鄒美紅， 程建強， 何幼樺

(上海大學理學院，上海200444)

在金融和經(jīng)濟數(shù)據(jù)的研究中，條件方差函數(shù)(即波動率)是一項重要的研究指標，它與金融衍生證券(如期權(quán))的價格和交易資產(chǎn)的風險度量(如受險價值)密切相關(guān).因此，方差函數(shù)的改變將對整個策略和風險管理帶來很大的影響.我們把方差函數(shù)突然發(fā)生變化的時間點估計問題稱為方差變點問題.近年來，方差變點的研究已經(jīng)成為金融和數(shù)理統(tǒng)計學家研究的熱門課題.

經(jīng)典變點理論研究的主要內(nèi)容是：給定一個隨機變量的序列，在序列中某個未知時刻分布函數(shù)潛在地發(fā)生變化，需要使用已知觀測數(shù)據(jù)來估計分布中變點的位置，并在理論上研究變點檢驗統(tǒng)計量的性質(zhì).近年來，已有很多學者對變點問題給出了較為詳盡的參數(shù)和非參數(shù)估計方法［1-2］.對經(jīng)濟數(shù)據(jù)的分析中可以發(fā)現(xiàn)，在很多情況下數(shù)據(jù)之間具有相依性結(jié)構(gòu)，且分布函數(shù)形式未知.文獻［3-4］討論了數(shù)據(jù)的相依結(jié)構(gòu)對變點估計的影響.文獻［5］給出了相依序列變點的非參數(shù)估計，并得到了估計的最優(yōu)收斂速度.對于方差變點問題，文獻［6-7］分別給出了方差變點的最大似然估計(maximum likelihood estimation，MLE)估計和線性結(jié)構(gòu)下方差變點的估計方法.文獻［8］建立了相依觀測下方差變點的非參數(shù)估計表達式，并詳盡地討論了變點檢驗統(tǒng)計量的漸近分布，但是，其主要思想是把非參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)問題進行研究.

本工作針對一階非參數(shù)自回歸條件異方差模型方差變點問題，在嚴平穩(wěn)的β-混合過程前提的假設(shè)下，采用核局部線性方法［9］對變點k前后的方差函數(shù)進行估計.相對一般的非參數(shù)核密度估計，局部線性估計的好處是其為無偏的，對在內(nèi)部和邊界上的點同樣成立，均會產(chǎn)生較小的偏倚.然后，以估計值的差值作為變點檢驗統(tǒng)計量，通過經(jīng)典變點理論構(gòu)造變點估計表達式，并著重討論檢驗統(tǒng)計量的分布.由于有限樣本下統(tǒng)計量分布的復雜性，本工作主要討論其漸近分布并由此給出變點檢驗的方法.最后，通過隨機模擬展示估計結(jié)果的有效性.

1 相依序列下方差變點的非參數(shù)統(tǒng)計分析

1.1 相依結(jié)構(gòu)下方差變點的非參數(shù)估計

考慮如下一階非參數(shù)自回歸條件異方差模型：

式中，{Xt|t=1，2，…，n}為嚴平穩(wěn)的β-混合過程，m(x)=E(Xt|Xt-1=x)，σ2(x)=Var(Xt|Xt-1=x)＞0分別為回歸函數(shù)和方差函數(shù)，均具有二階連續(xù)導數(shù)且函數(shù)形式未知.然而，某些情況下方差函數(shù)在某個未知時刻k可能發(fā)生變化，模型(1)也相應地轉(zhuǎn)化為

本工作主要考慮模型(2)的方差變點估計及檢驗問題.文獻［8］已建立了相依序列下方差變點的非參數(shù)估計表達式，并對變點檢驗統(tǒng)計量的漸近分布進行了詳盡的討論，但其主要思想是把非參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成參數(shù)問題來研究.本工作主要采用一般的非參數(shù)方法對方差變點進行估計，并進一步討論檢驗統(tǒng)計量的漸近性質(zhì)，進而得到變點檢驗的方法.

首先，給出變點檢驗統(tǒng)計量，即

為方便起見，上述檢驗統(tǒng)計量簡記為Tk，從而由經(jīng)典變點理論構(gòu)造變點估計表達式為

1.2 相依結(jié)構(gòu)下方差變點檢驗統(tǒng)計量的漸近性質(zhì)

對于一般的變點問題，在變點估計之后還需考慮該估計點是否真的為變點，因此，我們需要對變點檢驗統(tǒng)計量Tk的分布進行討論.然而，有限樣本下檢驗統(tǒng)計量的分布較為復雜，所以，在此主要討論統(tǒng)計量的漸近分布.

先給出假設(shè)(A1)～(A5)，在此假設(shè)下，可得到檢驗統(tǒng)計量的漸近性質(zhì).

(A1)對于給定的點x，序列{Xt|t=1，2，…，n}的一維概率密度函數(shù)p(x)＞0，方差函數(shù)(x)＞0，其中i=1，2，當k=3，4時，E(|Xt-1=z)在點x處連續(xù).此外在包含點x的一個開集內(nèi)一致連續(xù).

(A3)核函數(shù)K為對稱密度函數(shù)，在R內(nèi)存在有界支撐和緊子集.此外，對于實值x1，x2，有|K(x1)-K(x2)|≤c|x1-x2|，并且|p(x1)-p(x2)|≤c|x1-x2|，其中c為與x1，x2有關(guān)的常數(shù).

(A4)嚴平穩(wěn)過程{Xt}是絕對正則的，即

在給出定理1的證明之前，我們先給出以下2個引理，其中由引理2可得到變點k前后方差函數(shù)非參數(shù)估計(x)和(x)的漸近分布.記(x)，(x)分別為前k個和后n-k個觀測下回歸函數(shù)m(x)的局部線性估計，其中引理1可由文獻［10］中的引理1直接得到.

引理1 在假設(shè)(A3)～(A5)同時滿足的條件下，令G?{p(x)＞0}為使得假設(shè)(A1)成立的緊子集，則當n→∞時，下式對x∈G一致成立：

式中，

文獻［9］和文獻［11］分別給出了無變點情況下回歸模型方差函數(shù)的非參數(shù)估計，并對估計的漸近正態(tài)性給出了較為詳盡的證明.下面在文獻［11］的基礎(chǔ)上，給出未知變點k前后方差函數(shù)估計(x)和(x)的漸近分布.

引理2 在假設(shè)(A1)～(A5)同時滿足的條件下，當n→∞時，有

此引理的證明可參考文獻［11］中的定理8.5，其中只需把樣本容量n分成前k，后n-k兩部分討論即可.

下面給出定理1的證明.

I'j(1≤j≤8)與Ij定義方式相同，只是在第t個求和中，多了一個因子(Xt-1-x)/h.

由式(3)～(5)可知

由文獻［10］中的定理1可知，當n→∞時，有

所以，本工作主要討論{I6-I2}的漸近分布.

由假設(shè)(A2)和(A3)可知

絕對正則意味著α-混合，且α(j)≤β(j)，故由假設(shè)(A4)和文獻［11］中的定理2.21及上述引理2可知，{I6-I2}漸近正態(tài).

因為，

為方便起見，令k=nθ(0＜θ＜1)，則上式可轉(zhuǎn)化為

對任意的t≥2(j＞t)，有

由假設(shè)(A4)的絕對正則條件和文獻［12］中的引理1，可得

絕對值的上界為

對任意的t，j≥1，令

由于

當n→∞時，上式右端第一項和第三項都為0，而式(8)的值也為0，故

從而有E(I2I6)=0.由引理2可得，I2，I6的漸近方差分別為

故定理1得證.

1.3 方差變點檢驗

在討論了變點檢驗統(tǒng)計量的漸近分布之后，我們給出變點存在的檢驗方法.由定理1可知，在原假設(shè)H0∶(x)=(x)(即模型不存在變點)成立的條件下，有

檢驗統(tǒng)計量Tk滿足下式：

2 數(shù)值模擬

針對模型Xt=σ(Xt-1)?t，{?t|Xt-1，t=1，2，…，n}i.～i.dN(0，1)，方差函數(shù)σ2(x)在觀測區(qū)間內(nèi)有一個變點k0(0.1n＜k0＜0.9n)，其模型為

在如式(11)所示的方差函數(shù)形式下，變點k0前后樣本序列的變化不明顯，用目測方法幾乎察覺不到變點的存在，但是通過本工作給出的方法卻可以估計出變點的位置，并檢驗其是顯著的.

下面采用本工作給出的變點估計表達式及檢驗方法，對不同樣本容量n=100，200，400下不同位置的變點k0=0.3n，0.5n，0.7n，0.8n進行估計，并給出檢驗統(tǒng)計量‖Tk‖/Ck的p值，估計結(jié)果如表1所示，其中括號內(nèi)的數(shù)值為p值.

表1 給定樣本容量下的變點估計及檢驗統(tǒng)計量‖Tk‖/Ck的p值Table 1 Estimation of change point and p-value of test statistic‖Tk‖/Ckwith the given sample sizes

表1只是給定樣本容量n=100，200，400下的一次模擬結(jié)果.通過多次隨機模擬發(fā)現(xiàn)，對于較小樣本容量(n≤200)下的變點估計，本工作提出的方法不是很理想，但對于較大的樣本容量(n≥400)，估計及檢驗結(jié)果較為理想.對不同樣本容量n=200，500，1 000下，變點位置分別為k0=100，300，500的點，隨機模擬10次，最終得到估計值以及檢驗統(tǒng)計量‖Tk‖/Ck的p值，結(jié)果如表2所示.

表2 給定變點下隨機模擬10次的變點估計值以及檢驗統(tǒng)計量‖Tk‖/Ck的p值Table 2 Estimation of change point for ten-time simulations and p-value of test statistic‖Tk‖/Ckwith the given change points

從表2可以看出，當樣本容量n≤200時，估計結(jié)果較不穩(wěn)定，產(chǎn)生誤差較大，這是因為本工作所提出的變點估計是基于非參數(shù)模型，對樣本容量的要求較高.當n≥500時，估計值k^0的精度隨n的增加而提高，特別是在樣本容量n=1 000，變點k0=500的情況下，模擬效果較為理想.

［1］ CARLSTEINE.Nonparametric change-point estimation［J］.The Annals of Statistics，1988，16：188-197.

［2］ 陳希孺.變點統(tǒng)計分析簡介［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，1991，4(1)：52-59.

［3］ ANTOCHJ，HU?KOVM，PRASKOVAZ.Effect of dependence on statistics for determination of change［J］.Journal of the Statistical Planning and Inference，1996，60：291-310.

［4］ HORVáTHL，KOKOSZKAP.The effect of long-range dependence on change-point estimators［J］.J Statist Plann，1997，64：57-81.

［5］ SAMIRB H，JONATHANJ W，ZHANGQ.Nonparametric change-point estimation for dependent sequences［J］.Mathematique Statistics，2005，341：627-630.

［6］ INCLANC，TIAOC G.Use of cumulative sums of squares for retrospective detection of change of variance［J］.Journal of the American Statistical Association，1994，89：913-923.

［7］ 趙文芝，田錚，夏志明.線性過程方差變點的估計［J］.工程數(shù)學學報，2009，26：273-277.

［8］ CHENG M，CHOIY K，ZHOUY.Nonparametric estimation of structural change points in volatility models for time series［J］.Journal of Econometrics，2005，126：79-114.

［9］ H?RDLEW，TSYBAKOVA.Local polynomial estimators of the volatility function in nonparametric autoregression［J］.Journal of Econometrics，1997，81：223-242.

［10］ FANJ Q，YAOQ W.Efficient estimation of conditional variance functions in stochastic regression ［J］.Biometrika，1998，85：645-660.

［11］ 范建清，姚奇?zhèn)?非線性時間序列［M］.北京：高等教育出版社，2005：375-399.

［12］ YOSHIHARAK.Limiting behavior of U-statistics for stationary， absolutely regular process ［J］. Z Wahrscheinlichkeitstheorie Verw Gebiete，1976，35：237-252.

［13］ 沃塞曼.統(tǒng)計學完全教程［M］.張波，譯.北京：科學出版社，2008：241-243.