王防修，周 康

(武漢工業(yè)學(xué)院數(shù)理科學(xué)系，湖北武漢430023)

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表(即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系)進(jìn)行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。

然而，許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化(以下稱為變位)，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。因此，如果能用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題，則可以實現(xiàn)儲油罐的動態(tài)標(biāo)定［1］。

要對一個變位的油罐實現(xiàn)準(zhǔn)確標(biāo)定不是一件容易的事情，即使是對如圖1所示的變位小橢圓型儲油罐的標(biāo)定也是如此。許多人在標(biāo)定的過程中用到所謂擬合［2］的方法，想通過該方法降低標(biāo)定的誤差。事實上，這種方法只適用事后分析，它對于通過油高來預(yù)測油量是沒有任何幫助的。如果能夠事先對傾斜角度的準(zhǔn)確性進(jìn)行合理修正，則對小橢圓型儲油罐的標(biāo)定才真正具有意義。本文借助小橢圓型儲油罐所提供的實測數(shù)據(jù)［3］，通過相對誤差的降低來說明這種修正的合理性。

圖1 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖

1 小橢圓型儲油罐的罐容表標(biāo)定

1.1 小橢圓型油罐正常體位的標(biāo)定

小橢圓型油罐正常體位(無變位)的不同油位高度與儲油量的計算模型［4］是：

其中a，b，L分別為罐體截面橢圓的長半軸、短半軸和罐體長度，h為罐內(nèi)的油位高度。通過代入幾何參數(shù)計算得到如表1所示結(jié)果。

表1 正常情況下小橢圓罐的罐容表部分結(jié)果

1.2 小橢圓型油罐縱向傾斜變位后的標(biāo)定

當(dāng)油罐發(fā)生縱向傾斜時，如圖2所示。罐體油量的體積隨油位高度呈非線性變化，于是我們運(yùn)用分段模式，使非線性轉(zhuǎn)換為局部線性化。再根據(jù)各自的約束條件建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

圖2 縱向變位傾斜橢平頂截面示意圖

已知：l=AB=0.4m，s=BC=2.05m，2b=AF=1.2m.

定義：h表示測得的油位高度，MN表示罐體油量高度的水平虛線，m表示對應(yīng)橢圓底部深度，即m=AM，n表示上翹一端油面相對于罐底的高度，a表示小橢圓油罐橫截面橢圓的半長軸，b表示小橢圓油罐橫截面橢圓的半短軸。

實際儲油罐僅縱向傾斜變位時，油量與油位高度、縱向傾斜角度α=4.10時的數(shù)學(xué)模型是：

當(dāng)h≤PB時，

當(dāng)PB＜h≤QB時，

當(dāng)h＞QB時，

將變位參數(shù)代入模型，計算出如表2所列的罐容表標(biāo)定值。

表2 小橢圓罐的α=4.10時的罐容表的部分結(jié)果

1.3 正常標(biāo)定與變位標(biāo)定的比較

與正常的標(biāo)定值進(jìn)行比較，對于縱向傾斜變位的影響明顯，最大誤差在257 L以上，平均誤差達(dá)到190L以上，平均相對誤差達(dá)30%以上。

2 遺傳算法在小橢圓型儲油罐的罐容表標(biāo)定中的應(yīng)用

2.1 誤差分析

當(dāng)將α=4.10與油位高度代入變位后的求油量模型中，得到如表3所示的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

從表3可以明顯看出，油量的實測值與理論計算值之間的相對誤差［5］還是相當(dāng)大的?？紤]到實際測量過程中存在測量誤差，為此模型需要修正這方面的誤差。由計算出的數(shù)據(jù)和實際測量的數(shù)據(jù)可得到平均相對誤差ˉe大于5%，但經(jīng)分析會發(fā)現(xiàn)體積的實際值V和理論值Vm的絕對誤差是很大的，在45—100 L內(nèi)變動。存在幾個影響模型的準(zhǔn)確性的因素，分別為縱向傾斜角度α，油位高度h和油的體積V，現(xiàn)在主要考慮油位高度h和油的體積V準(zhǔn)確的情況下，縱向傾斜角度α對模型準(zhǔn)確性的影響。

表3 小橢圓罐的α=4.10時的罐容表的實測與模型計算的部分結(jié)果

2.2 用遺傳算法［6］求傾斜角度α的最優(yōu)值

2.2.1 用遺傳算法求最優(yōu)的傾斜角α

為了搜索到最優(yōu)的α，需要將上述的變位油量模型變?yōu)閂(h，α)，從而在油高相同的情況下，由不同的α可以計算出不同的油量。要找到最佳的α，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示如下。

其中V(hi，α)表示油位高度為hi時用模型計算出的油量，表示第i時刻所測的實際油量，n代表實驗數(shù)據(jù)個數(shù)。

根據(jù)實際情況，可以先將 α的范圍鎖定在［0.1，10.0］，如果最終的最優(yōu)值在 0.1 或 10.0 附近，我們可以進(jìn)一步修改α的范圍。

為了使計算的結(jié)果精確到小數(shù)點后六位數(shù)，編碼的二進(jìn)制串至少需要22位。如果str1是一個22位的原色體，則首先將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)x’，然后由譯碼過程即可以得到相應(yīng)的角度α。

2.2.2 遺傳算法的計算結(jié)果

通過執(zhí)行遺傳算法的計算機(jī)程序后，在區(qū)間［0.1，10.0］搜 索 到 最 優(yōu) 的 染 色 體 編 碼 為0111000011110011100001，經(jīng)過譯碼得到最優(yōu)的傾斜角α=5.382627°。將該傾斜角代入傾斜變位的標(biāo)定模型中，可以得到如表4所示的結(jié)果。

表4 小橢圓罐的α=5.382632°時的罐容表的實測與模型計算的部分結(jié)果

將表3與表4的結(jié)果進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)表4中計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的相對誤差已經(jīng)非常小了。因此，我們認(rèn)為α=4.1°不是非常準(zhǔn)確的，可以將其修訂為 α =5.382632°

2.2.3 與用粒子群算法計算的結(jié)果比較

用粒子群算法計算的傾斜角α =5.38261°，將該傾斜角代入傾斜變位的標(biāo)定模型中，可以得到如表5所示的結(jié)果。

表5 小橢圓罐的α=5.38261°時的罐容表的實測與模型計算的部分結(jié)果

對表4與表5的結(jié)果進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)用遺傳算法計算的結(jié)果更加準(zhǔn)確。這是由于粒子群算法比遺傳算法容易陷入局部最優(yōu)。

3 小橢圓型油罐縱向傾斜變位(傾斜角度修正)后的標(biāo)定

通過前面的數(shù)據(jù)分析，我們已經(jīng)知道將α =4.1°修訂為 α =5.382627°可以得到更好的標(biāo)定效果。因此，將α=5.382627°和油位高度代入標(biāo)定模型中得到的標(biāo)定值如表6所示。

對表2和表6的結(jié)果進(jìn)行比較，可以標(biāo)定的結(jié)果差別很大。α=5.382632°求得的體積函數(shù)與實際情況比較相符，從而我們有理由相信以上所建立的數(shù)學(xué)模型具有一定的可靠性。

表6 小橢圓罐 α=5.382632°時的罐容表的部分結(jié)果

4 結(jié)束語

本模型屬于單一變位情況，還有比這復(fù)雜得多的變位情況，需要對其進(jìn)一步深入探討。這里重在介紹用遺傳算法搜索最優(yōu)的傾斜角度。儲油罐有一個特定的縱向傾斜變位，計算出油位高度與油量的函數(shù)關(guān)系式，通過幾何關(guān)系分析和微分方程求解，逐步逼近儲油罐有任意的變位參數(shù)時，得到油位高度與油量的一般關(guān)系，保證了模型的普遍適用性。

［1］ 葛動元，姚錫凡，李凱南.雙目立體視覺系統(tǒng)的標(biāo)定［J］.機(jī)械設(shè)計與制造，2010(6)：188-189.

［2］ 于光偉，趙玉剛.橢圓弧等誤差直線擬合的算法研究與軌跡仿真［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報，2010(1)：89-92.

［3］ 中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會.2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模題目［DB/OL］.http：//www.mcm. edu. cn/upload _ cn/node/70/rd4LEPmmd1095c70a7fb9d0898a08495837d8c93.rar，2010-09-17/2010-10-14.

［4］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1993：233-288.

［5］ 劉俊杰，張文閣.光阻法液體顆粒計數(shù)器粒徑檔設(shè)定相對誤差的檢定方法探討［J］.中國粉體工業(yè)，2010(1)：14-16，21.

［6］ 李華昌，謝淑蘭，易忠勝.遺傳算法的原理與應(yīng)用［J］.礦冶，2005(1)：87-90.