張家平

(1.華南理工大學(xué) 金融工程研究中心，廣州 510006;2.華僑大學(xué) 數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究院，福建 泉州 362021)

偏肥尾分布的APARCH模型研究

張家平1，2

(1.華南理工大學(xué) 金融工程研究中心，廣州 510006;2.華僑大學(xué) 數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究院，福建 泉州 362021)

金融收益率時間序列分布的不對稱性已被視為金融市場的一個“典型事實(shí)”，但現(xiàn)有文獻(xiàn)對金融時間序列偏度的關(guān)注相對較少。由于受到估計(jì)方法和計(jì)算效率的約束，波動率模型通常假定條件分布為正態(tài)分布或?qū)ΨQ肥尾分布，如t分布和廣義誤差分布，偏度建模比肥尾建模要復(fù)雜得多。通過運(yùn)用芬南德茲—斯蒂爾方法，在對稱分布的基礎(chǔ)上構(gòu)造出有偏肥尾分布。在假定APARCH模型的殘差項(xiàng)服從這種偏肥尾分布的情況下，研究波動率的擬合效果與預(yù)測能力。實(shí)證結(jié)果顯示，與殘差項(xiàng)服從對稱分布的波動率模型相比，有偏性對波動率模型的估計(jì)和預(yù)測都有顯著影響，向前預(yù)測的步數(shù)越多，影響越明顯。

條件分布;APARCH;肥尾分布;時間序列

一、前 言

波動率是金融資產(chǎn)定價和風(fēng)險(xiǎn)管理的關(guān)鍵輸入變量，波動率建模是定量金融中一個非常活躍的研究領(lǐng)域。金融資產(chǎn)收益率的經(jīng)驗(yàn)分布顯示出眾所周知的特征，即典型事實(shí)，包括波動聚集、尖峰肥尾和杠桿效應(yīng)。波動率建模就是要充分刻畫這些特征。由恩格爾提出的標(biāo)準(zhǔn)ARCH模型和伯勒斯勒夫進(jìn)一步擴(kuò)展的GARCH模型，能較好刻畫上述部分典型事實(shí)而成為刻畫波動率最受歡迎的模型。標(biāo)準(zhǔn)的ARCH和GARCH模型可以構(gòu)造尖峰肥尾的無條件分布，但不能消除條件分布的尖峰肥尾［1］，即擾動項(xiàng)偏離正態(tài)分布，而且不能描述沖擊的杠桿效應(yīng)等吸引了大量學(xué)者對該模型進(jìn)行改進(jìn)和拓展。

一般沿著兩個方向進(jìn)行來改進(jìn)GARCH模型。一是改進(jìn)條件均值方程和條件方差方程的設(shè)定。斯瓦特提出了TS－GARCH模型［2］，格羅斯特恩等人提出了GJR－GARCH模型［3］，黑金斯和波拉提出了N－ARCH模型［4］，扎克恩提出了T－ARCH模型［5］，這些模型通過改變條件方差方程的設(shè)定，使之能反映杠桿效應(yīng)。杰維克提出的Log－ARCH模型［6］，使得波動率總是滿足為正的條件。而我們考察的是更為一般的，并包含上述模型設(shè)定形式的APARCH模型［7］。二是采用非正態(tài)分布刻畫擾動項(xiàng)的尖峰肥尾。條件均值方程的擾動性偏離正態(tài)分布，一個自然的拓展就是采用肥尾分布來構(gòu)建GARCH模型。文獻(xiàn)中運(yùn)用最廣泛的肥尾分布是伯勒斯勒夫?qū)_動項(xiàng)引入的學(xué)生t分布和尼爾遜采用的廣義誤差分布(GED)［8～9］。①研究者嘗試采用了很多其他分布形式，如雙指數(shù)分布、雙Weibull分布、雙曲分布等，有興趣者可參考Bond(2000)的文獻(xiàn)綜述。但這些分布都是對稱分布，不能刻畫金融收益率分布的不對稱性。芬南德茲—斯蒂爾提出對于任何連續(xù)、單模式和對稱的分布f(z)，可以通過改變分布兩邊的尺度(scale)來引入有偏性，從而構(gòu)建出偏正態(tài)分布、偏t分布和偏GED分布［10］。坎貝爾和漢森構(gòu)建偏 t分布來刻畫條件偏度［11～12］，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)引入條件偏度非常重要并會影響條件方差的可持續(xù)性。哈維和斯蒂克研究了條件偏度對資產(chǎn)定價的影響，建議把條件偏度作為一個定價風(fēng)險(xiǎn)因子［13］。

我國學(xué)者對金融資產(chǎn)收益率的條件分布進(jìn)行了比較研究。高見有對殘差項(xiàng)分別服從正態(tài)分布、t分布和GED分布的GARCH模型進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn) t的擬合較好［14］。李聰比較GARCH、EGARCH和PARCH在上述三種分布下的估計(jì)，并用于計(jì)算 VaR，發(fā)現(xiàn)GED分布較好［15］。魏宇等考察了在正態(tài)分布、偏正態(tài)分布、GED和偏GED下隨機(jī)波動率模型的估計(jì)與擬合檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn) GED和偏 GED效果較好［16］。目前還沒有文獻(xiàn)系統(tǒng)考察條件偏度對波動率預(yù)測的影響和實(shí)證研究引入條件偏度后對條件波動率預(yù)測的改進(jìn)。

二、模型設(shè)定

1.偏分布的構(gòu)造

芬南德茲和斯蒂爾提出一種構(gòu)建偏分布相當(dāng)一般化的方法，對于任何連續(xù)、單模式和對稱的分布f(z)，可以通過改變分布兩邊的尺度來引入有偏性［10］。

其中，0<β<∞是偏度參數(shù)，反映分布偏斜的方向和程度。β=1生成對稱分布，即f(z|β=1)=f(z)，β<1時右偏，β>1時左偏。偏分布的各階矩決定于原對稱分布的各階矩Mi和β，計(jì)算方法如式(2)。

根據(jù)式(1)和式(2)，我們可以構(gòu)建 sT、SGED等偏分布并計(jì)算其各階矩。以GED為例，②SN、ST的構(gòu)造方法類似，為節(jié)省篇幅，本文不列出。由于正態(tài)分布不能刻畫肥尾，一般不采用SN。標(biāo)準(zhǔn)廣義誤差的密度函數(shù)表示如下:

其中，0<υ≤(為形狀參數(shù)，控制GED的高度和肥尾。υ=2時GED退化為正態(tài)分布，υ=1時為Laplace分布，υ→(時是區(qū)間為［－2，2］的均勻分布，υ<2時為尖峰分布，υ>2時為寬峰分布(platykurtotic)。

由式(1)構(gòu)造標(biāo)SGED的密度函數(shù)表示為:

形狀參數(shù)υ與GED的相同，偏度參數(shù)β>0，當(dāng)υ=2和β=1時，SGED退化為正態(tài)分布。

2.APARCH(p，q)模型設(shè)定

另一種金屬鹽——硫酸銅也可作安全的蝕刻劑使用，主要用于腐蝕鋅版和鋁版。其腐蝕原理與氯化鐵類似，如以鋅版蝕刻為例：

在GARCH模型的框架下，Ding和Granger等人對條件方差方程的設(shè)定如下，

其中，δ>0，參數(shù)γi反映沖擊的杠桿效應(yīng)，如果γi大于0(或小于0)，說明負(fù)沖擊比正沖擊的效應(yīng)要大(或小)。Dθ(0，1)表示擾動項(xiàng)或殘差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)條件分布，θ是控制分布偏度和峰度的參數(shù)。當(dāng) ω >0，∑iαiκi+ ∑jβj<1，其中 κi=E(|z|+γiz)δ時，穩(wěn)定解存在。當(dāng) γ≠0和 δ≠2時，κi值取決于擾動項(xiàng)分布的假設(shè)。

APARCH模型包容性很強(qiáng)，許多其他GARCH類模型都是APARCH模型的特例，對應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 APARCH模型與其特例的對應(yīng)關(guān)系

三、實(shí)證分析

1.數(shù)據(jù)來源與統(tǒng)計(jì)分析

本文實(shí)證分析的數(shù)據(jù)是上證綜指1997年1月2日至2009年9月30日的日指數(shù)價格，共3059個觀測值。我們采用指數(shù)價格對數(shù)的一階差分作為連續(xù)復(fù)利收益率。從圖1可以看出，指數(shù)價格從2006年開始上升，在2007年10月下跌，持續(xù)整個金融危機(jī)期間，收益率序列具有顯著的波動時變性和聚集性，在危機(jī)期間，波動顯著增強(qiáng);對收益率序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分析結(jié)果如表2所示。

表2 指數(shù)收益率統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果

從表2可以看出，收益率的平均值為正，但接近于0。最大值和最小值反映了漲跌停板制度對波動的限制。收益率分布不是對稱的，偏度為負(fù)說明落在左尾部的觀測值要比右尾部的多。峰度是正態(tài)分布的2倍多，表示經(jīng)驗(yàn)分布存在“尖峰肥尾”典型事實(shí)。

為考察收益率序列是否為平穩(wěn)的，我們進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，估計(jì)結(jié)果對應(yīng)的p值幾乎為0，拒接序列存在單位根。LM檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)收益率存在顯著的ARCH效應(yīng)。

2.條件分布為ST、SGED的APARCH模型的參數(shù)估計(jì)及分析

我們分別用ST、SGED來刻畫條件均值方程殘差分布的有偏、肥尾等特征。利用最大似然法，我們可以估計(jì) APARCH－ST、APARCH －SGED模型的參數(shù)，包括條件分布的參數(shù)。為進(jìn)行模型比較，我們還估計(jì)出常用的基于 N、t、GED的APARCH模型，結(jié)果見表3。

表3 不同分布假定下模型的估計(jì)結(jié)果

從表3可以看出，一是通過對各模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的診斷檢驗(yàn)，APARCH(1，1)設(shè)定充分消除了收益率序列的系列相關(guān)和ARCH效應(yīng)，而且各模型均滿足∑iαiκi+ ∑jβj<1，說明條件方差是平穩(wěn)的。二是除均值項(xiàng)μ外，其他參數(shù)都在1%置信水平下是統(tǒng)計(jì)顯著。三是APARCH－ST和APARCH－SGED的偏度參數(shù)(分別為0.9281、0.9181，均小于1，說明標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布是左偏的。這與樣本偏度－0.2105的結(jié)果是一致的。四是我們根據(jù)對數(shù)似然值和信息準(zhǔn)則來進(jìn)行模型比較，在不同分布假定下，APARCH－ST模型的似然值最大，AIC和BIC值最小，說明該模型在五個模型中擬合效果最好。同時基于ST和SGED假定的模型擬合效果均優(yōu)于基于對稱分布的模型效果，說明引入有偏性對模型擬合效果的改進(jìn)是顯著的。

標(biāo)準(zhǔn)化殘差的密度函數(shù)曲線見圖2，為便于進(jìn)行比較，我們還畫出相應(yīng)的對稱分布和正態(tài)分布圖。從圖2可以看出，偏分布的左尾比對照分布的左尾更厚，能更準(zhǔn)確的刻畫金融風(fēng)險(xiǎn)。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)化殘差的密度函數(shù)、相應(yīng)的對稱分布和正態(tài)分布的密度函數(shù)圖

3.波動率預(yù)測及預(yù)測效果比較

預(yù)測是研究波動率模型的主要目的之一。根據(jù)表3，對稱分布中，APARCH－T的擬合效果最好，因此我們選擇APARCH－T、APARCH－ST和 APARCH －SGED，分別進(jìn)行 1、2、5、10、20 步預(yù)測，并根據(jù)均方根誤差和平均相對誤差來比較各模型的預(yù)測效果。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 各模型預(yù)測誤差估計(jì)表

從表4可以看出，根據(jù)均方根誤差，APARCH－T在進(jìn)行1、2、5步預(yù)測時誤差最小，而APARCH－SGED在進(jìn)行10、20步預(yù)測時是最優(yōu)的;根據(jù)平均相對誤差，除APARCH－T在1步預(yù)測是最優(yōu)的外，其他預(yù)測都是APARCHSGED最優(yōu)。這說明分布偏度對預(yù)測的影響模式，對于1步預(yù)測，有偏性的影響不顯著，甚至對稱分布的預(yù)測效果還要好;對于多步預(yù)測，有偏性的影響是顯著的。根據(jù)我國股市樣本，APARCH－SGED設(shè)定的預(yù)測效果在五個模型中效果最好。

四、結(jié) 論

我們考察了在不同分布假定下，APARCH模型的估計(jì)與預(yù)測，特別是在對稱分布中引入偏度系數(shù)以刻畫樣本偏度。通過實(shí)證研究，得出分布的有偏性對模型擬合和預(yù)測都有顯著影響，特別是向前多步預(yù)測。這對于刻畫金融市場的典型事實(shí)、準(zhǔn)確進(jìn)行資產(chǎn)定價、風(fēng)險(xiǎn)度量與管理具有重要意義。

運(yùn)用芬南德茲—斯蒂爾方法構(gòu)造偏分布函數(shù)優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較為簡單，容易估計(jì)，同時滿足一定條件下各階矩都存在。一些參數(shù)更為復(fù)雜的分布，如穩(wěn)定分布、廣義雙曲分布能同時刻畫分布的尖峰肥尾和偏度，因此是殘差時間序列的備選分布，考察它們的擬合效果和預(yù)測能力是我們進(jìn)一步研究的方向。

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［責(zé)任編輯 張大勇］

Reseach on APARCH Models with Skewed＆ Fat－Tailed Distributions

ZHANG Jia-ping1，2

(1.Research Center of Financial Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510006，China;2 School of Economic，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China)

The asymmetry of financial return distribution has been regarded as a "typical fact"，while less attention is relatively paid to the skewness of financial time distribution in the current literature.For the limitation of estimation methodology and computation performance，volatility models assume that the distribution of residuals is normal distribution，or symmetrical fat－tailed distribution，such as t or generalized error distribution.Modeling skewness is much complicated than modeling fat tail.The author constructs the skewed and fat－tailed distributions based on symmetric distributions by using Fernandez－Steel method.And the author studies the prediction of volatility together with APARCH model.Compared with volatility models with symmetrical distribution，empirical results show that there are significant influences of the skewness on simulation and prediction of volatility models.

conditional distribution;APARCH;skewed＆ fat－tailed distribution;time distribution

F830.91

A

1009-1971(2010)02－0078－06

2009－12－26

廣東省教育廳項(xiàng)目(08JDTDXM79006)

張家平(1973－)，男，湖北宜昌人，博士研究生，講師，從事資產(chǎn)定價、風(fēng)險(xiǎn)管理和實(shí)證金融研究。