宋占杰，葉培新

(1. 天津大學(xué)理學(xué)院，天津 300072；2. 南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300071)

眾所周知，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 Bernstein[1]于 1911年構(gòu)造了著名的Bernstein多項(xiàng)式，即

從式(1)可以看出，采樣值所對(duì)應(yīng)的核函數(shù)正好對(duì)應(yīng)概率論中的二項(xiàng)分布．對(duì)于離散型隨機(jī)變量，概率論中有3個(gè)重要分布：二項(xiàng)分布(binomial distribution)、泊松分布(Poisson distribution)和負(fù)二項(xiàng)分布(negative binomial distribution). 這 3個(gè)概率分布分別于 1713、1837和 1654年給出，后來(lái)諸分布又都被數(shù)學(xué)家用來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的多項(xiàng)式用于逼近確定性信號(hào)(函數(shù)).

首先，瑞士數(shù)學(xué)家 Bernoulli在 1713年出版了《猜算術(shù)》一書，介紹了著名的伯努利實(shí)驗(yàn).以獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，考慮每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為 q =1- p，則進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)，成功 k ( k = 0 ,1,???,n)次的概率為

后來(lái)發(fā)現(xiàn)這正好對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式展開式，故稱為二項(xiàng)分布．法國(guó)數(shù)學(xué)家 Poisson于 1837年出版了他的概率著作[3]，首次給出了泊松分布，作為二項(xiàng)分布的近似，nPn→λ，事件發(fā)生k( k= 0 ,1,???)次的概率為

負(fù)二項(xiàng)分布發(fā)現(xiàn)實(shí)際上早一些.概率論創(chuàng)始人之一，法國(guó)數(shù)學(xué)家 Pascal于1654年前后研究楊輝三角(亦稱帕斯卡三角)，研究等到第 n ( n = k , k + 1,???)次實(shí)驗(yàn)才成功k次的概率時(shí)發(fā)現(xiàn)了負(fù)二項(xiàng)分布，也正是這一工作引導(dǎo)牛頓發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)和負(fù)指數(shù)的函數(shù)二項(xiàng)展開式.但后來(lái)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家 Polya進(jìn)行過深入研究，因此負(fù)二項(xiàng)分布除了稱為 Pascal分布外，也稱為Polya分布.其分布率為

繼Bernstein利用二項(xiàng)分布構(gòu)造Bernstein多項(xiàng)式之后，Mirakian于 1941年利用泊松分布構(gòu)造 Szasz-Mirakian 算子[4]為

但是，Mirakian的思想長(zhǎng)期未引起注意．1950年，匈牙利數(shù)學(xué)家 Szasz再次提出這一算子[5]，才引起世人的廣泛關(guān)注.

利用負(fù)二項(xiàng)分布構(gòu)造算子出現(xiàn)更晚，1957年Baskakov才構(gòu)造出Baskakov算子[6]，即

目前，世界各地研究這類算子的相關(guān)學(xué)術(shù)論文超過 2,000篇，許多結(jié)果發(fā)表在《Constructive Approximation》和《Journal of Approximation Theory》等國(guó)際著名的學(xué)術(shù)雜志．我國(guó)徐利治教授、郭竹瑞教授、郭順生教授和陳文忠教授等人都做出過很好的研究工作．特別是郭順生教授在 20世紀(jì) 80年代末將中心極限定理引入概率型算子逼近，得到了很好的逼近階[7-10]，推動(dòng)了這一方向的發(fā)展．盡管 20世紀(jì) 80年代末小波分析出現(xiàn)之后，這類經(jīng)典概率型算子的研究有所降溫，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者轉(zhuǎn)入研究以小波分析為逼近工具的非線性逼近，但線性算子的逼近仍具有基礎(chǔ)性的作用．目前這類算子的各種變形算子的研究結(jié)果依然常見于國(guó)內(nèi)外一些有名的學(xué)術(shù)雜志[10-19].一個(gè)挑戰(zhàn)性的問題是如何將經(jīng)典的算子逼近理論與相關(guān)的新興學(xué)科交叉滲透從而為其發(fā)展提供新的增長(zhǎng)點(diǎn).筆者將試圖給出解決這類問題的一個(gè)途徑.

為了深入了解課程建設(shè)對(duì)于教學(xué)各方面的影響，我們選取了部分師生做了問卷調(diào)查，參與問卷的學(xué)生學(xué)習(xí)的課程中有的課程進(jìn)行了課程資源建設(shè)，參與問卷的老師有課程建設(shè)的經(jīng)歷。問卷調(diào)查分析如下

1 Feller概率型算子與新型Feller概率型算子

在前人利用概率分布構(gòu)造一些著名算子的基礎(chǔ)上，國(guó)際著名概率專家 Feller[20]在 1966年提出了一大類概率型算子，包含了上述各類算子.

定義 1假設(shè) Xn(n ≥ 1) 是一列隨機(jī)變量列，其分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差分別為 Fn,t(x)、E Xn=t和σn2( t)，其中 t為實(shí)連續(xù)參數(shù).對(duì)定義在實(shí)數(shù)范圍R上的連續(xù)函數(shù)f，稱

為一類特殊的 Feller算子.如果在式(8)中，Yi( i = 1 ,2,???)取概率論中3類常用分布，可得上述3類著名算子．

(1) 若 Y1服從參數(shù)為 t(0 ≤ t≤1)的0-1分布，即P( Y1= 1 )=1 - P ( Y1= 0 ) = t , 則 Zn服從二項(xiàng)分布，可以得到著名的Bernstein算子．

(2) 若 Y1服從參數(shù)為 t( t ≥ 0 )的 Poisson分布，即P( Y = k ) = ,k = 0 ,1,??,則 Z 服從參數(shù)為 nt的Poisson分布，于是可得著名的Szasz-Mirakian算子．

(3) 若 Y1服從參數(shù)為 t(0 ≤ t≤1)的幾何分布，即P( Y1= k ) = t ( 1 - t )k,k = 0 ,1,???,則 Zn服從參數(shù)為t的負(fù)二項(xiàng)分布，可得著名的Baskakov算子.

命題1[21]若在式(7)中，(t) = 0 ,對(duì)任何連續(xù)有界的函數(shù) f , Ln(f, t) → f( t)；而且若σn2( t )→0是一致的，f ( t)是一致連續(xù)的，則 Ln(f, t)也一致收斂于f( t).

由此可得類似控制收斂定理的結(jié)論.

命題 2(Khan[21]，引理 2)若在式(7)中，σn2(t)≤g( t), g( t)是關(guān)于分布函數(shù) G ( t)可積的，命題 1條件成立，則有對(duì)任何連續(xù)有界的函數(shù) f , Ln(f, t)→f( t)；而且若σn2( t) → 0 是一致的，f ( t)是一致連續(xù)的，則 Ln(f, t)也一致收斂于 f ( t).

此外，對(duì)任何連續(xù)有界的函數(shù) f ( x)，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin[22]在1959年也曾給出一個(gè)重要的結(jié)果.

命題 3(Korovkin[22])若正線性算子列 Sn:C [ a,b ] → M [ a , b]([a , b]上有界實(shí)函數(shù)空間)滿足

且對(duì) t ∈[a , b]一致成立，f∈M( R)，則

顯然，Korovkin給出的算子包含了前言介紹的若干經(jīng)典概率型算子.

從Bernstein構(gòu)造著名的Bernstein多項(xiàng)式開始，長(zhǎng)達(dá)近一個(gè)世紀(jì)從事逼近論研究的數(shù)學(xué)家們僅僅是考慮用各類算子來(lái)逼近確定性信號(hào) ()F x，很少有人考慮用算子逼近隨機(jī)過程 ()X t．2000年，Pogany[23]意識(shí)到這項(xiàng)工作是可行的，至今沒有引起廣泛注意.2006年，Kowalski[24]建立了 Bernstein多項(xiàng)式與布朗運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，但 Kowalski當(dāng)時(shí)并未意識(shí)到有一大類算子可以逼近布朗運(yùn)動(dòng)和其他二階矩過程．另外，由于布朗運(yùn)動(dòng)在物理學(xué)、金融分析等諸多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景，同時(shí)在有限時(shí)間內(nèi)布朗運(yùn)動(dòng)是特殊的二階矩過程，因此筆者如下構(gòu)造Feller-Random算子，以逼近二階矩過程 ()X t是有意義的.

定義2假設(shè) Xn(n ≥ 1) 是一列隨機(jī)變量列，其分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差分別為 Fn,t(t*)、E Xn=t和( t)，其中 t為實(shí)連續(xù)參數(shù)．對(duì)定義在實(shí)數(shù)范圍R上的均方連續(xù)二階矩過程 X ( t,ω)，若廣義均方積分

均方收斂，稱 Tn( X( t*,ω);t)為Feller-Random算子．

此外，對(duì)于均方連續(xù)二階矩過程，下述均方可積準(zhǔn)則成立．

命題 4設(shè) f ( t)是[a , b]上的連續(xù)函數(shù)，X ( t,ω)在[a , b]均方連續(xù)，則 f ( t) X( t)在[a , b]均方可積，且

2 主要結(jié)果及其證明

由于對(duì)上述任意0ε＞，δ和*M 都是定值，利用命題4和傅比尼定理，有

3 結(jié) 語(yǔ)

二階矩過程是一類重要的隨機(jī)過程，在物理學(xué)、生物學(xué)、通信與控制、系統(tǒng)工程與管理科學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用．研究二階矩過程模擬、分解、重構(gòu)和逼近有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值．本文的研究結(jié)果表明，均方連續(xù)二階矩過程可以由一大類概率型算子逼近在理論上是可行的，Kowalski[24]得到的第1個(gè)結(jié)論屬于本文特例．在不遠(yuǎn)的將來(lái)，利用經(jīng)典概率型算子的分析技巧去研究隨機(jī)過程的逼近問題，將會(huì)是一個(gè)新的發(fā)展方向．

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