鄭曉陽(yáng)，仲崇雨

(哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

隨著期權(quán)市場(chǎng)的不斷發(fā)展，期權(quán)定價(jià)問(wèn)題成為金融數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一.1973年，美國(guó)金融學(xué)家F.Black等提出了經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型［1］，該模型在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性有利于計(jì)算，但其股票價(jià)格遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng)，且股票收益波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)與實(shí)際市場(chǎng)差別很大.大量的研究表明，股票收益的波動(dòng)率是隨時(shí)間變化的，因此其實(shí)際應(yīng)用性受到了學(xué)者們的廣泛質(zhì)疑.在股票期權(quán)交易中，波動(dòng)率是一個(gè)重要的因素，它是標(biāo)的資產(chǎn)收益率的條件方差，是隨時(shí)間變化的.然而波動(dòng)率又不能被直接觀測(cè)，這給眾多金融學(xué)者的研究帶來(lái)了一定的困難.但是波動(dòng)率的一些特征往往能夠通過(guò)資產(chǎn)收益率序列觀察到.

1973年，D.E.P.Box等提出了自回歸滑動(dòng)平均模型(auto-regressive moving average mode1，ARMA)建模方法，一般可得到較滿意的模型.但某些時(shí)候?qū)嶋H情況很復(fù)雜，很難看出運(yùn)行規(guī)律從而得出序列不平穩(wěn)的信息，這時(shí)可以不提取確定項(xiàng)，而對(duì)原序列進(jìn)行差分(用原序列中的當(dāng)前觀測(cè)減相鄰的后一個(gè)觀測(cè))消除趨勢(shì)和周期，使之平穩(wěn)，然后再擬合模型，此時(shí)的模型稱為自回歸求和移動(dòng)平均模型(auto-regressive integrated moving average model， ARIMA).

1982年，Engle等提出了自回歸條件異方差模型(autoregressive conditional heteroskedastic model，ARCH)［2-5］.1986年，L.Bollerslev在ARCH模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroskedastic model，GARCH)，它能夠反映出金融市場(chǎng)上資產(chǎn)收益率的“尖峰厚尾”現(xiàn)象和其波動(dòng)的集群現(xiàn)象［4］.GARCH模型由于充分考慮到了波動(dòng)率的具體特征，而不僅僅停留于理想的假定狀態(tài)，因而在對(duì)時(shí)間序列波動(dòng)性的解釋和建模上具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，因此具有廣泛的理論和實(shí)用價(jià)值［6-12］.更重要的是，GARCH模型為預(yù)測(cè)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中的波動(dòng)率提供了一種行之有效的方法.

本文就是在傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價(jià)中加入漂移率和波動(dòng)率的鞅表示算法，在經(jīng)典的隨機(jī)過(guò)程ARIMA和GARCH過(guò)程基礎(chǔ)上聯(lián)合建立了一個(gè)反映股價(jià)非線性特點(diǎn)的隨機(jī)過(guò)程ARIMA-ARCH，利用測(cè)度變換確定資產(chǎn)價(jià)格，從而對(duì)奇異期權(quán)定價(jià)提高其精度.

1 金融時(shí)間信息集的確立

考慮股票價(jià)格金融時(shí)間集:

令(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)是一個(gè)過(guò)濾概率空間，其中(Ft)t≥0是一個(gè)單調(diào)不減 σ－代數(shù)信息流，假定F0={0，Ω}，令表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程，簡(jiǎn)記為S(t)或St，它是F適應(yīng)的.S0表示一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券價(jià)格過(guò)程，在t時(shí)刻有dS0=rdt，其中r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

σt為t時(shí)刻的波動(dòng)率:

總收益率的自然對(duì)數(shù)被稱為連續(xù)復(fù)合收益率，或?qū)?shù)收益率:

股票價(jià)格的波動(dòng)率是不可觀測(cè)的，而且呈現(xiàn)出群集現(xiàn)象.因此，波動(dòng)率研究的基本思想是:對(duì)數(shù)收益序列{yt}是前后不相關(guān)的或低階前后相關(guān)的，但不是獨(dú)立的.考慮給定t－1時(shí)刻已知的信息集Ft－1時(shí)，yt的條件均值和條件方差，即

股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益的ARIMA(m，n)－GARCH (p，q)鞅過(guò)程，即ARIMA－GARCH:

式中:d為差分階數(shù);參數(shù)θi，i=1，2，…，m;參數(shù)φi，i=1，2，…，n;m≥0，n≥0;p≥0，q≥0;αi≥0，i=1，2，…，p;βi≥0，i=1，2，…，q.且 εt|Ft－1～i.i.d.

2 在ARIMA-GARCH鞅過(guò)程下股價(jià)的隨機(jī)微分方程

令(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)是一個(gè)過(guò)濾概率空間，定義市場(chǎng)上存在2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1和S2，及一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券S0.

定理1 帶有紅利支付標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從如下的隨機(jī)微分方程(stochastic differential equations，SDE):

式中，t∈［0，T］，i=1，2.

證明 在測(cè)度P下，令

滿足Esscher測(cè)度變換，可知在測(cè)度QEss下:

其中帶有紅利支付標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從的隨機(jī)微分方程的解為

在測(cè)度P下

貼現(xiàn)后得到

在測(cè)度QEss下貼現(xiàn)去紅利可以得到

定理得證.

3 基于ARIMA-GARCH參數(shù)下由布朗基變換模型

由Wi(t)(i=1，2)是一個(gè)在測(cè)度P標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且dW1dW2=ρdt，由W1(t)、W2(t)變?yōu)锽1(t)、B2(t2)得到

這里關(guān)于μj、σj中t∈［－，0］，j=1，2這里B1(t)和B2(t)在(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)上是相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，在這樣的市場(chǎng)環(huán)境沒(méi)有套利機(jī)會(huì)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)概率測(cè)度，使Si/S0為一鞅(i=1，2).由Girsanov定理可得

定理2 基于ARIMA-GARCH隨機(jī)收益鞅過(guò)程下具有紅利的線性冪型支付的交換期權(quán)定價(jià):

在t時(shí)刻的歐式看漲冪型交換期權(quán)ξ=(r，α1，α2，λ1，λ2，δ1，δ2，σ1，σ2)，在到期日T＞t有

其中:

N(·)是一個(gè)正態(tài)分布函數(shù).

證明

得到

使得

在測(cè)度P(α2)下有

其中:

其中W(α2)(t)～N(0，t)，于是有

由于:

當(dāng)且僅當(dāng)

可以把原方程記為

對(duì)于Ri(t，Si，ξ:T)，i=1，2，整理得到

4 結(jié)論

本文通過(guò)在資產(chǎn)定價(jià)中加入漂移率和波動(dòng)率的鞅表示算法，建立了一個(gè)反映股價(jià)非線性特點(diǎn)的隨機(jī)過(guò)程ARIMA-ARCH過(guò)程，利用測(cè)度變換確定資產(chǎn)價(jià)格，從而對(duì)奇異期權(quán)定價(jià)提高了其精度.

1)當(dāng)資產(chǎn)S1(t)，S2(t)交換位置，則是看跌期權(quán).當(dāng)λ1=λ2=α1=α2=1，就變成標(biāo)準(zhǔn)的交換期權(quán).

2)當(dāng)λ1=1，α1∈R+，α2=0，λ2∈R+，就變成冪型看漲期權(quán).

3)當(dāng)λ1=1，α1=1，α2=0，λ2∈R+，執(zhí)行價(jià)為λ2這就是熟悉的Black-Scholes模型.

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