鄒媛媛 賈廷綱 牛玉剛(.華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 0037;.上海電氣集團(tuán)股份有限公司中央研究院，上海 0003)

0 引言

分段線性(Piecewise Linear，PWL)系統(tǒng)作為一類基本的混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，能夠用來描述許多工程實(shí)際系統(tǒng)中的混雜特性，如飽和、繼電器、死區(qū)等環(huán)節(jié)［1，2］，也可以用來近似非線性系統(tǒng)。因此，對PWL系統(tǒng)控制問題的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。

目前，預(yù)測控制已經(jīng)被成功應(yīng)用于 PWL系統(tǒng)［3-7］，其中，PWL系統(tǒng)預(yù)測控制的穩(wěn)定性綜合問題是大家關(guān)注的焦點(diǎn)［5，6］。針對這個(gè)問題，本文對含有兩個(gè)子系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間PWL系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測控制器設(shè)計(jì)。首先，對每個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)有界控制器，在此基礎(chǔ)上，提出一種預(yù)測控制和有界控制相結(jié)合的混合控制方法，并給出子系統(tǒng)之間的穩(wěn)定切換規(guī)則，從而保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。這種方法的好處是只需要對每個(gè)子系統(tǒng)求解二次規(guī)劃問題，避免了對整個(gè)PWL系統(tǒng)求解含有邏輯變量的二次(或線性)規(guī)劃問題，降低了算法的復(fù)雜度。

1 有界控制

考慮如下的連續(xù)時(shí)間PWL系統(tǒng)

其中，x(t)=［x1(t)…xn(t)］T∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)=［u1(t)…um(t)］T∈U?Rm是控制輸入向量。U是輸入約束，定義為U∶=系數(shù)矩陣分別為 Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×m，i∈

考慮第i個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)其Lyapunov函數(shù)為Vi=xTPix，存在滿足Ricatti方程

其中

我們發(fā)現(xiàn)，如果狀態(tài)軌跡滿足如下條件

那么，根據(jù)Lyapunov理論，有界控制器(3)滿足輸入約束，并且Lyapunov函數(shù)是單調(diào)遞減的。利用集合Φi(umax)，可以構(gòu)造一個(gè)包含在Φi(umax)的最大橢圓集作為穩(wěn)定域

其中，cimax＞0是滿足Ωi(umax)?Φi(umax)的最大值。

對于系統(tǒng)(1)來說，穩(wěn)定域估計(jì)集可以如下構(gòu)造。假設(shè)S∶?為狀態(tài)分區(qū)的邊界

其中，c'jmax是滿足條件的最大值。則系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定域估計(jì)集

使得

其中，c'imax、c'jmax是滿足條件的最大值。則含系統(tǒng)(1)的公共的穩(wěn)定域估計(jì)集為(7)的形式，

定理1 考慮系統(tǒng)(1)，對第i個(gè)子系統(tǒng)，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)Vi，得到該子系統(tǒng)的有界控制器(3)，穩(wěn)定域估計(jì)集Ψ。假設(shè)初始狀態(tài)為 x0∈Ψi，i∈{1，2}。如果在時(shí)刻

那么狀態(tài)切換到第j個(gè)子系統(tǒng)，反復(fù)此控制過程，可得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中是第r次離開第i個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)間為第m次進(jìn)入第j個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)間為第m-1次進(jìn)入第j個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)間。

雖然定理1給出的有界控制策略能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但是，有界控制對系統(tǒng)的最優(yōu)性沒有要求，因此在有界控制的作用下系統(tǒng)的控制性能較差。

2 混合預(yù)測控制

由于預(yù)測控制是在最優(yōu)性能指標(biāo)的情況下，求解滿足系統(tǒng)狀態(tài)和輸入約束的控制律，因此，其具有良好控制性能?；谏鲜龇治?，本文將預(yù)測控制和有界控制相結(jié)合，在系統(tǒng)的穩(wěn)定域估計(jì)集內(nèi)，采用兩種控制律切換模式以達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定性和最優(yōu)性的兼顧。

2.1 子系統(tǒng)預(yù)測控制

針對系統(tǒng)(1)的每個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的預(yù)測控制器?？紤]第i個(gè)子系統(tǒng)，x(t)為系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)，可以通過求解如下優(yōu)化問題得到預(yù)測控制

W=W(t，Ni)是一組由［t，Ni］映射到 U 的分段連續(xù)函數(shù)，Ni是預(yù)測時(shí)域，{ui［k］=ui(kT)}為要求的控制序列，滿足:ui(·)∈W ，ui(t)=ui［k］，t∈［kT，(k+1)T］，T 為采樣周期。xui(ω;x，t)是式(12)的解，Q和R是嚴(yán)格正定對陣矩陣，F(xiàn)是終端加權(quán)。

在時(shí)段［kT，(k+1)T］內(nèi)，通過求解上述優(yōu)化問題，可以得到一組預(yù)測控制序列。通常我們只采用第一個(gè)(·)∈W，即

作用到第i個(gè)子系統(tǒng)。

2.2 混合預(yù)測控制

3 仿真研究

為了驗(yàn)證混合預(yù)測控制的有效性，考慮下面例子

針對(17)描述的兩個(gè)子系統(tǒng)，分別考慮對應(yīng)的Lyapunov函數(shù) xTPix。取，通過求解 Ricatti方程，可知

根據(jù)(7)的描述形式，系統(tǒng)(17)的穩(wěn)定域估計(jì)集，預(yù)測控制目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)選擇為 Q=2×I2，R=0.1，時(shí)域長度 T=0.4。取初始狀態(tài)為x0=［23］T∈Ψ1，采用定理2提出的混合預(yù)測控制策略，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡漸近到達(dá)原點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文針對一類混雜系統(tǒng)，提出了一種保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的預(yù)測控制策略。對每個(gè)線性子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的有界控制器，并在此基礎(chǔ)上，基于子系統(tǒng)之間的狀態(tài)切換條件構(gòu)造出系統(tǒng)的穩(wěn)定域估計(jì)集。在穩(wěn)定域估計(jì)集內(nèi)，給出有界控制和預(yù)測控制相結(jié)合的控制策略，保證了不同子系統(tǒng)之間切換的穩(wěn)定性。

［1］ SONTAG E.Nonlinear regulation:The piecewise linear approach［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1981，26(2):346-358.

［2］ 張聚.混雜系統(tǒng)理論及在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用研究［D］.浙江大學(xué)，2005.

［3］ 鄒媛媛，鄒濤，李少遠(yuǎn).混雜系統(tǒng)的預(yù)測控制.控制與決策，2007，22(4):361-365.

［4］ 丁寶蒼.預(yù)測控制的理論與方法［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

［5］ 曾鋒，高東杰，李秀改.一類有約束的分段線性系統(tǒng)雙模預(yù)測控制.控制與決策，2006，21(5):597-600.

［6］ ?ZKAN L，KOTHARE M V，GEORGAKIS C.Model predictive control of nonlinear systems using piecewise linear models［J］.Computers and Chemical Engineering，2000，24(2-7):793-799.

［7］ LAZAR M，HEEMALS W P M H.Predictive control of hybrid systems:Input-to-state stability results for sub-optimal solutions［J］.Automatica，2009，45(1):180-185.

［8］ El-Farra N H，Mhaskar P，Christofides PD.Uniting bounded control and MPC for stabilization of constrained linear systems［J］.Automatica，2004，40(1):101-110.