楊雅萍，吳 忠

(北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191)

單框架控制力矩陀螺(SGCMG)由恒速旋轉的飛輪和支撐飛輪的框架組成，輸出力矩大，但力矩分辨率較低，并存在奇異問題［1-2］.飛輪則是一種轉速可變的姿態(tài)控制執(zhí)行機構，輸出力矩分辨率高，但力矩量值較小.為在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中充分發(fā)揮SGCMG、飛輪各自的優(yōu)點，可將SGCMG的恒速飛輪改為變速飛輪，即為變速控制力矩陀螺(VSCMG).在VSCMG中，通過框架轉動可以輸出較大的力矩，通過飛輪轉速改變可以提高輸出力矩的分辨率，并可以借助飛輪力矩回避奇異.正是由于VSCMG兼具控制力矩陀螺和飛輪的優(yōu)點，不但可以實現(xiàn)航天器姿態(tài)的快速機動，而且可以實現(xiàn)航天器姿態(tài)的高精度高穩(wěn)定度控制，必將引起航天控制領域的廣泛關注［3-5］.

為利用VSCMG實現(xiàn)航天器姿態(tài)控制，必須為其設計性能良好的操縱律，把姿態(tài)控制需要的力矩指令分解為每一個VSCMG的框架和飛輪指令.對于VSCMG操縱律，文獻［6］曾針對平行構型的VSCMG群，設計了奇異狀態(tài)下仍然可控的操縱律;文獻［7-8］則根據(jù)航天器的工作狀況，在操縱律的設計中考慮了CMG模式和RW模式的切換;文獻［9-10］則采用加權陣對CMG模式和RW模式進行力矩分配和調節(jié)，并加入梯度型零運動回避奇異;文獻［11-12］則研究了兩種轉子轉速均衡方法，可以避免飛輪轉速過高或過低.

在以上操縱律研究中，大都將框架和飛輪運動所產(chǎn)生的力矩考慮在一起，并通過求解一個3×2N Jacobian陣的偽逆得到框架和飛輪指令，沒有充分考慮框架和飛輪的特點.文獻［13］則不同，將VSCMG的工作分解為CMG模式和RW模式.在陀螺群接近奇異時，啟用RW模式來補償單純CMG模式下奇異魯棒逆操縱律引起的力矩誤差;在陀螺群遠離奇異狀態(tài)時，啟用CMG模式來補償轉子儲能帶來的干擾力矩.實際上，在文獻［13］中，框架及飛輪均處于控制狀態(tài)，RW模式與CMG模式配合工作，應為典型的VSCMG模式.

本文從力矩分配的角度出發(fā)，設計一個模式自主調度的VSCMG操縱律.通過指令力矩方向與VSCMG力矩方向之間的關系，設計一個力矩分配方案，將姿態(tài)控制需要的力矩指令分解為CMG指令(框架轉速指令)和RW指令(飛輪轉速指令).當系統(tǒng)遠離奇異時，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩.當系統(tǒng)接近奇異時，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.當處于姿態(tài)穩(wěn)定模式，需要提供精細的姿態(tài)控制力矩時，可采用單純的RW模式工作.此操縱律把一個3×2N矩陣的求偽逆問題轉化為兩個3×N矩陣的求偽逆問題，物理意義明顯，且易于回避奇異.

1 數(shù)學模型

假設在某剛體航天器上，安裝N個VSCMG.定義gi、si分別為第i個VSCMG的框架角速度方向和轉子轉速方向的單位矢量，ti=gi×si為橫向方向單位矢量，si、ti為框架角 γi的函數(shù)，i=1，…，N.三者的關系可以表示如下:

由于框架角速度遠遠小于飛輪的轉速，在以下推導過程中，忽略框架角速度對系統(tǒng)角動量的影響.如果設Iwsi為第i個VSCMG的轉子相對其轉子軸的轉動慣量，轉子轉速為Ωi，則其角動量大小為hi=IwsiΩi，角動量矢量可以表示為 hisi.因此，N 個VSCMG的總角動量可表示為

H相對于時間的導數(shù)即為航天器本體作用于VSCMG的力矩，這一力矩與VSCMG作用于航天器的力矩大小相等方向相反.即

寫成矩陣形式為

其中:C(γ，Ω)=［Iws1Ω1t1，…，IwsNΩNtN］ =AtIws［Ω］d;E(γ)=［Iws1s1，…，IwsNsN］=AsIws;C、E分別為CMG模式及RW模式下3×N的Jacobian陣;γ=［γ1，…，γN］T為 N 個 VSCMG 的框架角，［Ω］d=diag{Ω }，Ω =［Ω1，…，ΩN］，At=［t1，…，tN］為橫向方向矩陣，As=［s1，…，sN］為轉子轉速方向矩陣.

2 操縱律設計

VSCMG操縱律設計的核心就是根據(jù)期望的力矩指令，產(chǎn)生CMG指令(框架轉速指令)和RW指令(飛輪轉速指令).如設CMG的期望力矩為TC，飛輪的期望力矩為TE，VSCMG總的期望力矩為Td，且TC+TE=Td，則可將式(4)分解為

如果針對式(5)、式(6)分別設計操縱律，同樣可以得到實現(xiàn)期望力矩Td所需要的框架和飛輪轉速指令.這樣，即可將VSCMG操縱律的設計問題轉化為CMG和RW的操縱律設計，只需分別計算C、E兩個3×N矩陣的偽逆，而不用計算3×2N矩陣［C，E］的偽逆.然而，如果將操縱律分開設計，就必須考慮如何調度VSCMG的工作模式，將期望力矩Td分解為TC和TE.對于模式調度算法、CMG操縱律和RW操縱律的設計，將在以下部分逐一介紹.

2.1 模式調度算法

在VSCMG工作模式的調度中，總的原則是:當航天器處于姿態(tài)機動狀態(tài)時，判斷CMG是否遠離奇異.如遠離奇異，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩;一旦CMG接近奇異，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.而當航天器處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)時，可采用單純的RW模式工作，輸出精細控制力矩.

在模式調度的具體實施中，可首先判斷航天器是處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，還是處于姿態(tài)機動狀態(tài).如果處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，直接令VSCMG進入純RW模式工作.如果處于姿態(tài)機動狀態(tài)，還需通過CMG奇異狀況的判斷來確定具體工作模式.對于航天器的控制狀態(tài)，可通過姿態(tài)偏差及姿態(tài)角速度的大小來判斷.如果姿態(tài)偏差及姿態(tài)角速度均較大，則認為航天器處于姿態(tài)機動狀態(tài).反之，則認為處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài).具體判斷方法比較簡單，在此不贅述.在純RW 模式下，TC=0，TE=Td.

對于CMG奇異狀況的判斷，通常定義奇異測度

來表征CMG構型距離奇異狀態(tài)的遠近.ε越大，表明框架構型離奇異狀態(tài)越遠;反之，離奇異狀態(tài)越近.式(7)定義的奇異測度雖然可以準確反映矩陣At的奇異狀況，但不能準確反映CMG構型是否奇異.實際上，只有當N個CMG產(chǎn)生的力矩都位于同一平面內(nèi)而期望力矩垂直于這一平面時，才認為CMG發(fā)生了奇異.如果CMG奇異，矩陣At必定奇異;矩陣At奇異，CMG不一定奇異.因此，可從奇異的定義出發(fā)，定義參數(shù)分別表征CMG和RW的力矩產(chǎn)生能力.ε1越大，表示CMG力矩與期望力矩的夾角越小，CMG產(chǎn)生期望力矩的能力越強，離奇異越遠.反之，則代表CMG產(chǎn)生期望力矩的能力越弱，越接近奇異.因此，ε1對CMG奇異的表征更為準確，可用來對CMG接近奇異的情況進行判斷，從而確定工作模式.

為此，可設定一個閾值α＞0.當ε1≥α時，CMG力矩與期望力矩的夾角較小，產(chǎn)生期望力矩的能力較強，可以令VSCMG工作在純CMG模式，TC=Td，TE=0.

當ε1＜α時，CMG接近奇異，產(chǎn)生期望力矩的能力較弱，甚至會失去產(chǎn)生期望力矩的能力.由于CMG產(chǎn)生的力矩與RW產(chǎn)生的力矩相互垂直，因此，當ε1較小時，ε2必定較大.此時，可以讓CMG直接逃離奇異，以RW產(chǎn)生力矩，令系統(tǒng)工作在VSCMG狀態(tài).如設CMG逃離奇異時產(chǎn)生的力矩為TCS，那么 TE=Td－TCS.

為使CMG可靠逃離奇異，可設定一個最優(yōu)的目標框架角γd，使ε1最大.γd的求取可根據(jù)式(8)進行，在此不贅述.為使CMG的當前框架角γt在Δt時間后變?yōu)棣胐，期望的框架角速度為:

當期望力矩Td=0時，式(8)、(9)奇異，可直接令 TC=0，TE=0.

2.2 CMG 操縱律

CMG操縱律可仿照SGCMG的操縱律進行設計.對式(5)求Moore-Penrose逆，可得到力矩產(chǎn)生指令

為避免框架奇異，需加入框架再構型的空轉零運動.在此，選用梯度型零運動為

其中，kg為一正常數(shù).根據(jù)式(11)～(12)，可以得到CMG操縱律為

2.3 RW操縱律

與CMG類似，對式(6)求Moore-Penrose逆，可得RW模式下的力矩產(chǎn)生指令為

另外，為保證每個轉子轉速都接近平均轉速，飛輪的轉子轉速需具有轉速均衡能力.這樣，不但可以使VSCMG具有良好的動量包絡，還可以避免VSCMG系統(tǒng)因某個轉子轉速過高引起飽和或過低導致VSCMG失去大力矩輸出能力.為此，需在飛輪模式的操縱律中加入一個使各轉子轉速向平衡轉速靠近的空轉零運動.仿照文獻［7］，可設計轉速均衡的零運動具體形式為

其中，uh為N維矢量的列向量.確定空轉零運動的要點就在于選擇矢量uh.為此，定義一個指標函數(shù)來表征轉子轉速的平衡能力.具體函數(shù)為

對式(16)兩端求導，可得

根據(jù)式(17)，可以得到式(16)表示的空轉零運動對指標函數(shù)J的影響為

令

則式(18)可變?yōu)?/p>

要保證轉子轉速均衡，J應盡量小，故應使Rh為負.因此，可取uh=－khv，kh為一正常數(shù).將uh代入式(15)中，可得到使轉子轉速均衡的空轉指令為

根據(jù)式(14)和式(19)，可以得到RW操縱律為

3 數(shù)值仿真

為驗證本文操縱律的有效性，在此以金字塔構型的某4-VSCMG系統(tǒng)為例，針對幾種典型輸入進行仿真.仿照文獻［11］，選擇仿真參數(shù)如下:系統(tǒng)初始框架角為 Ω0=［0°0°0°0°］T，轉子初始轉速為 Ω0=［523523523523］T(rad/s)，Iws=diag{0.7，0.7，

為簡化計算，在仿真中對系統(tǒng)的角動量進行了歸一化處理.設Ωn=523rad/s為飛輪的標稱轉速，則每個VSCMG轉子的標稱角動量為IwsiΩn.將每個VSCMG的角動量矢量hisi除以IwsiΩn，即對系統(tǒng)的角動量進行了歸一化處理.

針對以下兩種情況進行仿真:一是不采用模式調度算法，以純CMG模式工作，相當于SGCMG;二是采用模式調度算法，自動進行模式切換.對比兩種情況下的仿真結果，可知在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)由于沒有出現(xiàn)不可回避的奇點，CMG和VSCMG的工作性能基本相同，具體仿真曲線略.

當期望力矩為Td=［100］T，CMG遇到不可回避的內(nèi)部橢圓形奇點［14］γ =［－90°0°90°0°］T，兩種情況下的仿真結果如圖1～2所示.

圖1 Td=［100］T時CMG操縱律仿真曲線

圖1是以純CMG模式工作的仿真結果，不進行模式切換.可以看出，當CMG的框架角γ=［－90°

0° 90° 0°］T時，奇異測度變?yōu)?，框架角速度陷入奇異狀態(tài)無法逃離，出現(xiàn)“死鎖”現(xiàn)象，CMG模式失效.

圖2是采用模式調度算法自動進行模式切換下的仿真結果.可以看到，當CMG接近奇異時，RW開始工作，進入到VSCMG工作模式.同時，對CMG主動施加一逃逸框架角速度，使框架角逐漸逃離奇異狀態(tài).在CMG逃離奇異過程中，由于RW產(chǎn)生的力矩很小，所以會有較大的力矩誤差.逃離奇異狀態(tài)后，系統(tǒng)重新進入CMG模式，直至飽和.

綜上所述，可知采用模式自主調度的VSCMG操縱律，可有效逃離SGCMG不可回避的奇點.

圖2 Td=［100］T時模式調度操縱律仿真曲線

4 結論

本文充分考慮VSCMG的特點，設計了一個工作模式自主調度的操縱律.當系統(tǒng)遠離奇異時，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩.當系統(tǒng)接近奇異時，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.當處于姿態(tài)穩(wěn)定模式，采用單純的RW模式工作，提供精細的姿態(tài)控制力矩.同時，此操縱律把一個3×2N的矩陣求偽逆問題分解為兩個3×N的矩陣求偽逆問題，計算簡單，更易于實現(xiàn).

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