王維國

(海安高級中學(xué) 江蘇 海安 226600)

電磁感應(yīng)是中學(xué)物理的主干知識，其綜合性強(qiáng)，與運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、能量、電場、電路和磁場等知識的聯(lián)系緊密．電磁感應(yīng)對學(xué)生的能力要求較高，自然就成為高考的必考內(nèi)容，而且往往以壓卷題的形式出現(xiàn)，其中力與能量問題是考查的重點(diǎn)．導(dǎo)軌類的電磁感應(yīng)高考題中的磁場大多是靜止的，但近年來多次出現(xiàn)了磁場本身運(yùn)動(dòng)的問題，如2007年高考上海卷第23題、2007年高考重慶卷理科綜合第23題和2008年高考天津卷理科綜合第25題.其中上海卷試題如下.

【題目】如圖1(a)所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上．導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好．在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右端.當(dāng)磁場以速度u勻速向右移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度，此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi)．

圖1

(1)求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v1；

(2)為使導(dǎo)體棒能隨磁場運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過多少？

(3)導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

(4)若t=0時(shí)，磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng).經(jīng)過較短時(shí)間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖1(b)所示.已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棒的瞬時(shí)速度大小為vt.求導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小．

1 問題的提出

在上題中，磁場向右運(yùn)動(dòng)，使回路中的磁通量減小，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢．與在靜止的磁場里相比，自由電子的受力情況有什么不同？電動(dòng)勢產(chǎn)生的機(jī)理有什么不同？ “克服安培力做的功等于產(chǎn)生的電能”這個(gè)常用的結(jié)論還適用嗎？有許多容易混淆的問題需要辨析清楚．要弄清這些問題，必須從電磁感應(yīng)現(xiàn)象的微觀機(jī)理入手，從帶電粒子的受力入手.下面先辨析有關(guān)洛倫茲力的概念，然后討論與運(yùn)動(dòng)磁場相關(guān)的一些力和能量的問題．

2 兩種認(rèn)為洛倫茲力能做功的錯(cuò)誤認(rèn)識

在中學(xué)物理中，把運(yùn)動(dòng)電荷所受的磁場力稱為洛倫茲力，其矢量式為f=qv×B.一般只考慮電荷的運(yùn)動(dòng)速度與磁場方向垂直的情況，所以f=qvB.洛倫茲力只改變電荷速度v的方向，而不改變其大小，對運(yùn)動(dòng)電荷一定不做功．但一些學(xué)生因概念混淆，對洛倫茲力不做功的結(jié)論不能信服，甚至提出了“反例”.下面分析其中兩種典型錯(cuò)誤．

2.1 誤認(rèn)為安培力做功洛倫茲力就做功

安培力是磁場對通電導(dǎo)線的作用力，而導(dǎo)線中的電流是由大量自由電子的定向移動(dòng)形成的.因此，通常說安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，洛倫茲力是安培力的微觀本質(zhì)．

如圖2所示，自由電子在洛倫茲力的作用下，形成側(cè)向運(yùn)動(dòng)，結(jié)果是使電子積累在導(dǎo)體的左側(cè)形成負(fù)電荷層，而導(dǎo)體的右側(cè)形成正電荷層，于是在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生側(cè)向的霍爾電場．自由電子所受的霍爾電場的電場力與洛倫茲力方向相反.當(dāng)兩種力大小相等時(shí)，自由電子便不再側(cè)向漂移，而沿導(dǎo)線方向定向移動(dòng)．設(shè)導(dǎo)線長L，截面積為S，單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，自由電子定向移動(dòng)的速度為v，則導(dǎo)線所含自由電子數(shù)為N=nSL；自由電子所受的洛倫茲力f=evB，N個(gè)自由電子所受洛倫茲力的合力F=SLnevB.又據(jù)電流的微觀表達(dá)式I=neSv，得F=ILB．因此，當(dāng)導(dǎo)線不動(dòng)時(shí)，自由電子所受的洛倫茲力的總和，即在宏觀上表現(xiàn)為通電導(dǎo)線所受到的安培力．

圖2

當(dāng)通電導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力會對導(dǎo)線做功，這能否說明此時(shí)洛倫茲力也做了功呢？

圖3

圖4 圖5

在導(dǎo)體棒移動(dòng)的情況下，微觀看單個(gè)自由電子所受洛倫茲力的平行棒方向的分力f1=ev1B做正功，f1方向上的速度為v2，其功率P1=f1v2=ev1Bv2.洛倫茲力的垂直于棒方向的分力f2=ev2B做負(fù)功，f2反方向上的速度為v1，其功率P2=-f2v1=-ev2Bv1.洛倫茲力的兩分力做功功率的代數(shù)和為零．另一方面，單個(gè)自由電子所受的洛倫茲力方向仍然與其定向移動(dòng)的合速度方向垂直，洛倫茲力不做功．

在導(dǎo)體棒移動(dòng)的情況下，宏觀看安培力對棒做負(fù)功，安培力的功率為P安=-ILBv1，而非靜電力做功的功率P非=F非v2=Nev1Bv2=nSLev1Bv2.又由I=neSv2，得P非=ILBv1.因此棒中所有自由電子所受洛倫茲力在宏觀上的兩個(gè)分量——安培力與非靜電力做功的和也為零．非靜電力做的功等于回路中產(chǎn)生的電能，而克服安培力做的功等于非靜電力做功，也等于回路中產(chǎn)生的電能，這個(gè)常用的結(jié)論在恒定磁場靜止的情況下是成立的．

2．2 誤認(rèn)為在運(yùn)動(dòng)磁場中洛倫茲力能做功

曾有學(xué)生提出：在靜止的磁場中洛倫茲力不做功，但在運(yùn)動(dòng)磁場中洛倫茲力能做功．他提出一個(gè)模型，認(rèn)為能推翻洛倫茲力一定不做功的結(jié)論．

圖6

如圖6所示，在以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)的磁場中，有一電子由靜止釋放．此時(shí)電子相對磁場向左運(yùn)動(dòng)，受到大小為euB、方向向上的洛倫茲力作用．電子在洛倫茲力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，因此洛倫茲力一定做功．

要弄清這個(gè)問題的本質(zhì)，必須用電動(dòng)力學(xué)的相關(guān)規(guī)律進(jìn)行分析．由電動(dòng)力學(xué)的基本方程式可知，帶點(diǎn)粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的作用力

F=qE+qv×B

這個(gè)公式被稱為洛倫茲力公式.它包括兩部分：一部分是電場力qE(E包括電荷激發(fā)的庫侖電場和變化磁場激發(fā)的渦旋電場)，另一部分是磁場力qv×B(即中學(xué)階段所認(rèn)為的洛倫茲力)．公式中除q是不變量外，F(xiàn)、v、E和B都是相對量，是隨參考系變化的，v是相對于觀察者的速度，E和B也是相對于觀察者而言的．在應(yīng)用這個(gè)公式時(shí)，首先要明確在哪個(gè)參考系中；在不同慣性參考系中，v、E和B是不同的，必須先變換，再代入公式．在該同學(xué)提出的問題中，涉及到兩個(gè)慣性參考系：一是地面參考系，記作S′，另一個(gè)是相對于S′以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)的參考系S，在這個(gè)參考系中看，磁場是靜止的，但不能把它稱為磁場參考系，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)中，場是不能作參考系的，這是場與實(shí)物的重要區(qū)別之一.可以把它看作是與產(chǎn)生磁場的通電螺線管固接的；以下提到的參考系S和S′均依此規(guī)定．該同學(xué)認(rèn)為在上述情況下，電子相對磁場向左運(yùn)動(dòng)，公式中速度是電子相對磁場的速度，因而受到的洛倫茲力大小為euB．但事實(shí)上，理論和實(shí)驗(yàn)都已證明，洛倫茲力公式中的速度是相對于觀察者的，而不是相對于磁場的．洛倫茲力公式中速度的參考系選取錯(cuò)誤是這種錯(cuò)誤認(rèn)識的根源．

在參考系S中只有純磁場(E=0，B≠0)，電子向左運(yùn)動(dòng)的速度為-u，其受到電磁場的作用力為

F=-e(-u)×B

地面參考系S′以速度-u相對參考系S勻速運(yùn)動(dòng)，則在參考系S′中，不僅有磁場，還應(yīng)當(dāng)有電場(E′≠0，B′≠0)，根據(jù)電磁場理論有

E′=γ(-u)×B

其中γ為洛倫茲變換膨脹因子

在地面參考系S′中，電子受到電磁場的作用力為

F′=-eE′+(-e)v×B′

在上述問題中，電子相對地面參考系S′的瞬時(shí)速度為零(v=0)，所以此時(shí)在地面參考系S′中，電子不受洛倫茲力,則

F′=-eE′=-eγ(-u)×B=γF

因?yàn)榇艌鲆苿?dòng)的速度u?c，則γ≈1，可以認(rèn)為F′=F,即在參考系S和參考系S′中，電子受到電磁場的作用力大小和方向是相同的．在參考系S中，電子以大小為u的速度向左運(yùn)動(dòng)，受到的洛倫茲力大小為euB．在地面參考系S′中，因磁場的勻速運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生感生電場，電子相對地面參考系S′的速度為零，雖然不受洛倫茲力，但受到感生電場的電場力qE，這個(gè)力大小約等于參考系S中電子受的洛倫茲力 ．在地面參考系S′中，看似是“洛倫茲力做功”，本質(zhì)上是感生電場對電子的電場力做了功．

3 在運(yùn)動(dòng)磁場中的力與能量問題分析

在2007年高考上海卷第23題中，磁場以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)，在周圍產(chǎn)生感生電場.因此導(dǎo)體中的自由電子的受力情況與導(dǎo)體在靜止的磁場中發(fā)生變化，功能關(guān)系也出現(xiàn)了新特點(diǎn).下面就這兩個(gè)問題作具體分析．

3.1 運(yùn)動(dòng)磁場中的受力問題

當(dāng)磁場以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路中的磁通量減小，產(chǎn)生順時(shí)針方向的感應(yīng)電流，使導(dǎo)體棒在安培力作用下向右加速．設(shè)某時(shí)刻棒的速度為v1，自由電子沿棒以速度v2定向移動(dòng)．

在參考系S中看，棒中的自由電子一邊以大小為u-v1的速度向左運(yùn)動(dòng),一邊沿棒以速度v2定向移動(dòng)．與此相對應(yīng)，自由電子受到洛倫茲力的兩個(gè)分量大小分別為fx=ev2B和fy=e(u-v1)B,如圖7所示．

圖7

在地面參考系S′中看，棒中的自由電子一邊以速度v1向右運(yùn)動(dòng),一邊沿棒以速度v2定向移動(dòng),與此相對應(yīng)，自由電子受到洛倫茲力的兩個(gè)分量大小分別為fx′=ev2B′和fy1′=ev1B′ .另一方面，磁場向右勻速運(yùn)動(dòng)，在周圍會產(chǎn)生感生電場，感應(yīng)電場的電場強(qiáng)度E′=γ(-u)×B，感生電場對自由電子的電場力沿y方向，大小fy2′=eE′=euB′，如圖8所示．由此可以推斷,在地面參考系S′中，自由電子在y方向受到的合力大小fy′=fy2′-fy1′=e(u-v1)B′.因?yàn)閡?c，γ≈1，B′=γB≈B，可認(rèn)為，fx′=fx，fy′=fy，即F′=F，在兩個(gè)參考系中自由電子受到的合力大小幾乎相同．

圖8

3.2 運(yùn)動(dòng)磁場中的感應(yīng)電動(dòng)勢的來源

在地面參考系S′中，磁場勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的非靜電力由洛倫茲力沿棒的分量fy1′=ev1B′和感生電場的電場力fy2′=euB′共同提供；產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢中，既有動(dòng)生電動(dòng)勢，又有感生電動(dòng)勢．由電動(dòng)勢的定義得

其中的B′Lu是感生電動(dòng)勢，B′Lv1是動(dòng)生電動(dòng)勢.因兩者方向相反，總的感應(yīng)電動(dòng)勢大小等于這兩者的差．在參考系S中，導(dǎo)體棒向左切割磁感線產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢，ε=BL(u-v1)，式中(u-v1)為參考系S中棒切割磁感線的速度.因?yàn)锽′=γB≈B，所以ε′≈ε．而在地面參考系S′中，感應(yīng)電動(dòng)勢ε=B′Lu-B′Lv=B′L(u-v1).不少人將此式中的(u-v1)看成是相對磁場切割的速度，如在2007年高考上海卷第23題的參考答案中，感應(yīng)電動(dòng)勢就是這樣計(jì)算的；其形式雖然與動(dòng)生電動(dòng)勢相同，但產(chǎn)生機(jī)理有所不同．

以相對論的觀點(diǎn)分析，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的相對性，所以感生電動(dòng)勢和動(dòng)生電動(dòng)勢也具有相對性．感應(yīng)電動(dòng)勢究竟是感生電動(dòng)勢還是動(dòng)生電動(dòng)勢，是與參考系的選擇有關(guān)，通過坐標(biāo)變換兩者可以相互轉(zhuǎn)化．

3．3 運(yùn)動(dòng)磁場中的功與能的問題分析

非靜電力的功率等于回路中電功率．在這種情況下，安培力是導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力，它阻礙回路中的磁通量的變化，安培力做的正功，與回路中消耗的電功無關(guān)；“克服安培力做的功等于回路中產(chǎn)生的電能”的說法是不成立的．安培力和非靜電力做功功率的和，表示回路中能量增加的快慢，其值為P=ILB′u.從這個(gè)表達(dá)式可以看出，它等于安培力與磁場運(yùn)動(dòng)速度的乘積．

回路中增加的能量究竟由誰提供？根據(jù)牛頓第三定律，導(dǎo)體棒在受到安培力時(shí)，也會對產(chǎn)生磁場的通電線圈有反作用力，要維持磁場以速度u勻速移動(dòng)，就必須對通電線圈施加大小為ILB′的外力，這個(gè)外力的功率正是ILB′u．通過這個(gè)外力對通電線圈做功，把外界的能量通過電磁場轉(zhuǎn)移給回路，這就是回路中增加能量的來源．

4 結(jié)論

綜上所述，與在靜止磁場中相比，運(yùn)動(dòng)磁場中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象的力和能量問題，均呈現(xiàn)了不同的特點(diǎn)．在地面參考系S′中，磁場勻速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了感應(yīng)電場，棒中的自由電子受到的電場力與洛倫茲力沿棒的分量提供非靜電力，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢中，既有感生電動(dòng)勢，又有動(dòng)生電動(dòng)勢．洛倫茲力一定不做功.洛倫茲力垂直導(dǎo)體棒的分量的總和是安培力.克服安培力做的功不等于回路中產(chǎn)生的電能.回路中增加的能量來源于維持磁場勻速移動(dòng)時(shí)外界提供的能量．

1 闞仲元．電動(dòng)力學(xué)教程．北京：高等教育出版社，1979

2 封小超．再論洛倫茲關(guān)系的協(xié)變性及其速度的含義．大學(xué)物理，1987(8)

3 陳雅．關(guān)于洛倫茲力的三點(diǎn)討論．物理教師，2010(2)