盧光松

（安徽建筑工業(yè)學(xué)院 管理學(xué)院，合肥 230022）

0 引言

群體決策在現(xiàn)代社會無處不在。群體可以利用各群體成員所掌握的與決策問題相關(guān)的信息，與個體相比，更有可能發(fā)現(xiàn)世界的真實狀態(tài)，因而更有可能作出正確的決策。不考慮其它因素，僅從信息集結(jié)的角度看，讓更多擁有信息的個體參與決策可以改善決策質(zhì)量，這種觀點符合人們的直覺，其形式化證明出自18世紀Condorcet給出的陪審團定理。該定理認為：群體決策可以有效集結(jié)信息，在多數(shù)決定規(guī)則下，增加群體成員數(shù)量可以增加作出正確決策的概率，并且隨著成員數(shù)量趨于無窮，作出正確決策的概率趨于1。

Condorcet陪審團定理及其后來的很多拓展往往都有個潛在的假設(shè)：群體決策者所掌握的與決策問題相關(guān)的信息是事前外部給定的，或是以零成本獲得的［1］。但對于許多現(xiàn)實決策情形，信息并不是不需要投入成本和努力就能輕易得到的，如審稿專家需要付出一定的時間和精力才能決定稿件是否符合錄用標準，因此決策者必須決定是否付出以及付出多少代價以獲取信息。而在群體決策中，與決策問題相關(guān)的信息是公共物品，因而存在典型的所謂社會惰化現(xiàn)象或搭便車問題。文［1］對陪審團決策中的信息獲取問題進行了研究，認為陪審員的信息準確程度取決于陪審團的大小，更大的陪審團的陪審員具有更少的動機認真聽取審判過程，所以更大的陪審團作出正確判決的概率可能更小，從而導(dǎo)致陪審團定理不再成立。文［2～8］進一步研究了群體決策中的理性無知（rational ignorance）問題，對仍能有效集結(jié)信息時信息獲取成本或成本函數(shù)需要滿足的條件進行了分析，這些文獻針對多數(shù)決定規(guī)則，假定所有群體成員具有完全相同的決策偏好。其中文［2,4,5,6］證明，當(dāng)全體或部分群體成員的信息獲取成本函數(shù)在獲取零信息處的二階導(dǎo)數(shù)為零，則Condorcet陪審團定理仍然有效。

文［9］證明，采用適當(dāng)保守的決策規(guī)則可以促進群體成員收集證據(jù)，從而改善決策質(zhì)量。文［10,11］對存在信息獲取時的群體決策最優(yōu)規(guī)則與最優(yōu)群體成員數(shù)進行了研究，文［10］指出，在只考慮單調(diào)純策略均衡的條件下，除非群體成員的信息足夠準確，否則一致性規(guī)則或接近于一致性規(guī)則的規(guī)則不可能最優(yōu)；文［11］認為，事前最優(yōu)的決策機制事后可能不是最優(yōu)的。前述文獻都假定決策群體成員具有相同的偏好，而文［12］分析了偏好差異對信息獲取的影響，證明獲取較多信息的成員也可能棄權(quán)，成員獲取的信息量與其棄權(quán)的概率不一定負相關(guān)。文［13,14］的研究結(jié)論為避免信息獲取中的搭便車問題從決策群體人員組成方面提供了理論參考，指出具有極端偏好的成員相對來說更具有收集高成本信息的動機，但這兩篇文獻所研究的不屬于嚴格意義上群體決策，因為其中的委員會成員僅負責(zé)收集與報告信息，自身并沒有決策權(quán)。另外，文［15］通過一個僅有兩個成員的群體決策模型，指出群體成員間的交流可能會惡化信息獲取中的搭便車問題。

現(xiàn)實中的群體決策者一般存在決策偏好差異，而且決策信息的獲取對不同的決策者一般需要不同的成本，這里的“成本”差異來自于兩個方面：一方面不同的決策者獲取相同質(zhì)量的信息需要投入的時間、精力和金錢等可能不一樣，如審稿專家對稿件涉及領(lǐng)域的熟悉程度不同導(dǎo)致審稿需要花費的時間不同；另一方面相同的投入對不同的決策者往往具有不同的負效用。本文假定群體決策者具有不同的先驗知識、偏好與信息獲取成本，針對確定性單調(diào)決策規(guī)則，分析決策者的先驗知識、偏好與信息獲取成本對其信息獲取動機的影響。

1 模型描述

由n個成員所組成的決策群體N={1，2，…，n}面臨一個二分決策問題，需要通過投票表決的方式集體選擇一個決策選項 d∈{a，b}，世界的真實狀態(tài)為 ω∈{A，B}，各成員從最終決策中獲得的效用取決于世界的真實狀態(tài)ω，但ω的取值在投票表決時對于群體成員而言是未知的。

成員i∈N關(guān)于真實狀態(tài)ω取值為A的先驗概率記作Pi（ω=A）=πi，于是狀態(tài)為 B 的先驗概率是 Pi（ω=B）=1-πi，狀態(tài)ω的兩種取值對于所有群體成員都是先驗可能的，即0＜πi＜1，?i∈N。在狀態(tài)ω，如果群體最終決策為d，則成員i獲得的效用為ui（d，ω），各成員間的偏好差異體現(xiàn)為效用函數(shù)值的不同。 這里假設(shè) Δui（A）=ui（a，A）-ui（b，A）≥0 且 Δui（B）=ui（b，B）-ui（a，B）≥0，?i∈N，也即在狀態(tài) A（B），所有成員都傾向于采取決策a（b），因而不存在極端偏好者。各成員的先驗概率與偏好信息都是私密的。

每個成員i∈N在投票表決前可以獲得一個與世界真實狀態(tài)相關(guān)的私有信息 si∈{α，β}，P（α|A）=P（Si=α|ω=A）=P（β|B）=P（Si=β|ω=B）=q，?i∈N，其中 0.5＜q＜1，私有信息的質(zhì)量q反映了私有信息與真實狀態(tài)的相關(guān)程度。此處的假設(shè)有如下局限性：首先，所有群體成員獲取的信息質(zhì)量相同（在其它文獻中往往也理解為群體成員的決策能力相同），都是q，事實上群體成員私有信息的質(zhì)量不可能完全相同，因此在理想情況下，應(yīng)該根據(jù)群體成員信息的相對質(zhì)量對其投票進行加權(quán)處理，但很明顯，對群體成員的投票進行加權(quán)處理在現(xiàn)實中既缺乏技術(shù)上的可操作性，也缺乏社會上的可接受性。其次，在不同的真實狀態(tài)，投入相同的成本，所獲取的信息與真實狀態(tài)的相關(guān)性相同，這與現(xiàn)實情況不相符，例如，證明犯罪嫌疑人有罪和無罪的難度是不一樣的，因此更合理的假設(shè)應(yīng)該是：P（Si=α|ω=A）=q1，P（si=β|ω=B）=q2，但這樣做除了使公式表示更復(fù)雜化外，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程并沒有本質(zhì)改變，對文章結(jié)論的現(xiàn)實意義也沒有實質(zhì)性影響。

信息的獲取需要付出一定的成本，成員i的信息獲取成本為ci≥0，該成本對成員意味著負效用。信息獲取過程中成本的投入對外界來說是不可觀測的，因此外界無法通過有效的懲罰措施強制群體成員獲取信息，成員是否獲取信息完全出于自身效用最大化的考慮。另外，給定世界的真實狀態(tài)，各成員獲得的信息相互之間條件獨立。

確定性單調(diào)決策規(guī)則是現(xiàn)實中最為廣泛采用且最具有可操作性的群體投票表決規(guī)則，因此本文的分析針對確定性單調(diào)決策規(guī)則：在n個成員中至少 m（m為［1，n］內(nèi)的整數(shù)）個成員投票選擇a，則群體最終決策d=a，否則決策d=b。本文假設(shè)群體成員在投票表決前不存在信息的相互交流，且投票表決是同時進行的或是匿名的，因而不需考慮投票過程中的所謂從眾行為。

2 博弈分析

每個成員根據(jù)自己的先驗概率、偏好與信息獲取成本決定是否獲取信息以及如何投票表決，成員i∈N的策略記為σi（πi，ui，ci）=（λ，vα，vβ），其中 λ∈{0，1}為成員 i的信息獲取策略，λ=0表示該成員不獲取信息，λ=1表示獲取信息，vα∈{a，b}為成員 i獲取的信息 si=α 時的投票選擇，vβ∈{a，b}為獲取的信息si=β時的投票選擇。如果成員i不獲取信息，則vα=vβ。因為本文討論的是所有群體成員都獲取信息為Nash均衡，成員的偏好和信息獲取成本等需要滿足的條件，所以僅需考慮純策略。同時，這里認為群體成員所采取的策略僅取決于自身的先驗概率、偏好與信息獲取成本，和成員的具體身份無關(guān)，即只考慮對稱策略：σi=σ，?i∈N。

從成員i的角度看，如果所有其他成員所使用的策略都是σ，將任一成員j∈N/{i}在真實狀態(tài)為ω時投票選擇a的概率記作 Pj（a|ω，σ），簡寫為 Pj（a|ω），則對于閾值為 m 的確定性單調(diào)決策規(guī)則，在狀態(tài)ω，成員i投票選擇a，群體決策結(jié)果為a的概率是：

式中的vi為成員i的投票選擇。

在狀態(tài)ω，成員i投票選擇b，則群體決策結(jié)果為a的概率是：

假設(shè)成員i獲取信息，如果獲得的信息si=α，則其投票選擇α將得到的期望效用是（不考慮信息獲取成本）：

式中Ui（d|ω）為成員i在狀態(tài)ω投票選擇d將獲得的期望效用。

如果成員i獲得的信息si=β，則其投票選擇b將得到的期望效用是：

于是，在所有其他成員都采取策略σ的前提下，如果成員i獲取信息，且獲得的信息si=α則投票選擇a，si=β則投票選擇 b，即采取策略 σi=（1，a，b），成員 i將獲得的期望效用為（計入信息獲取成本ci）：

如果成員i不獲取信息，總是投票選擇a，即采取策略σi=（0，a，a），將獲得的期望效用為：

如果成員i不獲取信息，總是投票選擇b，即采取策略σi=（0，b，b），將獲得的期望效用為：

在所有其他成員都采取策略σ的前提下，根據(jù)式（3）～（8），可得成員 i采取策略（1，a，b）與采取策略（0，a，a）的期望效用之差為：

根據(jù)式（1）與（2）可得：

上式中的piv是指成員i的投票選擇對最終決策結(jié)果具有決定性影響（to be pivotal）的事件，P（piv|ω）是指在狀態(tài)ω，成員i的投票選擇可以改變?nèi)后w決策結(jié)果的概率。

于是，式（10）可以改寫為：

（此處推導(dǎo)是因為模型假設(shè)：給定世界的真實狀態(tài)，各成員獲得的信息相互之間條件獨立。）

上式中的 Pi（ω，piv|β）為成員 i獲得信息 β 后判斷狀態(tài)是 ω 且自身為 piv 的概率，Δui（B）·Pi（B，piv|β）可理解為成員i獲得信息β后，從投票選擇a改為投票選擇b將得到的期望效用，Δui（A）·Pi（A，piv|β）可理解為成員 i獲得信息 β 后，從投票選擇a改為選擇b將損失的期望效用。因此，在所有其他成員采取策略σ的前提下，對于成員i來說，如果其付出代價獲取信息，能夠獲得信息β的概率乘以獲得信息β后投票選擇b的好處，若該乘積值大于信息獲取成本，則成員傾向于采取策略（1，a，b）而不是策略（0，a，a）。

同理可得，在所有其他成員都采取策略σ的前提下，成員 i采取策略（1，a，b）與采取策略（0，b，b）的期望效用之差為：

在所有其他成員采取策略σ的前提下，對于成員i來說，如果其付出代價獲取信息，能夠獲得信息α的概率乘以獲得信息α后投票選擇a的好處，若該乘積值大于信息獲取成本，則成員傾向于采取策略（1，a，b）而不是策略（0，b，b）。

3 信息獲取均衡條件

定理1給定決策群體成員數(shù)n、閾值為m的確定性單調(diào)決策規(guī)則以及決策問題的信息質(zhì)量q，所有群體成員都獲取信息為Nash均衡，成員的先驗概率πi、效用函數(shù)ui與信息獲取成本ci需要滿足的條件是：

證明：首先，任一成員若獲取信息，則其一定采取策略（1，a，b）。這是因為如果該成員總是投票選擇a或總是投票選擇b，則其不需要付出代價獲取信息，另外由模型定義，在狀態(tài) A（B）所有成員都傾向于采取決策 a（b），故策略（1，b，a）不符合理性原則。因此，群體成員可能采取的策略為（1，a，b）、（0，a，a）或（0，b，b）。

某成員 j采取策略（1，a，b），則該成員在狀態(tài) ω 投票選擇a的概率等于在狀態(tài)ω獲得信息α的概率，即：

根據(jù)式（10）與（11）可得，在其他成員都采取策略（1，a，b）的前提下，對于成員 i，策略（1，a，b）不劣于（0，a，a）的必要條件是不等式（14）。 同理，策略（1，a，b）不劣于（0，b，b）的必要條件是不等式（15）。定理得證。

由不等式（14）與（15）可以看出，在其他成員都采取策略（1，a，b），即都獲取信息且按信息投票的前提下，先驗概率的值過于接近0或1都可能使得成員不愿獲取信息，因此，具有極端偏見的成員相對來說缺少收集高成本信息的動機。

需要指出的是，本文描述的群體決策博弈存在多個Nash均衡。如所有成員都不獲取信息且總是投票選擇a對于閾值m＜n的確定性單調(diào)決策規(guī)則是Nash均衡，因為這時任何一個成員改變策略都對決策結(jié)果沒有影響。因此，即使定理1的條件滿足，所有群體成員都獲取信息僅是多個可能的Nash均衡中的一個。但如果將不等式（14）與（15）中的等號去掉，則得到所有群體成員都獲取信息為優(yōu)勢策略均衡的充分必要條件。

4 結(jié)論

對于多數(shù)決策問題，為了作出正確的決策，決策者必須付出一定的代價獲取信息以識別世界的真實狀態(tài)。但在群體決策中，與決策問題相關(guān)的信息是公共物品，因此存在典型的社會惰化現(xiàn)象或搭便車問題。隨著群體成員的增多，單個成員能夠影響最終決策的可能性減小，因而具有更少的動機參與信息的收集，進而可能引起群體決策質(zhì)量的下降。本文假定群體決策者具有不同的先驗知識、偏好與信息獲取成本，首先針對確定性單調(diào)決策規(guī)則分析了決策者的信息獲取與投票表決策略，然后給出了所有決策者都獲取信息為激勵相容時，決策者的先驗知識、偏好與信息獲取成本需要滿足的條件。

雖然本文的問題描述具有較為普遍的應(yīng)用背景，但本文與此領(lǐng)域的類似文獻一樣沒能給出具體的實例分析。這主要是因為利用博弈論研究群體決策問題的文獻一般以完全理性假設(shè)作為判斷與決策的微觀基礎(chǔ)，例如假定所有群體成員嚴格按照貝葉斯規(guī)則更新自己的信念等，從而限制了研究成果在現(xiàn)實中的直接可驗證性。盡管博弈論研究文獻的完全理性假設(shè)對于心理學(xué)家和普通人來說都是難以接受的，但博弈論文獻還是以其數(shù)學(xué)分析的簡潔與嚴謹顛覆了很多直覺上的認識。利用博弈論作為理論工具分析決策群體成員的動機和理性行為，有助于我們理解決策機制的哪些方面可能會引起不利于決策目標實現(xiàn)的策略性行為，進而有助于決策機制的改進。本文針對實踐中最常用的確定性單調(diào)決策規(guī)則，分析了群體決策者的先驗知識（可理解為偏見）、偏好與信息獲取成本對其信息獲取動機的影響，相關(guān)結(jié)論對于群體決策規(guī)則設(shè)計、決策成員人選等具有一定的參考價值。

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