汪子蓮，丁 珂

（1.蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)學(xué)科部，蘭州 730050；2.中山大學(xué) 嶺南學(xué)院，廣州 510275）

一類非線性二階常微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題的正解

汪子蓮1，丁 珂2

（1.蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)學(xué)科部，蘭州 730050；2.中山大學(xué) 嶺南學(xué)院，廣州 510275）

運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非線性二階常微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題

正解的存在性.

無窮多點(diǎn)邊值問題；正解；錐；不動(dòng)點(diǎn)

1987年，Il’in等率先研究了二階線性常微分方程多點(diǎn)邊值問題的可解性［1－2］.1992年，Gupta研究了非線性二階常微分方程三點(diǎn)邊值問題的可解性［3］.此后，關(guān)于非線性二階常微分方程在各種不同的有限多點(diǎn)邊值條件下可解性的研究出現(xiàn)了許多重要結(jié)果［4－6］.文獻(xiàn)［4］給出了m－點(diǎn)邊值問題

在非線性項(xiàng)f滿足超線性或次線性條件下正解的存在性定理.但是，關(guān)于非線性二階常微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題的正解存在性的討論并不多［7－8］.本研究考慮一類非線性二階常微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題

正解的存在性.當(dāng)ai＝bi＝0（i＝m－1，…）時(shí)，問題（2）就退化為問題（1）.

本研究假設(shè)下列條件成立：

1 預(yù)備引理

2 主要結(jié)果及證明

定理2 設(shè)（H1）～（H3）成立，若f滿足：

則邊值問題（2）至少存在一個(gè)正解.

證明 （i）超線性情形：f0＝0且f∞＝∞.

首先考慮問題

分兩種情形考慮：

情形1f有界.即存在N，使得對所有的u∈［0，∞），f（u）≤N.選取

當(dāng)u∈K∩?Ω4時(shí)，就有‖Tu‖≤‖u‖.根據(jù)定理1（ii）可知，問題（6）有一個(gè)正解.進(jìn)一步的證明類似于超線性情形.

注 本研究在與文獻(xiàn)［4］條件相同的情況下，獲得了無窮多點(diǎn)邊值問題正解的存在性定理，是對文獻(xiàn)［4］結(jié)果的直接推廣.而且，本研究方法也適用于其他類型的無窮多點(diǎn)邊值問題.

作為應(yīng)用，考慮問題

［1］ Il’in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm－Liouville operator in its differential and finite difference aspects［J］.Differential Equations，1987，23（7）：803－810.

［2］ Il’in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm－Liouville operator［J］.Differential Equations，1987，23（8）：979－987.

［3］ Gupta C P.Solvability of a nonlinearm－point boundary value problem for a second order ordinary differential equation［J］.J Math Anal Appl，1992，168：540－551.

［4］ Ma R Y.Existence of solutions of nonlinearm－point boundary value problems［J］.J Math Anal Appl，2001，256：556－567.

［5］ Ma R Y.Positive solutions of a nonlinear 3－point boundary value problem［J］.Electron J Differential Equations，1999，34：1－8.

［6］ 馬如云.非線性常微分方程非局部問題［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［7］ 馬如云，范虹霞，韓曉玲.二階常微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題的正解［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2009，29（3）：699－706.

［8］ 陳瑞鵬.一類無窮多點(diǎn)邊值問題正解的存在性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（3）：495－500.

Positive solutions of nonlinear infinite points boundary value problem for a class of second order ordinary differential equations

WANGZilian1，DINGKe2
（1.Department of Basic Courses，Lanzhou Polytechnic College，Lanzhou 730050，China；
2.Lingnan College，SUN YAT－SEN University，Guangzhou 510275，China）

It is studied that the existence of positive solutions of nonlinear infinite points boundary value problem for second order ordinary differential equation

The main tool is the fixed point theorem in cones.

infinite points boundary value problem；positive solutions；cone；fixed points

O175.8

A

1671－1114（2011）04－0013－07

2010－09－16

甘肅省教育廳科研基金資助項(xiàng)目（0712B－02）

汪子蓮（1964—），女，副教授，主要從事常微分方程邊值問題方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）