曹雅平，黃春福

（天津師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，天津 300387）

非局域鉛玻璃介質(zhì)中偶極穩(wěn)態(tài)孤子解探究

曹雅平，黃春福

（天津師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，天津 300387）

在無限非局域鉛玻璃介質(zhì)中，假設(shè)（1＋1）維偶極孤子的試探解為具有普遍意義的帶傳播常數(shù)項exp（iλZ）形式的波函數(shù)，利用變分法得到描述偶極孤子穩(wěn)態(tài)解的一般參數(shù)耦合方程；推導(dǎo)出孤子振幅平方（B2）與束寬六次方（W6）的乘積為一定值，且振幅B隨束寬W的增大而減小；得到傳播常數(shù)與孤子功率和介質(zhì)寬度的關(guān)系式，說明傳播常數(shù)是表示功率大小的參量，同時還是介質(zhì)寬度的函數(shù).最終，通過數(shù)值模擬驗證了變分計算的結(jié)果，觀察到（1＋1）維偶極光束在該參數(shù)方程的制約下都能形成偶極孤子并穩(wěn)定傳輸.

非線性光學(xué)；偶極孤子解；鉛玻璃；變分法；傳播常數(shù)

當由介質(zhì)非線性引起的自聚焦效應(yīng)與光束本身的衍射效應(yīng)達到平衡時，在介質(zhì)中傳輸?shù)墓馐葱纬煽臻g光孤子，又稱自導(dǎo)光束.由于在光信息處理、全光開關(guān)、光波導(dǎo)和光互聯(lián)器件等方面的應(yīng)用前景，空間光孤子得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是近幾年對非局域材料中空間孤子的研究［1－14］，目前常見的非局域材料有向列相液晶［2－4］、熱致非線性鉛玻璃材料［5－7］和非局域 kerr介質(zhì)［8－14］等.文獻［3］采用Gauss形式的試探解，對向列相液晶中非局域空間孤子的傳輸進行了理論研究，得到Gauss孤子和臨界功率附近呼吸子的解析解；文獻［4］不僅從理論上得到了液晶孤子傳輸?shù)慕馕鼋?，而且從實驗上觀察了空間光孤子在向列相液晶中的傳輸，找到不同束寬下空間光孤子的臨界功率；李少華等人研究了不同形狀鉛玻璃對各階厄密高斯光束穩(wěn)定傳輸?shù)挠绊懀?］；Dong等人用數(shù)值模擬方法研究了鉛玻璃中（1＋1）維多級孤子的穩(wěn)定性，得出基孤子和偶極孤子均可以在存在的區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定傳輸，三極以上孤子的不穩(wěn)定區(qū)域隨樣品寬度的增加而增大［6］；Bai等人以普遍意義的ψ（x，z）＝u（x）exp（iλz）形式波函數(shù)作為（1＋1）維Kerr介質(zhì)中 H－G光束簇的試探解，利用變分法研究了其傳輸?shù)奈锢硖卣?，并用?shù)值法觀察了不同非局域程度下光束傳輸?shù)姆€(wěn)定性，得出傳播常數(shù)λ是介質(zhì)非局域程度的量度［8］；而后，楊振軍等人利用變分法對Kerr介質(zhì)中的一類反向兩極孤子模型進行研究，得到m不同時描述該類孤子的參數(shù)耦合方程，并通過數(shù)值模擬得到光束能量不同時兩極孤子的傳輸規(guī)律和克爾介質(zhì)中m＝0時高斯孤子的參數(shù)耦合方程，但并沒有給出m＝1時偶極孤子的具體參數(shù)耦合方程［9］.

本研究對無限非局域鉛玻璃介質(zhì)中（1＋1）維的偶極穩(wěn)態(tài)孤子解進行求解，假設(shè)偶極孤子的試探解為具有普遍意義的帶有傳播常數(shù)項exp（iλZ）形式的波函數(shù)，利用變分法求解出該形式下描述偶極孤子穩(wěn)態(tài)解的一般參數(shù)耦合方程組，解釋傳播常數(shù)在此系統(tǒng)下的物理意義，并通過數(shù)值模擬驗證了變分計算結(jié)果和在該參數(shù)方程組制約下形成的偶極孤子的穩(wěn)定性.偶極孤子是高階孤子的最簡單形式，本研究對偶極孤子穩(wěn)態(tài)解參數(shù)耦合方程組的求解是對非局域鉛玻璃介質(zhì)中偶極孤子解析解的普遍描述，為尋求更高階孤子具有普遍意義的形式解埋下伏筆，并為研究熱非線性系統(tǒng)中高階孤子的相互作用及其偏轉(zhuǎn)特性奠定了基礎(chǔ).

1 理論模型及其偶極孤子解

在不考慮損耗的情況下，（1＋1）維傍軸光束在非局域熱非線性鉛玻璃介質(zhì)中的傳輸可以用非局域非線性薛定諤方程和泊松方程來描述［5－7］

耦合方程組式（1）和式（2）是歸一化后的結(jié)果，但由于其變分問題比較難解，為此先假設(shè)一試探解.偶極孤子是高階孤子的最簡單形式解，這里選取具有普遍意義的（1＋1）維偶極波函數(shù)ψ（X，Z）作為式（1）的偶極孤子試探解

設(shè)正方形截面鉛玻璃介質(zhì)的寬度為2d，偶極光束由介質(zhì)對稱中心入射并沿Z軸方向傳播，光束熱源入射對介質(zhì)進行加熱，熱擴散效應(yīng)會引起介質(zhì)折射率N的變化，易知有邊界條件

式（17）表明傳播常數(shù)λ是表示偶極孤子功率大小的參量，它與介質(zhì)半寬度有關(guān)，隨著寬度的增大而增大.

因為d?W，圖1是在介質(zhì)的半寬度d＝10時，傳播常數(shù)λ與功率P的對應(yīng)關(guān)系圖（P取正值）.由圖1可知，每個入射功率P都有相應(yīng)的傳播常數(shù)λ與之對應(yīng)，即傳播常數(shù)λ是代表孤子功率大小的量，

試探波函數(shù)復(fù)相位中的傳播常數(shù)λ不同則表示形成的孤子具有不同的能量.

圖1 孤子功率P隨傳播常數(shù)λ變化的關(guān)系圖Figure 1 Power P versus the propagation constantλfor dipole solitons

根據(jù)式（13）可知，孤子振幅的平方（B2）與束寬的六次方（W6）具有反比關(guān)系，二者乘積為一常數(shù).圖2為由式（13）決定的孤子振幅B隨束寬W變化的曲線圖，由圖2可以看出，偶極孤子的振幅B隨束寬W的增大而不斷減小，即鉛玻璃介質(zhì)中的入射光束束寬越寬，則形成偶極孤子的振幅越小，光強越弱.

圖2 振幅B隨束寬W變化的曲線圖Figure 2 Amplitude B versus the beam width W for dipole solitons

綜上所述，在正方形截面的熱非線性鉛玻璃介質(zhì)中，當介質(zhì)半寬度d遠大于偶極入射光束束寬W時，對于試探波函數(shù)參數(shù)中給定的一組（d，λ）值，根據(jù)參數(shù)耦合方程組式（13）、式（15）和式（16）可以很容易得到關(guān)于穩(wěn)態(tài)偶極孤子試探解的參數(shù)（W，B和P）的值，寫出可以形成偶極孤子的具體波函數(shù)解析解，從而確定該偶極孤子所具有的能量和光強度.傳播常數(shù)λ是代表孤子功率大小的量，只要λ，W和B滿足上述偶極孤子參數(shù)耦合方程，理論上都可以得到鉛玻璃介質(zhì)中具有不同功率的穩(wěn)定偶極孤子解析解，如果假設(shè)成立則表示此參數(shù)耦合方程組式（13）、式（15）和式（16）具有一般意義.同時，在正方形截面的熱非線性鉛玻璃介質(zhì)中，偶極孤子振幅平方（B2）與入射光束束寬六次方（W6）的乘積為一定值，孤子振幅B隨束寬W的增大不斷減小，即入射鉛玻璃的光束束寬越寬，形成偶極孤子的振幅越小，光強越弱；傳播常數(shù)λ是表示偶極孤子功率大小的參量，同時還與介質(zhì)半寬度有關(guān)，它隨寬度的增大而增大，即試探波函數(shù)復(fù)相位中的傳播常數(shù)λ越大表示形成的孤子具有的能量越強.

2 數(shù)值模擬

為了驗證通過變分法得到的計算結(jié)果，即不同λ能否都形成很好的偶極孤子穩(wěn)定傳輸，參照上面得出的參數(shù)耦合方程組式（13）、式（15）和式（16），采用對稱分步傅里葉法對式（3）和式（4）進行數(shù)值模擬.假設(shè)初始光束采取如下形式：

式（18）中，λ，W和B滿足參數(shù)耦合方程組式（13）、式（15）和式（16），這里取介質(zhì)半寬度d＝10，此時偶極光束在該鉛玻璃介質(zhì)中的傳播規(guī)律模擬圖如圖3所示.

圖3 d＝10，λ≈17.735 4，W＝1，B≈2.202 0，P≈4.297 1時，鉛玻璃介質(zhì)中的傳播規(guī)律模擬圖Figure 3 Dynamic propagation of dipole solitons when d＝10，λ≈17.735 4，W＝1，B＝2.202 0，P≈4.297 1

圖3（a）為λ≈17.735 4，W＝1，B≈2.202 0，P≈4.297 1時，數(shù)值模擬偶極試探解在非局域鉛玻璃中的三維傳播圖，圖中X軸表示介質(zhì)的橫向?qū)挾葟模?0～10個歸一化距離，Z軸表示偶極孤子的傳播方向和60個瑞利距離，縱軸表示孤子的光強I＝

|U|2.取W＝1是為了驗證將式（13）、式（15）和式（16）制約的參數(shù)帶入波函數(shù)試探解是否能在此系統(tǒng)下形成孤子.由圖3（a）可以看出，根據(jù)由參數(shù)耦合方程得出的各參數(shù)模擬出的結(jié)果理想，偶極孤子在傳播了60個瑞利歸一化距離或是更遠都可以保持穩(wěn)定.圖3（b）是在同樣的參數(shù)條件下，較細致地觀察圖3（a）所對應(yīng)的偶極孤子最大光強與傳播距離Z關(guān)系的二維圖像，可以看到圖3（a）中孤子的光強確實保持不變，幾乎為一條水平直線，證明了該孤子的傳播具有良好的穩(wěn)定性.

為了驗證參數(shù)方程式（13）、式（15）和式（16）的普適性，分別取束寬W大于1和小于1的情況，即λ＝25，W≈0.898 2，B≈3.038 7，P≈5.930 0和λ＝10，W≈1.193 7，B≈1.294 6，P≈2.526 3兩種情況，驗證兩種條件下的光束是否均可以形成很好的偶極孤子并傳輸穩(wěn)定，圖4和圖5分別為2種情況下典型孤子的傳播圖像.

圖4 d＝10，λ＝25，W≈0.898 2，B≈3.038 7，P≈5.930 0時，典型孤子的傳播圖像Figure 4 Dynamic propagation of dipole solitons when d＝10，λ＝25，W≈0.898 2，B≈3.038 7，P≈5.930 0

圖5 d＝10，λ＝10，W≈1.193 7，B≈1.294 6，P≈2.526 3時，典型孤子的傳播圖像Figure 5 Dynamic propagation of dipole solitons when d＝10，λ＝10，W≈1.193 7，B≈1.294 6，P≈2.526 3

由圖4（a）和圖5（a）可以看出兩組參數(shù)情況下，根據(jù)參數(shù)耦合方程得出的由各參數(shù)確定的試探解都可以模擬出很好的偶極孤子，且孤子在傳播了60個瑞利距離或更遠時仍保持穩(wěn)定.圖4（b）和圖5（b）是相應(yīng)條件下，偶極孤子三維傳播數(shù)值模擬圖中偶極孤子最大光強與傳播距離Z關(guān)系的二維圖，圖中孤子的光強均基本保持不變，說明鉛玻璃介質(zhì)中形成了偶極孤子，孤子傳播的穩(wěn)定性很好.

從以上3組隨機選取的參數(shù)所形成的偶極孤子在熱非線性鉛玻璃介質(zhì)中傳輸?shù)臄?shù)值模擬圖可以看出，根據(jù)參數(shù)耦合方程，對于給定的一組（d，λ）值，都能夠找到很好地形成偶極孤子參數(shù)B，W和P與之對應(yīng)，進而得到該系統(tǒng)具體的波函數(shù)解，且形成的孤子可以穩(wěn)定傳輸60個瑞利距離或更遠，說明偶極孤子參數(shù)耦合方程的正確性，證明其確實具有一般意義，同時表明前面所假設(shè)的帶傳播常數(shù)項exp（iλZ）形式的試探解是熱非線性耦合方程很好的近似解，驗證了變分法計算結(jié)果的正確性.

3 結(jié)論

本研究針對非局域熱非線性系統(tǒng)中（1＋1）維偶極穩(wěn)態(tài)孤子解的探究問題，假設(shè)系統(tǒng)的偶極孤子試探解為具有普遍意義的帶傳播常數(shù)項exp（iλZ）形式的波函數(shù)，利用變分法得到了描述偶極孤子穩(wěn)態(tài)解的一般參數(shù)耦合方程；推導(dǎo)出孤子振幅平方（B2）

與束寬六次方（W6）的乘積為一確定常數(shù)，且振幅B

隨束寬W的增大不斷減?。坏玫絺鞑コ?shù)λ、孤子功率P和介質(zhì)寬度d的關(guān)系式，通過圖像得出傳播常數(shù)λ隨孤子功率P的增大而增大，表明傳播常數(shù)是表示功率大小的參量.通過隨機取不同參數(shù)（λ，

W，B，P）組合帶入試探解對系統(tǒng)薛定諤方程與泊松方程構(gòu)成的耦合方程進行直接的數(shù)值模擬，得到較好的偶極孤子傳播圖像，驗證了由變分計算得到的偶極孤子解參數(shù)方程的普適性，為研究熱非線性系統(tǒng)中高階孤子的相互作用及其偏轉(zhuǎn)特性奠定了基礎(chǔ).

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Investigation of dipole soliton solutions in nonlocal thermal media

CAOYaping，HUANGChunfu

（College of Physics and Electronic Information Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A wave function with the propagation constant term exp（iλZ）is assumed as（1＋1）D dipole soliton solution in nonlocal thermal media system，and the coupled parameter equations are obtained to describe a series of stable dipole soliton solutions by using the variational method.It is found that the product of square of amplitudeBand six powers of beam widthWis a fixed value，Bwould decrease with the increase ofW.And the propagation constant equation about the dipole soliton power and the width of the thermal media is obtained.It shows that the propagation constant is the quantitative measure for dipole soliton power，which is concerned with the width of the thermal media.Finally，the results of variational calculations are confirmed by numerical simulation，which implies that the incident beam can form dipole solitons and propagate stably under the parameter equations.

nonlinear optics；dipole soliton solutions；thermal media；variational method；propagation constant

O437

A

1671－1114（2011）04－0033－05

2010－07－05

天津師范大學(xué)青年教師科研啟動基金資助項目（5RL074）

曹雅平（1986—），女，碩士研究生.

黃春福（1977—），男，博士，講師，主要從事非線性光學(xué)和光學(xué)空間孤子方面的研究.

（責(zé)任編校 紀翠榮）