吳志強(qiáng)，郝 穎，郭 凱

（天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津 300072）

滯后非線性在工程問題中廣泛存在［1］。具有代表性數(shù)學(xué)模型包括［2］：干摩擦理想模型、雙線性模型、Davidenkov模型［3］、Bouc-wen 模型、Bing-ham 模型和用于壓電陶瓷的Preisach模型等。其中雙線性滯后模型描述簡(jiǎn)單、物理意義明確，應(yīng)用較廣泛，常見的有兩類：?jiǎn)苇h(huán)滯后非線性、雙環(huán)滯后非線性。

單環(huán)雙線性滯后模型，多用于鋼絲繩類干摩擦阻尼元件［4］、干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)葉片和金屬橡膠減振器等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析。文獻(xiàn)［5］研究了雙線性滯后非線性鉸支撐的水平擺的參數(shù)振動(dòng)問題。表明滯后阻尼可以有效地減小系統(tǒng)的響應(yīng)。文獻(xiàn)［6］用單環(huán)滯后模型來描述鉛橡膠復(fù)合阻尼器的恢復(fù)力模型，建立了鉛橡膠復(fù)合阻尼器結(jié)構(gòu)的分析模型，并對(duì)阻尼器的減振效果進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［7］根據(jù)鋼管混凝土柱.鋼梁平面框架在恒定軸力與水平低周往復(fù)荷載共同作用下的試驗(yàn)結(jié)果，建立了單環(huán)的單層鋼管混凝土框架的荷載－位移恢復(fù)力模型。文獻(xiàn)［8］對(duì)雙折線單環(huán)彈塑性滯回模型的單自由度體系在地震作用下的響應(yīng)進(jìn)行分析，得到不同參數(shù)組合下的結(jié)構(gòu)影響系數(shù)。文獻(xiàn)［9］研究范德波阻尼和單環(huán)滯后阻尼相互作用導(dǎo)致的單自由度系統(tǒng)周期分岔點(diǎn)，提出了相應(yīng)的約束分岔分析方法，揭示了原有文獻(xiàn)的不足，并且發(fā)現(xiàn)了多種分岔模式。文獻(xiàn)［10］用數(shù)值方法研究了同一系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下出現(xiàn)的分岔和混沌現(xiàn)象。

對(duì)雙環(huán)滯后系統(tǒng)研究還比較少。文獻(xiàn)［11］用雙環(huán)滯后模型描述了形狀記憶合金在加載和卸載過程中的超彈性力學(xué)行為。文獻(xiàn)［12］用雙線性模型描述了結(jié)構(gòu)中抗震部件的非線性動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)［13］研究了含旗幟型滯后非線性的單自由度系統(tǒng)幅頻響應(yīng)，揭示了多解現(xiàn)象、頻率緩變情況下的跳躍行為。與本文不同，所用滯后模型為雙線性彈塑性模型，未考慮塑性變形有界的特點(diǎn)。

本文針對(duì)具有中心對(duì)稱、雙線性雙環(huán)滯后特性的非線性單自由度系統(tǒng)，先用平均法推導(dǎo)幅頻響應(yīng)方程，然后討論外激勵(lì)振幅變化對(duì)幅頻響應(yīng)的影響，以期為此類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考。

1 系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)方程的求解

考慮非線性系統(tǒng)：

其中F（x）為雙環(huán)雙線性滯后力—位移函數(shù)（如圖1所示）。

圖1 雙環(huán)滯后特性Fig.1 Double-loop hysteresis

圖中a，b，c，k為滯后環(huán)參數(shù)。用Xm表示系統(tǒng)的最大位移，當(dāng)Xm≤a+b時(shí)，滯回路徑是Ⅴ→Ⅷ→Ⅴ；當(dāng)a+b≤Xm＜a+b+c時(shí)，滯回路徑是Ⅵ→ Ⅶ→ Ⅳ→ Ⅷ→ Ⅰ→ Ⅱ → Ⅲ→ Ⅴ→Ⅵ；當(dāng)Xm≥a+b+c時(shí)，滯回路徑是Ⅺ→Ⅻ→Ⅳ→Ⅷ→Ⅸ→Ⅸ→Ⅹ→Ⅲ→Ⅴ→Ⅺ。

在主共振情況下，可設(shè)系統(tǒng)一次近似解為：

其中ψ=γt+θ，利用平均法［14］可得一次近似滿足：

其中：

為滯后非線性項(xiàng)的貢獻(xiàn)。限于篇幅，此處忽略冗長(zhǎng)的積分結(jié)果表達(dá)式。

解出γ可得：

在參數(shù)給定的情況下，由此可畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。由于B（y）、B（y）*均是關(guān)于y的分段（三段）連續(xù)函數(shù)，幅頻響應(yīng)曲線也由三部分組成。為討論方便起見，將y＜a+b的部分簡(jiǎn)稱第一段，a+b≤y＜a+b+c的部分簡(jiǎn)稱第二段，y≥a+b+c的部分簡(jiǎn)稱第三段。

2 外激幅值對(duì)幅頻響應(yīng)特性的影響

以下討論中除外激勵(lì)幅值f外的其它參數(shù)都取為定值，Q=0.264，c0=0.001，a=0.002 27，b=0.002 71，c1=0.070 8，k=0.325 2。圖2給出系統(tǒng)在不同外激勵(lì)條件下幾種典型幅頻響應(yīng)。（其中點(diǎn)線代表邊界y=a+b，點(diǎn)劃線代表邊界y=a+b+c）

圖2 典型幅頻響應(yīng)Fig.2 Typical frequency responses

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，f存在3個(gè)臨界值f1=0.000 009 96、f2=0.000 428 3、f3=0.000 409 6。f=f1時(shí)，第一段幅頻響應(yīng)曲線與邊界y=a+b相切；f=f2時(shí)，第二段幅頻響應(yīng)曲線與邊界y=a+b+c相切；f=f3時(shí)，第三段幅頻響應(yīng)曲線中出現(xiàn)孤立解點(diǎn)。

當(dāng)f＜f1時(shí)，不同f對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線都等同與圖2（a），沒有出現(xiàn)跳躍和滯后現(xiàn)象，屬于線性振動(dòng)范圍。

當(dāng)f1＜f＜f2時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線與圖2（b）定性相同，滯后環(huán)開始起作用，使系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性，當(dāng)頻率緩慢增加或降低時(shí)，有跳躍和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)。

當(dāng)f3＜f＜f2時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線與圖2（c）定性相同，第三段中出現(xiàn)了孤立的封閉解環(huán)，在該段內(nèi)屬于硬特性。盡管頻率緩慢增加或降低時(shí)，跳躍和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)的順序和規(guī)律同圖2（b），但由于出現(xiàn)了孤立解環(huán)，外界擾動(dòng)適當(dāng)?shù)那闆r下，會(huì)出現(xiàn)與孤立解環(huán)對(duì)應(yīng)的大幅振動(dòng)解。

當(dāng)f＞f2時(shí)，第二段、第三段曲線連續(xù)。當(dāng)頻率緩慢增加時(shí)，響應(yīng)曲線會(huì)從第一段左側(cè)跳躍到第二段右側(cè)，再逐漸降低。當(dāng)頻率緩慢減小時(shí)，響應(yīng)會(huì)從第二段右側(cè)解支向上跳躍到第三段左側(cè)解支，然后向下大幅跳躍到第一段左側(cè)解支。

3 減振效果分析

由于幅頻響應(yīng)曲線圖2（c）和圖2（d）中均在第三段出現(xiàn)了大振幅解，因此從減振角度看應(yīng)予以避免而圖2（a）中滯后阻尼的作用沒有得到發(fā)揮，也應(yīng)該避免。因此取f1＜f＜f3是較好的選擇。

圖3 位移時(shí)間歷程Fig.3 Time histories of the displacement

圖3和圖4分別給出k=0.325 2，f=0.000 3時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程和相圖。實(shí)線表示數(shù)值解、虛線表示平均法求得穩(wěn)態(tài)解，二者相差不大，說明理論結(jié)果有效。為說明減振效果，圖中還用點(diǎn)劃線給出了對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)（F（x）=kx）的解。顯然，用滯后環(huán)替換等剛度的彈簧后，系統(tǒng)振動(dòng)顯著降低。雙環(huán)滯后附件的減振效果明顯。

圖4 相平曲線圖Fig.4 Phase diagrams

4 結(jié)論

對(duì)中心對(duì)稱雙線性雙滯后環(huán)的單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，有如下結(jié)論：

（1）系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線共分為三段，第一段為線性區(qū)，滯后環(huán)未起作用；第二段和第三段為非線性區(qū)，滯后環(huán)消耗能量。第二段、第三段分別具有軟特性、硬特性特征，頻率緩慢變化時(shí)有跳躍現(xiàn)象。

（2）在本文討論的參數(shù)情況下，外激勵(lì)幅值變化時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出四種定性不同類型的幅頻響應(yīng)。

（3）四種幅頻響應(yīng)中，第二種適合進(jìn)行減振設(shè)計(jì)，減振效果顯著。

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