王洪濤
(榮成廣播電視大學(xué),山東 榮成 264300)
函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用
王洪濤
(榮成廣播電視大學(xué),山東 榮成 264300)
在經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的今天,競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈,怎樣才能達(dá)到投入小,產(chǎn)出多,成本低,效益高,利潤(rùn)大的效果,本文通過(guò)對(duì)市場(chǎng)需求、利潤(rùn)、成本和庫(kù)存四個(gè)問(wèn)題分析來(lái)淺談函數(shù)極值理論在經(jīng)濟(jì)管理中應(yīng)用。 研究某些商品市場(chǎng)需求量,企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)量,獲得最大利潤(rùn)的最小成本等問(wèn)題用的是一元函數(shù)極值理論,同時(shí)也驗(yàn)證了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)命題。 在解決庫(kù)存管理中以最低的庫(kù)存和費(fèi)用使相關(guān)業(yè)務(wù)取得最大效益問(wèn)題,通過(guò)建立數(shù)學(xué)建模,利用多元函數(shù)極值理論求出最優(yōu)訂貨周期。 文中給出了函數(shù)極值理論的相關(guān)定理及求解函數(shù)極值的具體步驟。
函數(shù)極值;多元函數(shù);庫(kù)存管理
經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,企業(yè)要想生存和發(fā)展,經(jīng)濟(jì)管理是否科學(xué)是非常重要的。現(xiàn)在幾乎每一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域都用到數(shù)學(xué),對(duì)于企業(yè)的決策者和管理者來(lái)說(shuō)都至關(guān)重要。企業(yè)如何決定生產(chǎn)量,使生產(chǎn)成本最小。 生產(chǎn)量少于市場(chǎng)需求量,則無(wú)法滿足市場(chǎng)的需求,企業(yè)無(wú)法獲得最大利潤(rùn);生產(chǎn)量大于市場(chǎng)需求量,造成一部分成本的損失。 現(xiàn)今各個(gè)企業(yè)都會(huì)面臨庫(kù)存管理尤其是超市之類的零售企業(yè),在保證經(jīng)濟(jì)正常運(yùn)行的前提下,科學(xué)合理的分析市場(chǎng)需求,花費(fèi)最小成本,獲得最大利潤(rùn),以最低限度的庫(kù)存和費(fèi)用使有關(guān)業(yè)務(wù)取得最大效益,就成為人們關(guān)注的問(wèn)題,本文通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)的方法求解極值,并給出求一元及多元函數(shù)極值的方法。研究產(chǎn)量和價(jià)格與最大利潤(rùn)的關(guān)系。 利用多元函數(shù)極值理論求解最優(yōu)庫(kù)存量,其優(yōu)點(diǎn)是能夠提高企業(yè)管理的效率,也是企業(yè)的科學(xué)化、正規(guī)化管理,與世界接軌的重要條件。 在我國(guó)現(xiàn)階段正在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)轉(zhuǎn)型的時(shí)期,它的作用會(huì)更大。
在求解獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和產(chǎn)品銷售的價(jià)格,有的文章只是簡(jiǎn)單提及用函數(shù)極值理論求的最優(yōu)價(jià)格和產(chǎn)量,本文注重對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果做定性的分析,明確提出它在生活中的實(shí)際意義,即利用極值的概念對(duì)需求函數(shù)進(jìn)行分析之后,我們可以了解這種商品在市場(chǎng)的需求變化和飽和程度。
在研究某些商品市場(chǎng)需求量時(shí),企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)量,獲得最大利潤(rùn)的最小成本等問(wèn)題引入了恩格爾函數(shù),同時(shí)也驗(yàn)證了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)命題。 在解決庫(kù)存管理問(wèn)題時(shí),要求的最優(yōu)的訂貨批量,利用數(shù)學(xué)建模的思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,利用極值解決此問(wèn)題的方法,與其他注重介紹建模思想的相區(qū)別開(kāi)來(lái)。
接下來(lái)我們首先給出一元函數(shù)極值理論和多元函數(shù)極值理論的有關(guān)定理,及求解極值的步驟。
1.有關(guān)定理
下面給出幾個(gè)極值的充分條件。
定理1(第一充分條件)。設(shè)函數(shù)f(x)在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),若當(dāng)x在該鄰域內(nèi)由小于x0連續(xù)地變大為x0,其導(dǎo)數(shù)f′(x)改變符號(hào),則f(x0)為函數(shù)的極值,x0為函數(shù)的極值點(diǎn)。 若導(dǎo)數(shù)f′(x)由正值變?yōu)樨?fù)值,則x0為極大值點(diǎn),f(x0)為f(x)的極大值,若導(dǎo)數(shù)f′(x)由負(fù)值變?yōu)檎?,則x0為極小值點(diǎn),f(x0)為f(x)的極小值。
由此可知,如果f(x)在x0處可導(dǎo)且f′(x)=0,但f′(x)在x0的兩側(cè)同號(hào),則x0不是f(x)的極值點(diǎn),f(x)在x0處不取得極值。
定理2(第二充分條件)。設(shè)函數(shù)f(x)在x0處的二階導(dǎo)數(shù)存在,若f′(x0)=0,且f″(x0)≠0,則x0是函數(shù)的極值點(diǎn),f(x0)為f(x)的極值,并且當(dāng)f″(x0)>0時(shí),x0為極小值點(diǎn),f(x0)為極小值;當(dāng)f″(x0)<0時(shí),x0為極大值點(diǎn),f(x0)為極大值。
應(yīng)當(dāng)注意的是如果f′(x)=0且f″(x)=0,或者f′(x)=0,但f″(x)不存在,那么一元函數(shù)極值的第二充分條件就失效了,此時(shí)可以考慮運(yùn)用一元函數(shù)極值的第一充分條件。
2.求一元函數(shù)極值的步驟
我們經(jīng)常用上面的充分條件來(lái)求一元函數(shù)的極值,下面給出求一元函數(shù)極值的步驟。
(1)確定函數(shù)的定義域;
(2)令f′(x)=0,求出所有的駐點(diǎn),考察f′(x)每個(gè)駐點(diǎn)左右的符號(hào),相反的取極值,否則不取極值;
(3)若f′(x0)=0,f″(x0)≠0。 當(dāng)f″(x0)<0時(shí),f(x)在x0取極大值,當(dāng)f″(x0)>0時(shí),f(x)在x0取極小值;
(4)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,就得到相應(yīng)的極值。
特別要注意的是當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不存在的時(shí)候的求法,例如|x-1|在x=1點(diǎn)的極值,
1.有關(guān)定理
類似于一元函數(shù)求極值的判定,多元函數(shù)極值有如下定理。
定理3(必要條件) 設(shè)E為n元行向量空間,
(x1,x2,…,xn)∈E。 n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn):E→1R,若f在點(diǎn)P0,()可微且取極值,則
(1)P0必為f的駐點(diǎn)f′(P0)=0;
(2)若f在U(P0)存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),A為f在P0的Hesse矩陣,則
1)f在點(diǎn)P0取極小值時(shí),Hesse矩陣A為正定或半正定;
2)f在點(diǎn)P0取極大值時(shí),Hesse矩陣A為負(fù)定或半負(fù)定;
3)f在點(diǎn)P0不取極值時(shí),Hesse矩陣A為非定號(hào)。
注f(x1,x2,…xn)在點(diǎn)P0()處存在一階偏導(dǎo)數(shù),則極值點(diǎn)必為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),當(dāng)f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0()處不存在一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),P0()也可能是f(x1,x2,…,xn)的極值點(diǎn)。 即極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。
定理4(充分條件) 設(shè)E為n元行向量,
(x1,x2,…,xn)∈E。 如果函數(shù)y=f(x1,x2,…,xn)在駐點(diǎn)P0()的某鄰域U(p0)內(nèi),具有Hesse矩陣A,則
(1)若A為正定(或負(fù)定)矩陣時(shí),f在點(diǎn)P0取極?。ɑ驑O大)值;
(2)若A為半正定(或半負(fù)定)矩陣時(shí),f在點(diǎn)P0取極?。ɑ驑O大)值;
(3)若A為非定號(hào)矩陣時(shí),f在點(diǎn)P0不取極值。
注 求函數(shù)y=f(x1,x2…,xn)的極值時(shí),應(yīng)首先求出駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),然后對(duì)所有可能的極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn),確定函數(shù)的極值點(diǎn)并求出函數(shù)極值。
2.多元函數(shù)求解極值的方法
第一步:求出函數(shù)f(x1,x2…,xn)可能的極值點(diǎn)。首先,求出函數(shù)f(x1,x2…,xn)的駐點(diǎn),根據(jù)極值存在的必要條件,解方程組
方程組的解即為駐點(diǎn)。然后考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。
第二步:對(duì)每一個(gè)可能的極值點(diǎn)p0()進(jìn)行檢驗(yàn),根據(jù)極值存在的充分條件,首先,計(jì)算f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0()的Hesse矩陣A,
再根據(jù)定理4判斷P0()是否為極值點(diǎn)并求出極值。
1.市場(chǎng)需求分析
影響需求的因素包括影響購(gòu)買(mǎi)愿望與購(gòu)買(mǎi)能力的各種經(jīng)濟(jì)與社會(huì)因素,這些因素主要是:價(jià)格、收入、消費(fèi)者嗜好與預(yù)期。如果把消費(fèi)者的收入作為主要因素,而把其他因素都視為固定的,則商品需求量依消費(fèi)者收入變化的函數(shù)關(guān)系,稱為恩格爾函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,如果某種商品的恩格爾函數(shù)是單調(diào)遞增的,則稱該商品為正常商品,如果是單調(diào)遞減的,則為劣質(zhì)商品。
通過(guò)市場(chǎng)對(duì)恩格爾函數(shù)圖形及極值的分析,我們可以了解該種商品市場(chǎng)需求量的變化。當(dāng)收入為零時(shí),需求量Q表示人們無(wú)收入時(shí)的需求量;當(dāng)收入無(wú)限多時(shí),需求量Q表示該商品市場(chǎng)飽和時(shí)的需求量。
解 首先求需求函數(shù)Q(x)的一階導(dǎo)數(shù)
因此,對(duì)這種商品的需求量隨收入的減少而減少,這種商品是正常商品,又
人們的收入為零時(shí),市場(chǎng)對(duì)該種商品的需求量為零.市場(chǎng)對(duì)該種商品的飽和需求量為6。
利用極值的概念對(duì)需求函數(shù)進(jìn)行分析之后,我們可以了解這種商品在市場(chǎng)的需求變化和飽和程度。
例2 設(shè)一地區(qū)對(duì)高級(jí)唱片的需求量Q隨著人們收入的恩格爾函數(shù)Q(x)=。討論隨著該地區(qū)收入的增加,對(duì)這種高級(jí)唱片需求的變化趨勢(shì)。
解 首先求需求函數(shù)Q(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)
市場(chǎng)對(duì)該種商品的需求量Q隨收入的增加而增加,這種商品是正常的。又
這說(shuō)明當(dāng)人們的收入為零時(shí),基本生活需求無(wú)法得到滿足,人們不會(huì)考慮這種唱片。只有當(dāng)收入大于3,人們才會(huì)對(duì)這種高級(jí)唱片有需求,但也不是無(wú)限的,人們的收入無(wú)窮時(shí),市場(chǎng)對(duì)此商品的飽和需求量為4。
下面來(lái)討論耐用消費(fèi)品的需求函數(shù)。
耐用消費(fèi)品是指那些使用壽命較長(zhǎng),一般可多次使用的消費(fèi)品.耐用消費(fèi)品由于購(gòu)買(mǎi)次數(shù)少,因而消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)行為和決策較慎重。耐用消費(fèi)品的典型適用產(chǎn)品如:家用電器、家具、汽車等。
我們利用導(dǎo)數(shù)分析耐用消費(fèi)品的需求量是如何隨價(jià)格變化的。
例3 設(shè)一地區(qū)對(duì)私人飛機(jī)的需求量為Q,經(jīng)過(guò)多年的統(tǒng)計(jì)分析得出需求函數(shù)為Q(P)=-2P3+12P2-3P+8。
得到駐點(diǎn)
當(dāng)P=0時(shí)Q=8,即白送時(shí)最大需求量為8;
當(dāng)0<P<2時(shí),Q″(P)>0,曲線上凸;
當(dāng)時(shí),Q′(P)>0,需求隨價(jià)格P增加仍呈上升趨勢(shì);
2.最大利潤(rùn)問(wèn)題
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,總收入和總成本都可以表示為常量x的函數(shù)分別為R(x)和C(x),其中x表示生產(chǎn)或銷售過(guò)程中影響收入和成本的某一因素,則總利潤(rùn)L(x)可以表示為
為使總利潤(rùn)最大,其一階導(dǎo)數(shù)需要等于零,即
由此可得
根據(jù)極值存在的二階充分條件,為使總利潤(rùn)最大,還要求二階導(dǎo)數(shù)
由此可得
這就是說(shuō),在獲得最大利潤(rùn)的常量處,必須要求邊際收益等于邊際成本。但此時(shí)若又有邊際收益對(duì)常量的微商小于邊際成本對(duì)常量的微商,則該常量一定能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)。
例4 設(shè)某廠生產(chǎn)一商品的總成本函數(shù)為C(x)=20+2Q,需求函數(shù),其中為p價(jià)格,Q為產(chǎn)量,求總利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)。
解 由于總收入
因此由式(4-1)得
對(duì)(4-2)求一階導(dǎo)數(shù)得
因此其唯一的駐點(diǎn)Q0=8,
對(duì)(4-2)求二階導(dǎo)數(shù)
故L在Q=8時(shí)取得最大值
即當(dāng)產(chǎn)量為8時(shí)總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為32。
3. 成本最低問(wèn)題
成本最低化又稱成本極小化、最低成本點(diǎn).所謂成本最低化,就是根據(jù)成本目標(biāo)管理的任務(wù),通過(guò)分析降低成本的各種因素,制定可能實(shí)現(xiàn)的最低成本目標(biāo),并以此為依據(jù)進(jìn)行有效的控制和管理,使實(shí)際管理結(jié)果達(dá)到最低成本目標(biāo).在生產(chǎn)實(shí)際中,經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題:在既定的生產(chǎn)條件下,如何生產(chǎn)能使成本最低,利潤(rùn)最大。
設(shè)某企業(yè)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為x,C代表總成本,于是x處的邊際成本為C′=c′(x),而生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的平均成本為
因而,c′(x)=g(x)+xg(x)。
由極值存在的必要條件知道,使平均成本最小的生產(chǎn)量x,應(yīng)滿足g(x0)=0代入上式得
這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的又一重要結(jié)論,使平均成本最小的生產(chǎn)量x0正是邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)量x0。
例5 設(shè)某廠加工一件羊皮的成本為C(x),其中表示加工的數(shù)量羊皮,成本函數(shù)為c(x)=60+24x+2x2,試求平均成本的產(chǎn)量水平。
解 由(4-3)知平均成本
4. 庫(kù)存問(wèn)題
經(jīng)濟(jì)活動(dòng)離不開(kāi)存儲(chǔ),存量過(guò)多會(huì)造成資金積壓和資源的閑置;存量不足又將面臨供不應(yīng)求而影響生產(chǎn)活動(dòng)的正常進(jìn)行或喪失獲利良機(jī)。因此,在保證經(jīng)濟(jì)活動(dòng)正常進(jìn)行的前提下,要科學(xué)地作出存貨決策,以最低限度的庫(kù)存量和費(fèi)用,使有關(guān)業(yè)務(wù)活動(dòng)取得最大效益。
假定Q為訂貨批量;P為單位產(chǎn)品的銷售價(jià)格;D產(chǎn)品每天的需求量;A為每次訂貨的訂貨費(fèi);C為單位產(chǎn)品的進(jìn)價(jià);H為單位產(chǎn)品單位時(shí)間的庫(kù)存保管費(fèi);T為訂貨周期;L為1個(gè)周期內(nèi)的平均總利潤(rùn).易得由此每次訂貨批量(即訂貨時(shí)的訂貨量)和訂貨周期的長(zhǎng)度分別為:
從而每次支付的產(chǎn)品購(gòu)買(mǎi)費(fèi)為CQ,在1個(gè)周期內(nèi)任意時(shí)刻t的庫(kù)存量為Q-DT,在1個(gè)訂貨周期T內(nèi)的庫(kù)存保管費(fèi)為:
于是庫(kù)存系統(tǒng)在1個(gè)周期內(nèi)的平均總利潤(rùn)為
L=[毛利-(訂貨費(fèi)+購(gòu)買(mǎi)費(fèi)+庫(kù)存費(fèi))]/T
將(4-4)式代入得
現(xiàn)假設(shè)需求率是價(jià)格的線性函數(shù)D=a-bp,其中a>0,b>0,a-bp>0,此時(shí),平均總利潤(rùn)函數(shù)(4-5)變?yōu)椋?/p>
下面求出最優(yōu)解,即最優(yōu)庫(kù)存量、銷售價(jià)格和訂貨周期.
將式(4-6)視為Q、P的二元函數(shù),并記為L(zhǎng)=L(Q-P)(Q>0,P>0),
令
結(jié)合(4-6)得
顯然,直接求解該方程組是比較復(fù)雜的,不妨設(shè)該方程組的解為(Q*,P*)
Hesse矩陣的行列式為
所以,根據(jù)多元函數(shù)的極值理論可知,當(dāng)detΔ<0時(shí),
即
函數(shù)L(Q,P)具有極大值點(diǎn),從而(Q*,P*)即為所求。
將式(3-4)中的P代入Q可得
總之,函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用非常廣泛,其作用是使廠商花費(fèi)最小的成本,獲取最大的利潤(rùn),以最低限度的庫(kù)存量和費(fèi)用,使有關(guān)業(yè)務(wù)活動(dòng)取得最大效益。當(dāng)然經(jīng)濟(jì)發(fā)展千變?nèi)f化,使企業(yè)在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中爭(zhēng)得一席之地。我們還可以看到解決錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)問(wèn)題,要會(huì)合理的建立模型數(shù)學(xué)。這是一切問(wèn)題的前提。我們也可以考慮在確定市場(chǎng)需求量時(shí)建立數(shù)學(xué)模型,得出更準(zhǔn)確的需求函數(shù)。這樣不斷的改進(jìn)解決問(wèn)題的方法,使我們的經(jīng)濟(jì)管理更加科學(xué)合理。
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O171
A
1008—3340(2011)02—0065—05
2010-12-28
王洪濤(1980-),男,山東榮成人,榮成廣播電視大學(xué)助理講師,研究方向?yàn)槁殬I(yè)數(shù)學(xué)教育。