叢 屾,蔣海峰,盛遵冰

(1.黑龍江大學 機電工程學院,哈爾濱 150080;2.南京理工大學 自動化學院,南京 210094)

0 引 言

隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的發(fā)展,切換作為一種控制手段廣泛存在于各種控制系統(tǒng)的數(shù)學模型中,從理論角度來說我們自然關(guān)心切換是如何影響系統(tǒng)動力學行為的。因此,在過去的十幾年間切換系統(tǒng)成為控制理論領(lǐng)域中研究的熱點問題,發(fā)展出來的方法與成果形成了一個獨立研究分支。特別是與切換系統(tǒng)穩(wěn)定問題相關(guān)的一系列研究成果豐富了動力系統(tǒng)理論體系并完善了Lyapunov穩(wěn)定性方法[1]。

另一方面,在系統(tǒng)建模過程中引入噪聲是反映各種振動現(xiàn)象及不確定因素的有效方式,因此我們將考慮具有狀態(tài)時滯的切換隨機系統(tǒng)并基于多Lyapunov泛函方法分析其在均方意義下的穩(wěn)定性。較之于確定系統(tǒng),隨機系統(tǒng)包含更為豐富的研究內(nèi)容,但是建立與之相應的理論體系卻也更為困難,這是因為我們所使用的很多概念與方法潛在地依賴于具體的微積分法則。以切換系統(tǒng)為例,描述切換驅(qū)動的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是準確分析系統(tǒng)動力學的基礎(chǔ)[2-3];然而對于隨機系統(tǒng),除一維情形外,一般無法以閉合的形式刻劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程并以此分析其統(tǒng)計特性[4]。在隨機分析的理論體系中考慮切換現(xiàn)象時通常假定其演化過程滿足一定的統(tǒng)計規(guī)律,即所謂的時齊Markov過程。這一假設(shè)的理論意義在于,我們可以通過相應隨機微分方程的無窮小生成算子間接反映切換驅(qū)動的狀態(tài)演化的統(tǒng)計特性,而這對于分析其漸近性質(zhì)是非常重要的[5-7]。因此,對于分別作為確定信號與隨機信號的切換而言,比較文獻 [7-8]與 [9-10]在建立基本概念與研究方法上都存在本質(zhì)差別。

根據(jù)在樣本空間上建立拓撲的意義不同,隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性含義也有所不同,常用的包括:依概率穩(wěn)定,幾乎必然穩(wěn)定及均方穩(wěn)定。在各種穩(wěn)定性定義下,研究的重點在于如何利用噪聲的統(tǒng)計特性及It?微積分法則的不同側(cè)面以分析狀態(tài)隨時間演化的統(tǒng)計規(guī)律。在依概率意義下,一般通過定義“狀態(tài)離開原點某一領(lǐng)域”這一事件的發(fā)生時刻作為 “停時”,以此解析這一事件發(fā)生的分布律;然而建立確定意義下的 “切換”與隨機意義下的 “停時”之間的因果關(guān)系并刻劃其漸近性質(zhì)是非常復雜的。在均方意義下噪聲對穩(wěn)定性的影響基本上是負面的[9],因此不利于分析噪聲與切換對于穩(wěn)定性的共同影響。在幾乎必然意義下可以比較全面地認識噪聲對穩(wěn)定性的影響[8,10-11],但是多Lyapunov函數(shù)在切換時的不連續(xù)性致使我們無從建立其統(tǒng)計特性,即論證其是否呈上鞅;然而通過強大數(shù)定理可以描述狀態(tài)演化的漸近性質(zhì),進而由此建立幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的條件。

1 問題描述

考慮如下切換線性隨機系統(tǒng):

其中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;ω(t)表示定義于完備概率空間上的一維標準化布朗運動,其參考族滿足所謂的通常條件。

根據(jù)切換信號隨時間的演化規(guī)律,可以將其展開為如下序列形式:

我們的目的是建立條件以通過抑制切換信號變化的劇烈程度來保證系統(tǒng)(1)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。為此,對切換信號依據(jù)其變化劇烈程度進行分類。

定義2 給定Td＞0,切換信號σ(t)稱為是屬于STa的,如果其在任意區(qū)間 [t1,t2]內(nèi)的切換次數(shù)稱為是此類切換信號的平均駐留時間,是表征其變化劇烈程度的物理量。

用S∞表示在有限時間之后停止切換的切換信號所組成的集合,那么當Td1≥Td2時顯然有STd1?STd2。

2 主要結(jié)論

由此結(jié)合Uxx=(1/V)Vxx-(1/V2)V′xVx即可推知:

及

那么,只要Td≥2ln χ/(β-2α),系統(tǒng)(1)在所有屬于STd的切換信號驅(qū)動下都是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

證明 構(gòu)造子系統(tǒng)對應的Lyapunov函數(shù)如下:

根據(jù)式(4)及式(5)可以分別推知:

及

此外,必然存在γ＞0使得對于任意i=1,…,N有:

這意味著

進而,由式(3)可知:

給定切換信號σ及任意時刻t,假設(shè)tk為t時刻之前的最后一次切換發(fā)生時刻,即在上再無切換發(fā)生,則有:

上述過程通過在切換時刻進行遞歸直至t0=0得到的,由此可以推知:

據(jù)此,根據(jù)強大數(shù)定理[9]推知:

進而,將式(9)與式(10)代入式(13)即有:

由此可見:

根據(jù)Td≥2ln χ/(β-2α)＞0便知:

從而命題得證。

在穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮控制系統(tǒng)的設(shè)計問題。為此,考慮具有控制輸入u∈Rm的如下切換隨機系統(tǒng):

我們的目的是設(shè)計子系統(tǒng)反饋控制u=Fix;i =1,…,N:使得如下閉環(huán)系統(tǒng)

是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。通過簡單的矩陣不等式技巧即可得證結(jié)論。

或者

及

3 仿真算例

通過一個例子說明方法的有效性。

例1 考慮由兩個二階線性隨機系統(tǒng)構(gòu)成的切換系統(tǒng),子系統(tǒng)方程如下:

及

根據(jù)命題2,通過求解線性矩陣不等式得到子系統(tǒng)反饋控制分別為F1=[-0.766 1.732]及F2=[-0.055 -2.812],同時解得χ=2.07,α =0.34,β=3.0。據(jù)此,由上述子系統(tǒng)構(gòu)成的切換是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的,只要切換信號的平均駐留時間Td≥0.627。Brown運動及相應的狀態(tài)響應分別示于圖1與圖2中。

圖1 一維標準化Brown運動Fig.1 1D normalized Brownina motion

圖2 對應于Td=0.627系統(tǒng)狀態(tài)響應Fig.2 State-trajectory corresponding to Td=0.627

4 結(jié) 語

本文考慮切換線性隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,基于多Lyapunov函數(shù)方法結(jié)合強大數(shù)定理這類隨機過程極限理論建立了這類系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定條件。進而,給出了子系統(tǒng)反饋控制設(shè)計條件,通過仿真算例驗證了方法的有效性。

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