王雪枝

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原030051）

1 引 言

帶有p－Laplace算子微分方程邊值問題，在非牛頓力學(xué)，天體物理及p－Laplacian的徑向?qū)ΨQ解等實(shí)際問題和理論研究中都有廣泛的應(yīng)用［1］．本文主要研究以下邊值問題

本文假設(shè)以下條件是成立的：

（H2）f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（－∞，0］，［0，＋∞））

（H3）q（t）是 （0，1）上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，在 （0，1）的任意子區(qū)間q（t）不恒等于，且

2 定義與定理

令X＝C1［0，1］是一個(gè)Banach空間 ，C＊［0，1］＝ ｛u∈X，u（t）≥0，u′（t）≤0，u′（t）是不增函數(shù)，對t∈ ［0，1］｝

為了證明主要定理，給出以下在Banach空間上錐的一些定義．

定義2．1［2］令E是R上的Banach空間，非空凸閉集P?E被稱為錐，只要滿足 （a）如果y∈P并且λ≥0則λy∈P；（b）如果y∈P并且－y∈P，則y＝0．

定義2．2［2］映射α是P 上非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)α只要：P→ ［0，＋∞）連續(xù)且α（tx＋（1－t）y）≥tα（x）＋（1－t）α（y），對所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

類似的說，β是P上的非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)β只要：P→［0，＋∞）連續(xù)且β（tx＋（1－t）y）≤tβ（x）＋（1－t）β（y），對所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

設(shè)γ和θ是錐上的非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是錐P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，ψ是P錐上的非負(fù)連續(xù)泛函，a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，定義以下凸集：

和一個(gè)閉集：

引理2．1［3］設(shè)P是Banach空間E中的一個(gè)錐．γ和θ是P上非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是P上非負(fù)連續(xù)凹泛函，ψ是上非負(fù)連續(xù)泛函且滿足ψ（λu）≤λψ（u），其中0≤λ≤1，存在M，d＞0，使得α（u）≤ψ（u），‖u‖ ≤Mγ（u），對所有的為全連續(xù)，且有a，b，c＞0，a＜b，使得

（S1）｛ u ∈ P（γ，θ，α，b，c，d）α（u）＞b｝ ≠ ?，α（Tu）＞b且u ∈P（γ，θ，α，b，c，d）

（S2）α（Tu）＞b，對u∈P（γ，α，b，d）且θ（Tu）＞c

（S3）0?R（γ，ψ，a，d）且ψ（Tu）＜a，對u∈R（γ，ψ，a，d）且ψ（u）＝a則中至少存在三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1，u2與u3，且有γ（ui）≤d，i＝1，2，3，b＜α（u1）；a＜ψ（u2）且α（u2）＜b，ψ（u3）＜a．

通過引理2．2很容易看出u（t）是邊值問題的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)u（t）＝ （Tu）（t）

引理2．3 T∶P→P是全連續(xù)．

證明 證明過程類似于參考文獻(xiàn) ［4］中第四章中全連續(xù)算子證明過程．

引理2．4［5］假設(shè) （H1）成立．則對每一個(gè)x∈C＊［0，1］，τ∈ ［0，ε1］，

． 證明 根據(jù)引理2．2，有

．根據(jù)Φq的性質(zhì)和以上兩個(gè)不等式，很容易得出結(jié)論．

定義函數(shù)

3 主要結(jié)果

定理3．1 假設(shè) （H1）－（H2）成立，存在常數(shù)a∈（0，b），且如下假定成立：

則邊值問題至少有三個(gè)正解x1，x2，x3，滿足

［1］ Zhang ZY，Zhang YF，Zhang FQ．Multicity of positive solutions to multi－point boundary value problem with one－dimesional P－laplavian ［J］．Ann Diff Eqs，2010，26 （4）：484－493

［2］ 郭大均．非線性泛函分析 ［M］．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002：10－52

［3］ Wang YY，Ge WG．Existence of posicive solutions for Multi－point boundary value problems with a one dimensionl P－laplavian ［J］．Comp Math Appl 2007，54：793－807

［4］ 葛渭高．非線性常微分方程邊值問題 ［M］．北京：科學(xué)出版社，2007：12－66

［5］ Li HT，Liu YS．Triple solutions for multi－point boundary value problem with P－laplaceoperator ［J］．Elect J Diff Equat．2009，150：1－9