315800 浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué) 楊 艷

例析二次函數(shù)的圖象變換

315800 浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué) 楊 艷

圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)常見于直線形中，在曲線形——圓中也偶有所見.然而，也有以二次函數(shù)圖像為背景的圖形變換，它的一些性質(zhì)與直線形的圖形變換有許多相通之處.詳見下表:

有必要指出，二次函數(shù)y=a(x+m)2+k的圖象平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖象的形狀不變，而開口方向要么相同，要么相反，即二次項(xiàng)系數(shù)不變，變化的只是它的位置，即關(guān)鍵是頂點(diǎn)(－m，k)位置的改變.對(duì)于拋物線的幾種變換，可以歸結(jié)為:一看頂點(diǎn)位置，二看開口方向.

下面例舉拋物線的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)問題的求解策略.

1 拋物線的平移

一般地，拋物線的平移有以下規(guī)律:

例1 已知拋物線y=x2+2x－3，如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.

可知，將拋物線y=x2+2x－3向右平移3個(gè)單位，再向上平移7個(gè)單位，與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合

.

例2 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸，y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是

解析 反其道而行之，即將y=2x2的圖象分別向下和向左平移2個(gè)單位即可.選B.

2 拋物線的軸對(duì)稱

我們知道，拋物線y=a(x+m)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－m，k)，拋物線在對(duì)稱過程中僅僅是頂點(diǎn)坐標(biāo)改變，方向相同或相反.由于點(diǎn)(－m，k)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－m，－k)，關(guān)于 y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(m，k).所以可得，拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于x軸對(duì)稱(開口方向相反)的圖象是y=－a(x+m)2－k，關(guān)于y軸的對(duì)稱(開口方向相同)圖象是y=a(x－m)2+k.

例3 作拋物線A關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2(x+1)2－1，則拋物線A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是

解析 將拋物線C:y=2(x+1)2－1向下平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得拋物線B:y=2(x－1)2－2;再將B關(guān)于x軸對(duì)稱，得拋物線A:y=－2(x－1)2+2.故選 D.

更一般地，拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于直線y=e(與x軸平行)對(duì)稱的拋物線為y=－a(x+m)2+(2ek);拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于直線x=f(與y軸平行)對(duì)稱的拋物線為y=a［(x－(2f+m)］2+k.

3 拋物線的旋轉(zhuǎn)

這里僅討論拋物線旋轉(zhuǎn)180°的情形.繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，即關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱.已知點(diǎn)(－m，k)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(m，－k)，所以拋物線y=a(x+m)2+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得的拋物線為y=－a(x－m)2－k.

例4 將拋物線y=x2－2x+3繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的拋物線的函數(shù)解析式為＿＿.

解析 將拋物線y=x2－2x+3化為y=(x－1)2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).頂點(diǎn)(1，2)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°后為(－1，－2)，所以，旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y= －(x+1)2－2.

實(shí)際上，拋物線的旋轉(zhuǎn)中心不僅限于坐標(biāo)原點(diǎn)，而具有更一般的規(guī)律.(－m，k)關(guān)于點(diǎn)(e，f)的中心對(duì)稱點(diǎn)是(2e+m，2f－ k).所以 y=a(x+m)2+k關(guān)于點(diǎn)(e，f)的中心對(duì)稱的拋物線為y=－a［x－(2e+m)］2+(2fk).具體如y=(x－1)2+2關(guān)于點(diǎn)(2，3)中心對(duì)稱所得的拋物線為y=－(x－3)2+4.

圖1

例5 已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+4a－1的圖象是C1.

(1)求 C1關(guān)于點(diǎn) R(1，0)中心對(duì)稱的圖象C2的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)曲線 C1，C2與 y軸的交點(diǎn)分別為 A，B，當(dāng)，求a的值.

解析 由y=a(x+2)2－1，可知拋物線C1的頂點(diǎn)為M(－2，－1).

由M(－2，－1)關(guān)于點(diǎn) R(1，0)中心對(duì)稱的點(diǎn)為N(4，1)，以 N(4，1)為頂點(diǎn)，與拋物線 C1關(guān)于點(diǎn) R(1，0)中心對(duì)稱的圖象C2也是拋物線，且C1與C2的開口方向相反，故拋物線C2的函數(shù)解析式為y=－a(x－4)2+1，即y= －ax2+8ax－16a+1.

綜上可見，拋物線的圖象變換遵循一般直線形的變換規(guī)律，而又有其自身的特點(diǎn).只有深入理解直線形圖形變換的規(guī)律和性質(zhì)，才能在分析拋物線的圖象變換時(shí)做到有效遷移，求解問題時(shí)有的放矢，左右逢源，真正地做到具體情況具體分析，舉一隅而三反.

20110311)