張培國

（菏澤學院 初等教育系，山東 菏澤 274000）

Banach空間中一類非線性彈性梁方程正解的存在性

張培國

（菏澤學院 初等教育系，山東 菏澤 274000）

Banach空間；彈性梁方程；不動點；邊值問題

1 引言和預備知識

在材料力學中，四階兩點邊值問題（BVP）描述了彈性梁在外力作用下的形變，近年來對四階兩點BVP的研究已有很豐富的結(jié)果.[1-6]四階兩點邊值問題

描述的是一端簡單支撐(t=0)、另一端可滑動(t=1)的彈性梁的形變，在經(jīng)典梁分析如文獻[1]中BVP（1）是6種典型梁之一.據(jù)我們所知，研究BVP（1）的文獻較少且僅限于一般空間中討論，本文設P是實Banach空間E中的正規(guī)錐，在Banach空間中考慮BVP（1）正解的存在性.

為了方便，首先列出假設條件：

H） f ∈ C( J × P, P)， tf( t, Pr)= {tf( t, x) |x ∈ Pr}相對緊，且存在 a( t), b( t) ∈ L( I, R+)，w( t) ∈ C[ I, R+]使得對任何x∈P，||tf( t, x) ||≤ a( t) + b( t) w( ||x ||)，a.e.t∈I，其中 Pr={x ∈P:||x ||＜r} .

引理1[7]設E為實的Banach空間，且P是E中的錐，設 Ω, Ω ? E為有界開集，θ ∈Ω且

121是全連續(xù)的，另外，假設下列條件成立

H1）||T u||≤||u||， ? u∈ P ∩?Ω1，且||T u||≥||u||， ?u∈ P ∩?Ω2；或者

H2）||T u||≥||u||， ? u∈ P ∩?Ω1，且 ||Tu||≤||u||， ?u∈ P ∩?Ω2，則T在中至少有一個不動點.

引理2[8]設 H = {u| u: I → E 是強可測函數(shù)}是可數(shù)的，且存在 M ∈ L( I, R+)使得||u( t)||≤ M( t)， a.e. t∈I，u∈H.則 α(H ( t) )∈ L( I ,R+)，且

則 u ∈C[I,E ]是B V P（1）的正解當且僅當 u ∈C[ I, E ]是T的不動點，其中是對應于 u(4)(t) = 0、 u(0) = u′(0 ) = u′(1) = u ′(1) =0的格林函數(shù).

引理3 假設條件H）成立，則T: K→K全連續(xù).

證明 對任意的u∈K，由G( t, s)關(guān)于t的連續(xù)性知 Tu∈C[ I, E]，再由

知T: K→K，而且由 f的連續(xù)性容易證明T是連續(xù)的.下面我們證明T是緊的，令為任意有界列，不妨設||un||C≤r，令 Mr=max ｛w ( t) |0≤t≤ r ｝，由條件H）得

于是有

本文做以下記號：

2 主要結(jié)果

證明 由 f0的定義知存在r1＞0使得 ||tf( t, x) ||≤( f0+ε) ||x ||，0 ＜||x||≤r1，故對于u∈K，| |u||C=r1，于是有

由(φf)∞的 定 義 知 ， 存 在 r2＞r1使 得 φ(tf( t, x) ) ≥ ((φ f )∞- ε)||x ||，x∈P， ||x||≥r2， 令Ω2=｛u∈ K:||u ||C≤r2｝，則對于 u∈?Ω2有

由式（2）、（4）和引理1知T在Ω2 Ω1中至少有一個不動點.

證明 由 (φf)0的定義知存在r3＞0使得 φ(tf( t, x) ) ≥ ((φ f )0- ε)||x ||，x∈P， 0 ＜| |x||≤r3.令Ω3=｛u∈ K:||u ||C≤r3｝，則對于 u∈?Ω3，類似于式（3）有

證明 設 u∈C[ J, E]是BVP（1）的正解，則u∈K，從而有

這是個矛盾的式子，故BVP（1）沒有正解.

證明 設 u∈C[ J, E]是BVP（1）的正解，則u∈K，從而有

這是個矛盾的式子，故BVP（1）沒有正解.

3 例子

[1]GUPTA C P.Existence and uniqueness theorems for the bending of an elastic beam equation[J].Applicable Analysis,1988,26(4):289-304.

[2]MA Ruyun,XU Ling.Existence of positive solutions of a nonlinear fourth-order boundary value problem[J]. Applied Mathematics Letters,2010,23(5):537-543.

[3]YAO Qingliu.Local existence of multiple positive solutions to a singular cantilever beam equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,363(1):138-154.

[4]LI Fuyi,ZHANG Yanbiao,LI Yuhua.Sign-changing solutions on a kind of fourth-order Neumann boundary value problem[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008,344(1):417-428.

[5]LIN Xiaoning,JIANG Daqing,LI Xiaoyue.Existence and uniqueness of solutions for singular fourth-order boundary value problems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,196(1):155-161.

[6]AGARWAL R,O'REGAN D,LAKSHMIKANTHAM V.Singular(p,n-p)focal and(n,p)higher order boundary value problem[J].Nonlinear Analysis,2000,42(2):215-228.

[7]郭大均.非線性泛函分析[M].2版.濟南：山東科學技術(shù)出版社，2001.

[8]郭大均.非線性分析中的半序方法[M].濟南：山東科技出版社，2000.

The Existence of Positive Solutions for a Class of Singular Nonlinear Elastic Beam Equation in Banach Spaces

ZHANG Pei-guo
(Department of Elementary Education,Heze University,Heze 274000,China)

Banach space;elastic beam equation;fixed-point;boundary value problem

O175.8

A

1006-7302（2011）03-0012-04

2011-03-22

菏澤學院科研基金資助項目（XY10SX01）

張培國（1970—），男，山東菏澤人，講師，碩士，主要研究方向為非線性泛函分析及應用.