李繼承，陳小偉

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

柱形長桿彈侵徹的界面擊潰分析*

李繼承，陳小偉

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

在Alekseevski-Tate模型的基礎(chǔ)上，分析了柱形長桿彈的界面擊潰過程，給出了彈體速度下降及質(zhì)量侵蝕的計(jì)算公式；討論了彈體速度下降及質(zhì)量侵蝕對動能損失的影響；特別針對柱形長桿彈在界面擊潰過程中彈體速度準(zhǔn)定常小量變化的特點(diǎn)，近似給出了彈體速度、彈體質(zhì)量隨時(shí)間變化的簡化解析表達(dá)式，為工程應(yīng)用提供便利。

爆炸力學(xué)；解析表達(dá)式；Alekseevski-Tate模型；柱形長桿彈；界面擊潰；動能損失

在陶瓷靶侵徹試驗(yàn)中常存在界面擊潰現(xiàn)象，即彈體材料在靶板表面向外流動而靶板未發(fā)生明顯侵徹。從G.E.Hauver等［1－4］最先報(bào)道界面擊潰現(xiàn)象以來，該領(lǐng)域的相關(guān)研究得到了廣泛開展。其中較有影響的是P.Lundberg等的相關(guān)工作，他們開展了許多針對長桿彈撞擊不同種類陶瓷靶板的試驗(yàn)研究、理論分析以及數(shù)值模擬等［5－9］。T.J.Holmquist等［10－11］也開展了相關(guān)的數(shù)值模擬研究。

在界面擊潰過程中，彈體由于頭部材料向外流動而發(fā)生質(zhì)量侵蝕，同時(shí)由于靶板阻力作用導(dǎo)致速度下降。因此，彈體損失動能，進(jìn)而影響其后對靶板的侵徹／穿甲。C.E.Anderson等［12］針對尖錐頭小子彈以及柱形長桿彈在界面擊潰過程中的動能損失分析，結(jié)合相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)地給出彈體所損失動能隨時(shí)間變化的關(guān)系，并討論由于質(zhì)量侵蝕及速度下降而導(dǎo)致的動能損失。

本文中，在Alekseevski-Tate模型［13－14］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步具體分析柱形長桿彈在界面擊潰過程中的速度下降和質(zhì)量侵蝕，同時(shí)討論其動能損失。結(jié)合相關(guān)分析給出針對陶瓷靶板侵徹／穿甲的彈體設(shè)計(jì)的一些建議；最后近似給出彈體速度、質(zhì)量等隨時(shí)間變化的簡化解析表達(dá)式。

1 界面擊潰模型

V.P.Alekseevski［13］、A.Tate［14］分析了金屬長桿對金屬靶及陶瓷靶等的高速侵徹，假設(shè)彈體呈剛性，在彈靶界面區(qū)域呈半流體狀，給出了控制侵徹的修正Bernoulli方程

式中：ρp、ρt分別為彈材密度和靶材密度；Yp為彈材流動應(yīng)力；Rt為靶體侵徹阻力；u、v、P和l′分別為侵徹速度、彈體速度、侵徹深度和彈體剩余長度，四者均為時(shí)間t的函數(shù)。t＝0時(shí)，v＝v0，l′＝L，其中v0和L分別為初始撞擊速度和彈體初始長度。

在界面擊潰過程中，式（1）～（4）中的u取為零值，且式（1）、（4）不再適用。相應(yīng)地，式（3）變?yōu)槭?/p>

中：m為彈體質(zhì)量，S為彈頭橫截面積。

由于式（6）為一般意義上的牛頓第二定律表達(dá)式，因此式（5）、（6）即可決定任意頭形彈體在界面擊潰過程中的力學(xué)行為。

同時(shí)式（2）可表示為嚴(yán)格的牛頓第二定律表達(dá)式

2 界面擊潰過程中彈體的速度下降以及質(zhì)量侵蝕

以下將從式（5）、（6）出發(fā)，具體討論柱形長桿彈在界面擊潰過程中的速度下降以及質(zhì)量侵蝕。柱形長桿彈的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中R為彈身半徑；l為彈體侵蝕長度。

結(jié)合圖1，以侵蝕長度l作為主要分析變量，由l′＋l＝L，可將式（5）相應(yīng)改寫為

另外，根據(jù)式（7）可將式（6）中dv／dt表示為

圖1 柱形長桿彈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1Geometry of a long rod

以下討論彈體的速度下降以及質(zhì)量侵蝕情況。統(tǒng)一將彈體初始質(zhì)量表示為M，式（6）可表達(dá)為

推導(dǎo)式（9）可得

因此可求得彈體侵蝕長度l與彈體速度v的關(guān)系

將式（11）再代入式（9），并結(jié)合式（8）可得

A的實(shí)質(zhì)是Johnson破壞數(shù)。對式（12）等號兩邊同時(shí)積分，即可得到彈體速度v與時(shí)間t的關(guān)系

定義一個常系數(shù)K（量綱［T］）和一個量綱一常量A分別為

式（14）中的積分項(xiàng)無法得到解析的表達(dá)式，因此不能得到彈體速度v隨時(shí)間t變化的解析關(guān)系。但通過具體的t取值，利用數(shù)值計(jì)算（如MATLAB程序）可求得對應(yīng)的v值，相應(yīng)地，通過時(shí)間序列即可求得彈體速度v的變化。結(jié)合v隨時(shí)間t變化的序列和式（11）又可求得彈體侵蝕長度l的變化情況，進(jìn)而根據(jù)m＝M－ρpπR2l即可求得彈體剩余質(zhì)量的變化。

圖2 長桿彈相對速度隨量綱一時(shí)間的變化Fig.2 Relative velocity of the long rod varied with scaled time

圖3 長桿彈相對侵蝕長度隨量綱一時(shí)間的變化Fig.3 Relative eroded length of the long rod varied with scaled time

C.E.Anderson等［12］針對L.Westerling等［6］使用彈身直徑D＝2mm的鎢合金柱形長桿彈以v0＝1 480m／s撞擊陶瓷靶板的試驗(yàn)，根據(jù)動能損失分析，得到了彈體在僅發(fā)生界面擊潰條件下彈體速度v和剩余長度l′隨時(shí)間t的變化情況，進(jìn)而給出了彈體總動能損失和由于質(zhì)量侵蝕引起的動能損失的變化。以下結(jié)合C.E.Anderson等［12］的分析結(jié)果來驗(yàn)證式（9）～（14）的正確性。

L.Westerling等［6］試驗(yàn)中鎢合金柱形長桿彈的相關(guān)參數(shù)為：ρp＝17.6g／cm3，Yp＝2.0GPa，R＝0.1cm，L＝15cm，M＝8.29g，v0＝1 480m／s。結(jié)合式（11）、式（14）可分別求得侵蝕長度l和彈體速度v，彈體剩余長度l′＝L－l；進(jìn)一步可以得到彈體由于質(zhì)量侵蝕所損失的動能（Ek）E＝ （M－m／2，由于質(zhì)量侵蝕和速度下降所損失的總動能（Ek）E＆D＝／2－mv2／2，以及兩者相對于初始動能（Ek）0＝／2的比值。計(jì)算結(jié)果同 C.E.Anderson等［12］分析結(jié)果的對比如圖2～4所示。為了方便對比分析，將圖中相關(guān)參量均表示為C.E.Anderson等［12］分析中的相應(yīng)標(biāo)識，即將時(shí)間t轉(zhuǎn)換為量綱—時(shí)間v0t／L，彈體速度v轉(zhuǎn)換為相對速度v／v0，侵蝕長度l轉(zhuǎn)換為相對侵蝕長度l／D。圖中屬于本文分析的參量則使用相應(yīng)表達(dá)式序號或標(biāo)注“Theory”。

從圖2～4可看出，理論結(jié)果與C.E.Anderson等［12］的分析結(jié)果一致，相應(yīng)曲線幾乎重合，僅對于（Ek）E在撞擊后期有輕微差別。這可能來源于計(jì)算方法的不同，C.E.Anderson等［12］的分析主要基于彈體損失動能相對于初始動能比值的變化關(guān)系。因此，相對于柱形長桿彈的界面擊潰，式（9）～（14）的正確性得到了驗(yàn)證。

圖4 長桿彈動能比值隨量綱一時(shí)間的變化Fig.4 Relative kinetic energy of the long rod varied with scaled time

3 界面擊潰過程中彈體的動能損失

結(jié)合上文給出的相應(yīng)彈體速度v、侵蝕長度l和彈體剩余質(zhì)量m的表達(dá)式，可具體分析柱形長桿彈的動能損失情況。結(jié)合L.Westerling等［6］給出的彈體結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)［5-9］可知彈體發(fā)生界面擊潰所對應(yīng)的撞擊速度大多處于v0≤1 200m／s的范圍內(nèi)。為了對比分析，v0分別取800、1 000和1 200m／s。

結(jié)合L.Westerling等［6］給出的彈體結(jié)構(gòu)參數(shù)及式（14）求得彈體相對速度v／v0隨時(shí)間的變化如圖5所示；根據(jù)式（11）求得彈體的相對侵蝕長度l／L和相對質(zhì)量m／M隨時(shí)間的變化分別如圖6和圖7所示；結(jié)合圖4和圖6又可求得彈體相對剩余動能Ek／（Ek）0隨時(shí)間的變化如圖8所示。另外，如前所述，彈體的動能損失一方面由于質(zhì)量侵蝕，另一方面由于彈體的速度下降，圖8中實(shí)線與點(diǎn)劃線之間的范圍即為總動能損失占彈體初始動能的比例（Ek）E＆D／（Ek）0；虛線與點(diǎn)劃線之間的范圍為由質(zhì)量侵蝕引起的動能損失占彈體初始動能的比例（Ek）E／（Ek；而實(shí)線與虛線之間的范圍即由速度下降引起的動能損失的相應(yīng)比例（Ek）D／（Ek）0。

由圖5可看出，在界面擊潰初期，彈體速度v的下降均較緩慢，且隨撞擊速度v0增大而逐漸變緩，但下降速率的差異較小。此外，直到彈體接近完全侵蝕時(shí)，v的下降幅值均較??；而在彈體侵蝕后期，彈體速度急劇下降，在短時(shí)間內(nèi)由較大的v值下降為零，且v0越大，v值的下降越迅速；v0＝1 200m／s時(shí)，彈體速度在后期幾乎是瞬間陡降為零。

圖5 不同撞擊速度下彈體相對速度變化曲線Fig.5 Relative velocity varied with time for the long rod at different impact velocities

圖6 不同撞擊速度下彈體相對侵蝕長度變化曲線Fig.6 Relative eroded length varied with time for the long rod at different impact velocities

圖7 不同撞擊速度下彈體相對質(zhì)量變化曲線Fig.7 Relative mass varied with time for the long rod at different impact velocities

圖8 不同撞擊速度下彈體相對動能變化曲線Fig.8 Relative kinetic energy varied with time for the long rod at different impact velocities

而根據(jù)圖6和圖7可知，彈體的侵蝕速度隨v0增大而逐漸加快。此外，v0＞1 000m／s時(shí)，在v下降到零時(shí)彈體也幾乎完全侵蝕；而對于較低的撞擊速度，彈體速度v降為零時(shí)彈體還剩余一定長度，可推知v0值越低彈體剩余長度越大。從實(shí)際情況來看，對于較低的撞擊速度，Alekseevski-Tate模型將不再適用，彈體將轉(zhuǎn)變?yōu)門aylor撞擊情形。

相應(yīng)地，如圖8所示，由于不同v0下彈體速度v在界面擊潰前期的下降速率差別較小，而彈體的質(zhì)量侵蝕則隨v0增大而逐漸加快，因此彈體的動能損失隨撞擊速度增大而逐漸加快。C.E.Anderson等［12］的數(shù)值模擬以及P.Lundberg等［5－9］的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，彈體在一定v0值范圍內(nèi)撞擊陶瓷靶板時(shí)，先發(fā)生界面擊潰并持續(xù)一定時(shí)段后才開始侵徹靶板。對于該類情形，v0較小時(shí)，盡管彈體的初始動能小，但由于動能損失較慢，一定時(shí)間后彈體的剩余動能可能與較大v0值對應(yīng)的彈體剩余動能相當(dāng)，即兩者具有相同的后期侵徹／穿甲靶板能力，而撞擊速度越小對彈體發(fā)射條件的要求越低，因此這在軍事運(yùn)用中值得考慮。從圖8中還可看出，彈體在整個界面擊潰過程中（Ek）D／（Ek）0值均遠(yuǎn)小于相應(yīng)的（Ek）E／（Ek）0值，也即彈體的動能損失主要由質(zhì)量侵蝕引起。隨撞擊速度降低，（Ek）D／（Ek）0值有所增大，但對應(yīng)于各種v0值，由速度下降引起的彈體動能損失均遠(yuǎn)小于由質(zhì)量侵蝕引起的部分。

由式（11）、（14））還可看出，彈體初始質(zhì)量M、彈材密度ρp以及彈材流動應(yīng)力Yp等均對彈體的動能損失產(chǎn)生影響，M和ρp越大，Yp越小，彈體在界面擊潰過程中動能損失越慢。工程應(yīng)用中可結(jié)合這些參數(shù)對彈體結(jié)構(gòu)和撞擊條件等作優(yōu)化設(shè)計(jì)，對于增強(qiáng)彈體對陶瓷靶板的侵徹／穿甲能力將有重要意義。

4 彈體界面擊潰的簡化近似

如第2節(jié)中所述，通過式（14）不能得到彈體速度v隨時(shí)間t變化的解析表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算將會給工程應(yīng)用增加一定的困難，因此工程應(yīng)用中有必要作相應(yīng)的合理簡化。在保證結(jié)果有效性的同時(shí)，盡量使彈體參量隨時(shí)間變化的關(guān)系顯得簡潔。本節(jié)將結(jié)合第2節(jié)的相關(guān)分析，對彈丸的界面擊潰模型作相應(yīng)簡化近似，以便于工程上的應(yīng)用。

結(jié)合圖2可發(fā)現(xiàn)對于鎢長桿彈的界面擊潰，在彈體侵蝕掉原長的75%時(shí)，其速度v才下降約7%；W.Walters等［15］對Alekseevski-Tate模型的求解分析也得知v的下降幅值很小。此外，圖2和 W.Walters等［15］的分析結(jié)果同時(shí)顯示，v隨時(shí)間t的下降曲線均表現(xiàn)出近似的線性關(guān)系。因此可推知式（14）中積分項(xiàng)內(nèi)d（v／v0）的系數(shù)可近似視為一個常量；同時(shí)，由于v的下降很小，即v≈v0，因此在簡化計(jì)算中可近似取v＝v0，則式（14）轉(zhuǎn)化為

進(jìn)而可計(jì)算得到v隨時(shí)間t的變化關(guān)系為

結(jié)合式（7）和式（16）又可求得彈體的侵蝕長度與剩余質(zhì)量隨時(shí)間t的變化關(guān)系為

為驗(yàn)證式（15）～（18）的適用性，可結(jié)合L.Westerling等［6］給出的彈體結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過式（16）、（17）分別計(jì)算彈體速度v和侵蝕長度l隨時(shí)間的變化，隨后同第2節(jié)中的相關(guān)理論分析結(jié)果（式（11）、（14））作對比。為便于同時(shí)與C.E.Anderson等［12］的相應(yīng)分析結(jié)果（圖2～3）作比較，選擇v0＝1 480m／s和v0＝800m／s等2種較高和較低撞擊速度的情況為例。相應(yīng)的比較結(jié)果如圖9和圖10所示。

由圖9可看出，由式（16）所預(yù)測的彈體速度下降稍微變緩。然而對于2種v0值，式（16）均與理論結(jié)果（式（14））符合很好，直到彈體侵蝕掉40%彈長時(shí)兩者幾乎完全一致，此后兩者之間的差別也處于允許誤差范圍內(nèi)，預(yù)測結(jié)果同C.E.Anderson等［12］的相應(yīng)分析結(jié)果也符合較好；而圖10則顯示三者預(yù)測的彈體侵蝕情況幾乎完全一致。由此，柱形長桿彈界面擊潰的簡化近似關(guān)系（式（15）～（18））的適用性得到證實(shí)，在工程應(yīng)用中能獲得合理的預(yù)測結(jié)果。

另外可對比的是，W.Walters等［15］采用攝動法求解Alekseevski-Tate方程，給出彈體速度、侵徹速度以及彈體剩余長度等隨時(shí)間變化的一階和三階近似表達(dá)式，并得知一階近似值已同Alekseevski-Tate模型符合較好。其中彈體速度的一階近似表達(dá)式為

對于長桿侵徹，由于彈體（一般采用鎢合金桿）的密度大于靶板（陶瓷、鋼靶）的密度，因此滿足下式μv0t／［ （1 ＋μ）L］?1，工程應(yīng)用中可近似僅取式（21）中等號右邊第1項(xiàng)代入式（19）可求得

結(jié)合式（20）即可發(fā)現(xiàn)式（22）與式（16）完全一致。在界面擊潰過程中，常將靶板視為剛性，可略去靶板密度ρt的影響，式（16）～（18）、（22）的表達(dá)式中均未含有參量ρt，因此也符合界面擊潰的物理意義。由此，式（15）～（18）的適用性再次得到了驗(yàn)證。

圖9 不同分析模型下長桿彈彈體速度的變化Fig.9 Relative velocity of the long rod at different impact velocities vs scaled time based on different models

圖10 不同分析模型下長桿彈侵蝕長度的變化Fig.10 Relative eroded length of the long rod at different impact velocities vs scaled time based on different models

5 結(jié) 語

在Alekseevski-Tate模型的基礎(chǔ)上，分析了柱形長桿彈在界面擊潰過程中的速度下降、質(zhì)量侵蝕以及相應(yīng)的動能損失，并近似給出彈體速度v、侵蝕長度l以及彈體質(zhì)量m等隨時(shí)間變化的解析表達(dá)式，在保證結(jié)果有效的前提下，給工程應(yīng)用帶來便利。分析發(fā)現(xiàn)彈體動能損失中由速度下降引起的部分（Ek）D遠(yuǎn)小于由于質(zhì)量侵蝕引起的部分（Ek）E。

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Theoretical analysis on the interface defeat of a long rod penetration＊

LI Ji-cheng，CHEN Xiao-wei
（Institute of Structural Mechanics，China Academy of Engineering Physics，Mianyang 621900，Sichuan，China）

Based on the Alekseevski-Tate model，the present paper analyzes the interface defeat of a long rod in its penetration process，and the corresponding formulae of velocity decay and mass erosion of the long rod are presented.The effects of velocity decay and rod erosion on the loss of the kinetic energy of the long rod are discussed.In particular，aimed to the truth of quasi-static tail velocity of the long rod in the interface defeat，the simplified and explicit analytical expressions are formulated to describe the variation of the dominated parameters such as the velocity and the mass of the rod with time.It is convenient for engineering applications.

mechanics of explosion；analytical expressions；Alekseevski-Tate model；long rod；interface defeat；loss of kinetic energy

17December 2009；Revised 4May 2010

CHEN Xiao-wei，chenxiaoweintu＠yahoo.com

（責(zé)任編輯 張凌云）

O383 國標(biāo)學(xué)科代碼：130·3530

A

2009-12-17；

2010-05-04

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10672152）

李繼承（1984— ），男，碩士，研究實(shí)習(xí)員。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（10672152）