視線角q和攔截導(dǎo)彈橫向加速度aP進(jìn)行量測。假設(shè)r是可精確量測的，q和aP具有一定的量測噪聲，并假設(shè)噪聲為白噪聲且符合高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)方差分別為σq和σaP，則量測方程可表示為：

1.3 性能指標(biāo)

在真實(shí)環(huán)境中，攔截導(dǎo)彈在應(yīng)對機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截時(shí)，其殺傷性能一般很難予以描述，它除了依賴于精確的彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系外，還取決于許多其他物理參數(shù)。對于基于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)假設(shè)的對象，在無其他終端約束時(shí)，脫靶量是唯一可用于評估攔截導(dǎo)彈殺傷性能的參數(shù)。本文主要采用一個(gè)脫靶量閾值函數(shù)以確定目標(biāo)的攔截概率：

其中：?為閾值，近似為攔截導(dǎo)彈殺傷半徑。由于量測噪聲和目標(biāo)機(jī)動(dòng)的隨機(jī)性，脫靶量是1個(gè)未知分布的隨機(jī)變量。大量的Monte Carlo實(shí)驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)脫靶量累積概率分布函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，從而進(jìn)行不同制導(dǎo)律之間的性能比較，因此，單發(fā)殺傷概率(PSSK)可以作為目標(biāo)有效攔截所需概率的量測標(biāo)準(zhǔn)。PSSK為 Ps(?)的數(shù)學(xué)期望，可表示為：

PSSK考慮了量測噪聲和隨機(jī)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響。攔截導(dǎo)彈要求PSSK最大化，而目標(biāo)則要求PSSK最小化。

2 DGL和ECA SF尋的性能分析

2.1 范數(shù)型DGL性能分析

近年來微分對策理論在目標(biāo)攔截[7-8]、飛行器姿態(tài)控制[9]、威脅規(guī)避[10-11]、火力分配[12-13]等方面的應(yīng)用得到深入研究。在目標(biāo)攔截方面，由于目標(biāo)是獨(dú)立控制的，其機(jī)動(dòng)策略一般是無法預(yù)測的，將機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截定義為最優(yōu)控制問題并不合適[14]；而對于零和微分對策問題，雙方都是獨(dú)立控制的，一方要求性能指標(biāo)最大化，而另一方要求性能指標(biāo)最小化。且與基于最優(yōu)控制理論的制導(dǎo)律相比，微分對策制導(dǎo)律對于目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)誤差具有更強(qiáng)的魯棒性[15]。

范數(shù)型微分對策制導(dǎo)律[16]是指具有有界控制和采用零效脫靶量性能指標(biāo)的零和微分對策攔截情形。基于對策最優(yōu)的必要條件和對目標(biāo)機(jī)動(dòng)動(dòng)態(tài)的不同假設(shè)，在一階或理想特性下，相應(yīng)的微分對策制導(dǎo)律表示為：

其中：z1(t)和 z0(t)為零效脫靶量，對應(yīng)于攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)由給定的時(shí)間t不施加任何控制，以該瞬時(shí)參數(shù)飛行至命中，所產(chǎn)生的脫靶量為：

文獻(xiàn)[17]給出了一種估計(jì)延遲部分補(bǔ)償?shù)奈⒎謱Σ咧茖?dǎo)律。將目標(biāo)加速度由估計(jì)延遲所產(chǎn)生的加速度集的中心值代替，則

其中：

Δtest為目標(biāo)加速度估計(jì)延遲。

DGL/1和DGL/C的執(zhí)行需要相關(guān)信息完全已知(Perfect information)情況下的零效脫靶量z1(t)和zc(t)，包括目標(biāo)的橫向加速度aE。這一變量一般無法直接量測，只能通過估計(jì)器進(jìn)行觀測。而對于具有隨機(jī)時(shí)間切換的目標(biāo)機(jī)動(dòng)，估計(jì)延遲將不可避免[18]。

圖2所示為采用微分對策制導(dǎo)律DGL/0，DGL/1和 DGL/C對具有一次時(shí)間切換的“bang-bang”機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的性能比較。目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間tsw在整個(gè)飛行段內(nèi)均勻分布，應(yīng)用ECA SF表示目標(biāo)的機(jī)動(dòng)策略，仿真參數(shù)如表 1所示。具有隨機(jī)時(shí)間切換的“bang-bang”機(jī)動(dòng)被認(rèn)為是最優(yōu)的目標(biāo)規(guī)避機(jī)動(dòng)[4,6]。從圖 2可以看出：當(dāng)濾波器具有足夠的收斂時(shí)間時(shí)，DGL/1具有最好的目標(biāo)攔截性能，但在tsw=2.3 s附近，脫靶量則較大；DGL/0對于較早的目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換，脫靶量比 DGL/1的大，但由于未考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響，在tsw=2.3 s附近的脫靶量則明顯比DGL/1的低；DGL/C的性能介于DGL/0和DGL/1之間的性能，當(dāng)采用較大的延遲補(bǔ)償時(shí)，DGL/C的性能與DGL/0的接近；當(dāng)目標(biāo)加速度估計(jì)延遲 Δtest→0時(shí)，其性能與DGL/1的接近。

圖2 DGL攔截性能比較Fig.2 Performance comparison against target interception of DGL

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

2.2 ECA SF性能分析

ECA SF即singer 目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，具有2個(gè)可調(diào)參數(shù)：目標(biāo)的機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)τs和噪聲水平參數(shù)Cs。對于給定的量測噪聲，這2個(gè)參數(shù)影響到估計(jì)器的帶寬，進(jìn)而影響估計(jì)器的收斂時(shí)間和目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令發(fā)生切換時(shí)的估計(jì)延遲以及估計(jì)誤差方差。

圖3所示為采用1 000次Monte Carlo試驗(yàn)和制導(dǎo)律DGL/1對具有不同帶寬的ECA SF進(jìn)行“bang-bang”機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的性能比較。其中：Cs=1；τs=0.2，0.5，1.0和1.5。4個(gè)濾波器且取相同的目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間和噪聲隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器種子。從圖3可以看出：當(dāng)估計(jì)器具有較高的帶寬，且 PSSK=0.95時(shí)具有較小的脫靶量，而當(dāng)PSSK＜0.75時(shí)，較低帶寬的估計(jì)器具有較好的性能。這主要是由于較高的帶寬可以減少估計(jì)器的響應(yīng)時(shí)間，從而在估計(jì)器無足夠的收斂時(shí)間時(shí)，如圖2中tsw=2.3 s附近，與低帶寬估計(jì)器相比，仍能夠獲得較好的尋的性能；而低帶寬估計(jì)器由于具有較高的估計(jì)精度，當(dāng)具有足夠的收斂時(shí)間時(shí)，可以提供較好的尋找性能。

圖3 不同帶寬ECA SF進(jìn)行目標(biāo)攔截的性能比較Fig.3 Performance comparison of different bandwidths ECA SF against target interception

3 集成估計(jì)/制導(dǎo)方法

由上述分析可以發(fā)現(xiàn)：采用相應(yīng)的制導(dǎo)律和成型濾波器的攔截導(dǎo)彈尋的性能受到目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)延遲的影響，且不同制導(dǎo)律和不同帶寬的濾波器具有不同的情況?；谶@一點(diǎn)，給出一種自適應(yīng)集成估計(jì)/制導(dǎo)方法。

3.1 廣義似然比檢測簡述

基于廣義似然比(Generalized likelihood rate, GLR)檢測方法，對事先假定的目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令所對應(yīng)的似然比進(jìn)行檢測，從而識(shí)別目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令的相關(guān)特性，包括切換幅值和切換時(shí)間。構(gòu)建假設(shè)集 H={Hi，i=0，1，…，N}用于描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令序列的所有可能的相關(guān)實(shí)現(xiàn)方法，H可隨時(shí)間更新，其中H0表示切換未發(fā)生的假設(shè)情況，Hi(i=1，…，N)表示具有不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)切換時(shí)間和切換幅值 fi的情形。GLR檢測首先將假設(shè)集轉(zhuǎn)換為通過在線估計(jì)獲得的量測分布，并基于這些分布和似然比2次的最大化以決定切換的發(fā)生及其特征：

其中：L(Hi，H0)為似然比；G為決策函數(shù)。切換是否發(fā)生即可通過G與1個(gè)設(shè)定的閾值h進(jìn)行比較得到判斷；h由一自由度中心卡方(Central chi-square)分布確定。

基于離散化系統(tǒng)方程(4)，假設(shè) γ(k)，S(k)和 K(k)分別為相應(yīng)于H0的參考Kalman濾波器的新息，新息協(xié)方差和濾波增益矩陣，則

其中：

3.2 集成估計(jì)/制導(dǎo)方法

該集成估計(jì)/制導(dǎo)方法主要由濾波器組、制導(dǎo)律組和1個(gè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間檢測器構(gòu)成。首先采用GLR檢測方法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換進(jìn)行檢測，且一旦得到檢測，即可由檢測時(shí)間sw?t進(jìn)行濾波器和制導(dǎo)律對的在線選擇，如圖4所示。圖4中：ε為一個(gè)二元指示器，ε=1表示目標(biāo)機(jī)動(dòng)切換已經(jīng)得到檢測，且檢測時(shí)間為sw?t。

通過對 DGL的性能分析可知：目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)延遲對DGL/1的性能影響最明顯，但當(dāng)估計(jì)器具有足夠的收斂時(shí)間時(shí)，其也具有最好的尋的性能；DGL/0由于假設(shè)目標(biāo)具有理想機(jī)動(dòng)動(dòng)態(tài)，估計(jì)延遲對其并無明顯影響；這2種制導(dǎo)律形成了一種互補(bǔ)關(guān)系，因此，選擇二者構(gòu)成制導(dǎo)律組。濾波器組由包含不同帶寬的ECA SF和Kalman濾波器組成，高帶寬濾波器可以保證估計(jì)器的快速響應(yīng)，從而削弱估計(jì)延遲的影響；低帶寬濾波器具有較高的濾波精度，從而保證攔截導(dǎo)彈的尋的性能。

圖4 自適應(yīng)集成估計(jì)/制導(dǎo)方法Fig.4 An adaptive approach of integrated estimation/guidance

以2個(gè)濾波器E0和E1為例，其中，E0和E1分別對應(yīng)包含較高帶寬和較低帶寬的 ECA SF的 Kalman濾波器。整個(gè)自適應(yīng)集成估計(jì)/制導(dǎo)過程可描述為：

其中：tc為集成估計(jì)/制導(dǎo)臨界切換時(shí)間，可通過大量的離線Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)確定的與飛行時(shí)間經(jīng)計(jì)算得到。起始階段目標(biāo)機(jī)動(dòng)切換未檢測，選擇(E1，DGL/1)對，若sw?t＜tc，則估計(jì)器具有足夠的收斂時(shí)間，保持(E1，DGL/1)對不變；當(dāng)sw?t ≥tc時(shí)，要求估計(jì)器具有較快的響應(yīng)，以削弱估計(jì)延遲的影響，選擇(E0，DGL/0)對。該集成估計(jì)/制導(dǎo)方法表示為DGL/I。

4 仿真結(jié)果及分析

主要針對一類迎面末端攔截情形進(jìn)行仿真研究，如圖 1所示。假設(shè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)為具有一次時(shí)間切換的“bang-bang”類型，γP(0)≈0，γE(0)≈0，tc=2.3 s，仿真中選取2個(gè)具有不同帶寬的ECA SF，為E0:{Cs=1，τs=1.5}和E1:{Cs=1，τs=0.2}，其他仿真參數(shù)如表1所示。

圖5所示為采用GLR方法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間進(jìn)行檢測的誤差曲線，h=13 (虛警概率近似為0.000 2)，制導(dǎo)律為DGL/1。從圖5可以看出：檢測器可對tsw∈[0.5，2.9]范圍內(nèi)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換進(jìn)行檢測，但無法完成起始階段和末端的切換檢測。起始階段在估計(jì)器收斂時(shí)間受到約束和缺少足夠檢測目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換的信息下進(jìn)行檢測，而末端則是在缺少足夠的時(shí)間時(shí)對目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換進(jìn)行檢測。雖然出現(xiàn)了無法檢測的機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間段，但并不會(huì)影響所設(shè)計(jì)的集成估計(jì)/制導(dǎo)方法的尋的性能。假設(shè)切換發(fā)生在起始階段，此時(shí)估計(jì)器具有足夠的收斂時(shí)間，應(yīng)選擇(E1，DGL/1)對以改善尋的性能；對于末端，只需要選取 tc≤2.9 s，采用(E0，DGL/0)對可以削弱估計(jì)延遲的影響。這與所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)集成估計(jì)/制導(dǎo)方法一致。

圖6所示為目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間tsw=2.3 s時(shí)，采用DGL/1的脫靶量變化曲線。從圖6可以看出：在目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換得到檢測之前，采用(E1，DGL/1)估計(jì)/制導(dǎo)對，由于延遲的影響，sw?t ＞tc，從而在t=2.3 s時(shí)切換到(E0，DGL/0)對。這一過程也可從圖7所示的攔截導(dǎo)彈加速度變化曲線得到反映。

圖5 目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令切換時(shí)間tsw檢測誤差Fig.5 Detection errors of target maneuver command timed switch tsw

圖6 tsw=2.3 s時(shí)脫靶量變化曲線Fig.6 Miss distance when tsw=2.3 s

圖7 攔截導(dǎo)彈加速度tsw=2.3 sFig.7 Missile accelerations when tsw=2.3 s

圖8 所示為基于1 000次Monte Carlo試驗(yàn)的目標(biāo)攔截性能比較曲線。從圖8可以看出：本文給出的自適應(yīng)集成估計(jì)/制導(dǎo)方法具有最好的目標(biāo)攔截性能；對于給定的 PSSK，例如 PSSK=0.95，采用 DGL/I所要求的彈頭殺傷半徑比DGL/1的小。

圖8 目標(biāo)攔截性能比較Fig.8 Performance comparison against target interception

5 結(jié)論

(1) 給出了一種可適用于隨機(jī)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的自適應(yīng)集成估計(jì)與制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法。該方法由目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)和機(jī)動(dòng)命令檢測特征，采用最有效的估計(jì)器與制導(dǎo)律，削弱了目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)延遲對導(dǎo)彈命中概率的影響。

(2) 基于Monte Carlo試驗(yàn)法進(jìn)行仿真，該設(shè)計(jì)方法與具有單一濾波器和制導(dǎo)律的方法相比，對于一個(gè)給定的脫靶量具有較高的單發(fā)命中概率。這一設(shè)計(jì)思想的關(guān)鍵要素是目標(biāo)機(jī)動(dòng)命令的切換檢測，因此，對快速突變檢測器的研究成為后續(xù)研究的重點(diǎn)。

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