張曉莉，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

基于李群李對(duì)稱(chēng)方法求解一類(lèi)偏微分方程

張曉莉，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

基于李群李對(duì)稱(chēng)方法求解一類(lèi)偏微分方程，得到方程的對(duì)稱(chēng)約化和精確解及冪級(jí)數(shù)解等.

李對(duì)稱(chēng)分析；冪級(jí)數(shù)；精確解；相似約化

自然科學(xué)領(lǐng)域中存在大量的線(xiàn)性與非線(xiàn)性問(wèn)題，而其中許多問(wèn)題最終可用偏微分方程來(lái)描述，因此如何求解偏微分方程一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的重要課題，Bucklund法［1］、齊次平衡法［2］、Painleve展開(kāi)法［3］、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［4－5］、F展開(kāi)法［6－7］、雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法［8］、變換迭代法［9］都是比較成熟的求解方法.其中對(duì)稱(chēng)理論在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域起著十分重要的作用.文獻(xiàn)［10］對(duì)齊次平衡法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一個(gè)新的相似約化法，該方法等價(jià)于直接約化法［11］.本研究利用李群方法［12－13］求解一類(lèi)偏微分方程，李群方法是研究偏微分方程的有力工具之一，應(yīng)用李群可得到方程的不變?nèi)汉图s化方程.

考慮一類(lèi)偏微分方程［14］

其中，λ＞0，μ，γ和r是常數(shù).該偏微分方程具有充分大量的對(duì)稱(chēng)群，這類(lèi)偏微分方程在金融數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)［15］得到了方程的李對(duì)稱(chēng)積分變換的精確解.本研究利用李對(duì)稱(chēng)分析，考慮γ＝

本研究所得的一些新的精確解，如冪函數(shù)解等是對(duì)文獻(xiàn)［15］的補(bǔ)充.

1 李群李對(duì)稱(chēng)方法的思想

開(kāi)集M上的向量場(chǎng)，則其第n階延拓是定義于M（n）的向量場(chǎng)

第二步：利用Maple求出方程（2）的所有生成元（向量場(chǎng)），運(yùn)用兼容性分別對(duì)生成元討論方程（2）的相似約化和不變量，求出相應(yīng)的約化方程.

第三步：利用其他方法對(duì)約化方程進(jìn)行求解.這樣便利用所求出的生成元得到了變系數(shù)偏微分方程的精確解.

2 偏微分方程的李對(duì)稱(chēng)分析

3 對(duì)稱(chēng)約化和精確解

4 結(jié)論

采用李群李對(duì)稱(chēng)方法求出了一類(lèi)偏微分方程的對(duì)稱(chēng)，得到了方程的相似約化，并求出了方程的一些新的精確解.

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Solving a kind of partial differential equations by Lie group Lie symmetry

ZHANG Xiaoli，ZHAO Xiaoshan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A kind of nonlinear partial differential equations is solved by the Lie symmetry analysis and group classifications.As a result the symmetry reduction and some new exact solutions have been obtained，including the power series solution and so on.

Lie symmetry analysis；power series method；exact solution；similarityreductions

O175.2

A

1671－1114（2011）04－0020－03

2010－11－09

天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（08JCYBJC12100）

張曉莉（1983—），女，碩士研究生.

趙小山（1968—），男，副教授，博士，主要從事非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）